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1、数值分析课件数值分析课件同学们好！现在开始讲授第五章插值与拟合方法插值与拟合方法首先讲授BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
2、WWWWWWW数值分析课件数值分析课件第五章第五章 插值与拟合方插值与拟合方法法讲授：用有限个函数值去推断或表示函数的方法重点论述:Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值、曲线拟合及对应的原理、构造、误差分析等。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
3、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW数值分析课件数值分析课件本章讲授内容本章讲授内容5.1 5.1 引例引例5.2 5.2 基本概念基本概念5.3 5.3 插值法插值法5.4 5.4 曲线拟合法曲线拟合法BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
4、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW数值分析课件数值分析课件5.1 5.1 引例引例什么是插值？什么是拟合？它们的作用是什么？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
5、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件问题问题1 1：机床加工问题机床加工问题通常待加工零件外形按工艺要求由一组数据给出。由于程控铣床加工时每一刀只能沿 x 方向和 y 方向走很小的一步，因此需要利用所给数据获得铣床进行加工时要求的行进步长坐标值。现测得机翼断面下轮廓线上的一组数据表为x 035791112
6、13 1415y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.01.6假设需要得到 x 坐标每改变0.1时 y 的坐标以决定加工路线，怎样利用如上数据给出加工所需要的数据？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
7、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件问题2：合成纤维的强度问题某种合成纤维的强度与拉伸倍数有直接关系，为获得它们之间的关系，科研人员实际测定了20个纤维样品的强度和拉伸倍数，获得数据为怎样利用如上数据确定这种合成纤维的强度与拉伸倍数的关系？编号12345678910拉伸倍数1.92.02.12.52.7 2.73.53.54.04.0强度14131825282530274035编号11121314151617181920拉伸倍数4.54.65.05.26.0 6.
8、36.57.18.08.0强度42355550556460536570解决如上问题的内容在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
9、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
10、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的基本概念。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
11、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件5.2 5.2 基本概念基本概念插值和拟合有哪些概念？它们有什么区别？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
12、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1 1、问题的描述、问题的描述怎样依据如上数据构造一个函数P(x)作为f(x)的近似函数？已知函数 y=f(x)在 n+1个点上的函数值()kkyf x这里介绍最常用的两种方法：插值方法插值方法与拟合方法拟合方法。BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
13、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、插值2、拟合BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
14、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
15、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、插值函数定义()()(0,1,)kkP xf xkn如果函数P(x)满足：称P(x)为f(x)的一个插值函数,f(x)称被插函数.插值条件：()()(0,1,)kkP xf xkn插值余项：()()R xf xP x插值节点：,0,1,kx kn互异!显然，插值有无
16、穷个！BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件代数插值又称多项式
17、插值多项式插值，是最简单的插值函数！如果插值函数P(x)是多项式，称为代数插值代数插值。010()()mmkmmkkkP xaa xa xa xaR一个代数插值函数P(x)可写为代数插值函数由系数完全决定！012,ma a aa2、代数插值BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMW
18、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件20120()mkmkmkP xa xaa xa xa x201 02000201 12 1112012mmmmmnnmnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy如果代数插值函数P(x)满足插值条件：()(0,1,)kkP xykn201 02000201 12 1112012nnnm nnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa x
19、a xa xyBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件20002
20、1110211()1nnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx 因为插值节点互异，有0D 得线性方程组有唯一解，于是有定理定理1 1 对n+1个互异插值节点，存在一个满足插值条件的n次插值多项式。不过，遗憾的是方程组是病态的！201 02000201 12 1112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy系数行列式为范德蒙行列式系数行列式为范德蒙行列式BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMM
21、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件定理2 对n+1个互异插值节点，满足插值条件的 n 次插值多项式是唯一的。证明：设P(x)、Q(x)是两个满足插值条件的 n 次插值多项式，于是有()()(0,1,)kkkP xQ xf xkn()()H xP
22、 xQ x令 0()()H xH xP xQ x 代数基本定理有n+1零点 0iH xH xi是次数n的多项式。且BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
23、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件对n次插值多项式 Pn(x)线性插值线性插值：n=1的插值多项式；抛物线插值抛物线插值或 Simpson 插值插值：n=2的插值多项式；内插内插：用Pn(x)计算在a,b内的函数值；3、插值名词、插值名词外插外插(推推)：用Pn(x)计算在a,b外的函数值01,nx xxa,b是包含所有插值节点的最小区间BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMM
