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1、第五章第五章 插值型数值微分与数值积分插值型数值微分与数值积分5.1 插值型数值微分公式插值型数值微分公式5.2 插值型数值积分插值型数值积分5.1 插值型数值微分公式插值型数值微分公式 故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数故一般限于对节点上的导数值采用插值多项式的相应导数值进行近似计算，以便估计误差。值进行近似计算，以便估计误差。这类公式称为这类公式称为插值型数值微分公式插值型数值微分公式。当当 x 为插值节点为插值节点xi 时，上式简化为时，上式简化为 一般地一般地 5.1.1 常用的数值微分公式常用的数值微分公式 即 1.两点公式两点公式(n=1)这称为这称为两点公式两点公
2、式。两点公式的截断误差为两点公式的截断误差为 这里这里 2.三点公式三点公式(n=2)这称为这称为三点公式三点公式，其中（，其中（54b）又称为又称为中点公式中点公式。三点公式的截断误差为三点公式的截断误差为 这里这里 进一步由进一步由 可得计算公式可得计算公式 为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设为估计二阶导数数值微分公式的误差，可设 f(x)四阶连四阶连续可微，故得续可微，故得 从而得到误差估计式从而得到误差估计式 二阶导数的截断误差二阶导数的截断误差 例例1：已知列表：已知列表x 2.5 2.55 2.60 2.65 2.70y 1.58114 1.59687 1.61245 1.62
3、788 1.64317解解:h=0.05 例例 5.1 为计算为计算 在在 x=2 处的一阶导数值，我们可处的一阶导数值，我们可选用中点公式选用中点公式当计算保留四位小数时，得到计算结果如表当计算保留四位小数时，得到计算结果如表5-1(书书103页）。页）。而精确值为而精确值为 ，可见当，可见当 h=0.1时近似结果最时近似结果最好，步长太大或太小计算效果均不好。好，步长太大或太小计算效果均不好。5.2 插值型数值积分插值型数值积分 x0 x1-xi-1xixi+1-xnf(x0)f(x1)-f(xi-1)f(xi)f(xi+1)-f(xn)2.由下列列表函数求由下列列表函数求L-插值多项式插
4、值多项式称为称为插值型求积公式插值型求积公式，称为称为求积求积节点节点，称为称为求积系数求积系数，其和 5.2.1 Newton-CotesNewton-Cotes公式公式 则则 ，考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形考虑等距节点的情形 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式CotesCotes系数系数 n=1,2,4n=1,2,4的的的的N-CN-C公式公式公式公式 这称为这称为梯形公式梯形公式；几何意义：用梯形面积几何意义：用梯形面积代替代替f(x)作为曲边的曲边作为曲边的曲边梯形面积。梯形面积。图图1 梯形公式梯形公式 ab这称为这称为Simpsion公式公式图图2 Simps
5、on公式公式 ab几何意义：用抛物线几何意义：用抛物线 作曲边的曲边作曲边的曲边梯形面积代替梯形面积代替f(x)作作为曲边的曲边梯形面积。为曲边的曲边梯形面积。对应于对应于 情形的情形的Cotes系数见表系数见表5-2(书书106页页)。这称为这称为Cotes公式公式。求积公式的稳定性分析求积公式的稳定性分析求积公式的稳定性分析求积公式的稳定性分析 5.2.2 复合求积公式复合求积公式 当当取取 m=1 时，称为时，称为复合梯形公式复合梯形公式，简记为，简记为Tn1.复合梯形公式复合梯形公式=1为当当取取 m=2 时，称为时，称为复合复合Simpson公式公式，简记为，简记为Sn2.复合复合S
6、impson公式公式当当取取 m=4 时，称为时，称为复合复合Cotes公式公式，简记为，简记为Cn(公式见书公式见书107页）页）3.复合复合Cotes公式公式 例例 5.2 试利用表试利用表5-3的函数表，分别用复合梯形公式、复合的函数表，分别用复合梯形公式、复合Simpson公式和复合公式和复合Cotes公式计算定积分公式计算定积分 解：解：1.写出公式写出公式2.确定确定h3.列表列表 k xk f(xk)T8 S4 C2 0 0 0.000 000 1 1 7 1 1/8 0.110 312 2 4 32 2 1/4 0.194 700 2 2 12 3 3/8 0.257 733
7、2 4 32 4 1/2 0.303 265 2 2 14 5 5/8 0.334 538 2 4 32 6 3/4 0.354 275 2 2 12 7 7/8 0.364 754 2 4 32 8 1 0.367 879 1 1 7 4.20704 6.341712 47.56338 5.2.3 插值型求积公式的误差分析与步长减半算法插值型求积公式的误差分析与步长减半算法 1、求积公式的误差、求积公式的误差 记记 为采用插值型求积公式进行积分近似的为采用插值型求积公式进行积分近似的截断误差，则由多项式插值公式的误差估计式（截断误差，则由多项式插值公式的误差估计式（5-1）得）得 因此，当因
8、此，当 f(x)为次数不超过为次数不超过 n 次的多项式时，插值型求积公次的多项式时，插值型求积公式精确成立。式精确成立。特别地，特别地，从而可得从而可得 为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算为便于估计误差，实际计算时常常采用步长逐次减半的算法，下面介绍其思想。法，下面介绍其思想。由由(5-17a)得得所以所以 2、变步长法则、变步长法则 类似地，可对类似地，可对 Simpson 公式和公式和 Cotes 公式分别利用公式分别利用（5-18b）和（和（5-18c）进行事后误差估计，建立步长逐次进行事后误差估计，建立步长逐次减半的算法。减半的算法。因此，可先用因此，可先用 计算出计
9、算出T1，并把步长减并把步长减半算出半算出T2，若若 则则T2 即为所求即为所求的近似值，否则再把步长减半，算出的近似值，否则再把步长减半，算出T4，根据式根据式(5-18a)进行进行事后误差估计事后误差估计 ，如此递推计算，直到某如此递推计算，直到某个个n 满足满足 为止为止，取，取 为所求的近似值，为所求的近似值，这就是梯形公式的步长逐次减半算法。这就是梯形公式的步长逐次减半算法。为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。为减少计算量，需建立递推公式，现对复合梯形公式推导之。这里这里 对应于新的步长，对应于新的步长，对对应于新分点。应于新分点。因此可建立梯形公式的步长逐次减半递
10、推公式：因此可建立梯形公式的步长逐次减半递推公式：解解:计算结果见下表计算结果见下表 例例 5.3 试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分试用梯形公式的步长逐次减半算法计算定积分 使误差小于使误差小于 。解解 一般的计算结果见表一般的计算结果见表5-4(书书112页页)。5.2.4 龙贝格积分法龙贝格积分法 这说明收敛较快的这说明收敛较快的 Simpson 步长减半序列步长减半序列 可由梯形公式的可由梯形公式的步长减半序列步长减半序列 构造生成。构造生成。类似地，类似地，(5-20c)称为称为龙贝格（龙贝格（Romberg）积分公式积分公式。按以上方法。按以上方法可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法可继续外推下去，建立如下收敛较快的外推算法龙贝格积龙贝格积分法分法（书（书114页）。页）。其计算公式为其计算公式为 注：这样的计算格式注：这样的计算格式可根据精度自动停机。只可根据精度自动停机。只要竖线上相邻两结果之差要竖线上相邻两结果之差不超过给定精度为止。计不超过给定精度为止。计算过程实质是将区间逐次算过程实质是将区间逐次分半计算分半计算 ，然后利用，然后利用加速公式，故又叫逐次分加速公式，故又叫逐次分半加速法。半加速法。解解: