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1、目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、第一型曲面积分的概念与性质一、第一型曲面积分的概念与性质 二、第一型曲面积分的计算法二、第一型曲面积分的计算法 第一型曲面积分 第九章 目录 上页 下页 返回 结束 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质引例引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得求质 “大化小,常代变,近似和,求极限”的方法,量 M.其中,表示 n 小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).最大值目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:设 为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中 f(x,y,z)叫做被积据
2、此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面 上对面积函数,叫做积分曲面.目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在.对积分域的可加性.则有 线性性质.在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.积分的存在性.若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:设有光滑曲面f(x,y,z)在 上连续,存在,且有二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分证明证明:由定义知目录 上页
3、 下页 返回 结束 而(光滑)目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS 的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.(见本节后面的例4,例5)目录 上页 下页 返回 结束 例例1.计算曲面积分其中 是球面被平面截出的顶部.解解:目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若 是球面被平行平面 z=h 截出的上下两部分,则目录 上页 下页 返回 结束 例例2.计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解解:设上的部分,则与 原式=分别表示 在平面 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设计算解解:锥面与上
4、半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xOy 面上的投影域为则 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:若例3 中被积函数改为计算结果如何?目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求半径为R 的均匀半球壳 的重心.解解:设 的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球面坐标思考题思考题:例 3 是否可用球面坐标计算?解释什么是球面坐标变换目录 上页 下页 返回 结束 例例5.计算解解:取球面坐标系,则解释什么是球面坐标变换目录 上页 下页 返回 结束 例例6.计算其中 是球面利用对称性可知解解:显然球心为半径为利用重心公式目录 上页 下页 返回 结束 例例7.计算其中 是介于平面之间的圆柱面分
5、析分析:若将曲面分为前后(或左右)则解解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.方法很特殊，强记目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求椭圆柱面位于 xOy 面上方及平面 z=y 下方那部分柱面 的侧面积 S.解解:取微元法目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧.目录 上页 下页 返回 结束 基础训练题（1）设 在 xOy 面上的投影域为这是 的面积!目录 上页 下页 返回 结束（2）如图所示,有目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.已知曲面壳求此曲面壳在平面 z=1以上部分 的的面密度质量 M.解解:在 xOy 面上的投影为 故