24、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
25、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件显然取(xi)=yi会引起数据误差的传播！处理此问题的方法是使(xi)yi 总体上尽可能小来达到函数逼近目的。如果数据 yi不准确，即有些 yi f(xi)怎样求一近似函数(x)使其尽可能“好”地反映数据点或函数 f(x)的基本趋势?已知 f(x)的如
26、下数表BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件01min,(,)
27、Tn 1 1、拟合函数定义、拟合函数定义称(x)为 f(x)的一个拟合函数，残差：()()kkkxf x残差向量：01(,)Tn 拟合点：,0,1,kx kn如果函数 (x)满足这里是某种向量范数。()()kkkxf x拟合点可以不互异！BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWW
28、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2 2、插值函数和拟合函数的几何解释、插值函数和拟合函数的几何解释插值函数图示拟合函数图示BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
29、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
30、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第1集：BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
31、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件5.3 5.3 插值插值法法代数插值方法有几种？BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
32、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件条件:已知函数 y=f(x)在n+1个点上的函数值(),kkyf xkn简写为：，=0,1,目的目的:构造一个n次插值多项式 Pn(x)BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
33、BBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件讲授内容讲授内容一、Lagrange插值二、Newton插值三、Hermite 插值四、分段插值五、样条插值简介BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
34、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
35、BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件基本思想基本思想将待求的将待求的 n n 次多项式插值函数次多项式插值函数改写改写成用成用已知已知函
36、数值函数值为系数的为系数的 n+1n+1个个待定待定 n n 次多项式次多项式的线性组的线性组合形式，再利用插值条件和合形式，再利用插值条件和函数分解函数分解技术确定技术确定 n+1n+1个待定个待定 n n 次多项式来求出插值多项式。次多项式来求出插值多项式。Lagrange插值是插值是 n n 次多项式插值！次多项式插值！BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
37、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、Lagrange插值函数构造2、Lagrange插值基函数3、插值余项定理4、Lagrange插值例题BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMM
38、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
39、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件已知函数 y=f(x)在 n+1个点上的函数值()kkyf x令 n次插值多项式为0 01 10()()()()()nnnnn nni iniL xy lxylxy lxylx()iniilxyf xn式中是与无关的一些 次多项式2012
40、()nnP xaa xa xa xn次多项式函数的基:01(),(),()nnnnlx lxlx21,nx xxBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
41、WWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件为获得n+1个n次多项式函数:01(),(),()nnnnlx lxlx由插值条件，有:0()()(),nnkk knki inkkii kL xy lxylxyk(0,1,2,)1,0,1,2,0kininkikylxiniklxi knik与无关，可得BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
42、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 000010201=0nnnnnnlxlxlxlxlx对:，注意到函数的零点分解特性：0kkf xf xxxg x 可得 01nnkklxxxg x =001nnnkklxng xalxaxx 1000001=1nnnkklxlxaxx 010011nknnkkkkxxalxx
43、xxxBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件类似可得：0,0,
44、1,nkinkikk ixxlxinxx 代入开始设定的函数 00nnknikiikk ixxLxyxxLagrange插值基函数插值基函数n次次 Lagrange 插值多项式插值多项式BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
45、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
46、WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、有几个插值节点就有几个基函数；0,1,2,2kinikinxxlxnikxx，、有 个乘积因子，3iniilxxxx、的每个因子项的分母为对应的节点减去其余所有节点，分子结构同分母，但要把被减数换为 0nki nkikkixxlxxx BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM
47、MMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 12120201020102251 21 5xxxxxxxxxxlxxxxxxxxx x-125y368求其所有的Lagrange插值基函数。02121012152125xxxxxxlxxxxx 01222021125 1 52xxxxxxlx
48、xxxx 0nki nkikk ixxlxxx 例1：给定数表解：BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通
49、大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW北京交通大学北京交通大学 数值分
50、析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第2集：BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW