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1、数值分析课件数值分析课件同学们好！现在开始讲授第五章插值与拟合方法插值与拟合方法首先讲授数值分析课件数值分析课件第五章第五章 插值与拟合方插值与拟合方法法讲授：用有限个函数值去推断或表示函数的方法重点论述:Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值、曲线拟合及对应的原理、构造、误差分析等。数值分析课件数值分析课件本章讲授内容本章讲授内容5.1 5.1 引例引例5.2 5.2 基本概念基本概念5.3 5.3 插值法插值法5.4 5.4 曲线拟合法曲线拟合法数值分析课件数值分析课件5.1 5.1 引例引例什么是插值？什么是拟合？它们的作用是什么？数值分析课件数值分析课件问
2、题问题1 1：机床加工问题机床加工问题通常待加工零件外形按工艺要求由一组数据给出。由于程控铣床加工时每一刀只能沿 x 方向和 y 方向走很小的一步，因此需要利用所给数据获得铣床进行加工时要求的行进步长坐标值。现测得机翼断面下轮廓线上的一组数据表为x 035791112 13 1415y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.01.6假设需要得到 x 坐标每改变0.1时 y 的坐标以决定加工路线，怎样利用如上数据给出加工所需要的数据？数值分析课件数值分析课件问题2：合成纤维的强度问题某种合成纤维的强度与拉伸倍数有直接关系，为获得它们之间的关系，科研人员实际测定了20个纤
3、维样品的强度和拉伸倍数，获得数据为怎样利用如上数据确定这种合成纤维的强度与拉伸倍数的关系？编号12345678910拉伸倍数1.92.02.12.52.7 2.73.53.54.04.0强度14131825282530274035编号11121314151617181920拉伸倍数4.54.65.05.26.0 6.36.57.18.08.0强度42355550556460536570解决如上问题的内容在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法。数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的基本概念。数值分析课件数值分析课件5.2 5.
4、2 基本概念基本概念插值和拟合有哪些概念？它们有什么区别？数值分析课件数值分析课件1 1、问题的描述、问题的描述怎样依据如上数据构造一个函数P(x)作为f(x)的近似函数？已知函数 y=f(x)在 n+1个点上的函数值()kkyf x这里介绍最常用的两种方法：插值方法插值方法与拟合方法拟合方法。数值分析课件数值分析课件1、插值2、拟合数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件1、插值函数定义()()(0,1,)kkP xf xkn如果函数P(x)满足：称P(x)为f(x)的一个插值函数,f(x)称被插函数.插值条件：()()(0,1,)kkP xf xkn插值余项：()()R xf xP
5、 x插值节点：,0,1,kx kn互异!显然，插值有无穷个！数值分析课件数值分析课件代数插值又称多项式插值多项式插值，是最简单的插值函数！如果插值函数P(x)是多项式，称为代数插值代数插值。010()()mmkmmkkkP xaa xa xa xaR一个代数插值函数P(x)可写为代数插值函数由系数完全决定！012,ma a aa2、代数插值数值分析课件数值分析课件20120()mkmkmkP xa xaa xa xa x201 02000201 12 1112012mmmmmnnmnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy如果代数插值函数P(x)满足插值条件：()(
6、0,1,)kkP xykn201 02000201 12 1112012nnnm nnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy数值分析课件数值分析课件200021110211()1nnijj i nnnnnxxxxxxDxxxxx 因为插值节点互异，有0D 得线性方程组有唯一解，于是有定理定理1 1 对n+1个互异插值节点，存在一个满足插值条件的n次插值多项式。不过，遗憾的是方程组是病态的！201 02000201 12 1112012nnnnnnnnnnaa xa xa xyaa xa xa xyaa xa xa xy系数行列式为范德蒙行列式系数行列式为
7、范德蒙行列式数值分析课件数值分析课件定理2 对n+1个互异插值节点，满足插值条件的 n 次插值多项式是唯一的。证明：设P(x)、Q(x)是两个满足插值条件的 n 次插值多项式，于是有()()(0,1,)kkkP xQ xf xkn()()H xP xQ x令 0()()H xH xP xQ x 代数基本定理有n+1零点 0iH xH xi是次数n的多项式。且数值分析课件数值分析课件对n次插值多项式 Pn(x)线性插值线性插值：n=1的插值多项式；抛物线插值抛物线插值或 Simpson 插值插值：n=2的插值多项式；内插内插：用Pn(x)计算在a,b内的函数值；3、插值名词、插值名词外插外插(推
8、推)：用Pn(x)计算在a,b外的函数值01,nx xxa,b是包含所有插值节点的最小区间数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件显然取(xi)=yi会引起数据误差的传播！处理此问题的方法是使(xi)yi 总体上尽可能小来达到函数逼近目的。如果数据 yi不准确，即有些 yi f(xi)怎样求一近似函数(x)使其尽可能“好”地反映数据点或函数 f(x)的基本趋势?已知 f(x)的如下数表数值分析课件数值分析课件01min,(,)Tn 1 1、拟合函数定义、拟合函数定义称(x)为 f(x)的一个拟合函数，残差：()()kkkxf x残差向量：01(,)Tn 拟合点：,0,1,kx kn如果
9、函数 (x)满足这里是某种向量范数。()()kkkxf x拟合点可以不互异！数值分析课件数值分析课件2 2、插值函数和拟合函数的几何解释、插值函数和拟合函数的几何解释插值函数图示拟合函数图示数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第1集：数值分析课件数值分析课件5.3 5.3 插值插值法法代数插值方法有几种？数值分析课件数值分析课件条件:已知函数 y=f(x)在n+1个点上的函数值(),kkyf xkn简写为：，=0,1,目的目的:构造一个n次插值多项式 Pn(x)数值分析课件数值分析课件讲授内容讲授内容一、Lagrange插
10、值二、Newton插值三、Hermite 插值四、分段插值五、样条插值简介数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件基本思想基本思想将待求的将待求的 n n 次多项式插值函数次多项式插值函数改写改写成用成用已知已知函数值函数值为系数的为系数的 n+1n+1个个待定待定 n n 次多项式次多项式的线性组的线性组合形式，再利用插值条件和合形式，再利用插值条件和函数分解函数分解技术确定技术确定 n+1n+1个待定个待定 n n 次多项式来求出插值多项式。次多项式来求出插值多项式。Lagrange插值是插值是 n n 次多项式插值！次多项式插值！数值分析课件数值分析课件1、Lagrange插值函
11、数构造2、Lagrange插值基函数3、插值余项定理4、Lagrange插值例题数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件已知函数 y=f(x)在 n+1个点上的函数值()kkyf x令 n次插值多项式为0 01 10()()()()()nnnnn nni iniL xy lxylxy lxylx()iniilxyf xn式中是与无关的一些 次多项式2012()nnP xaa xa xa xn次多项式函数的基:01(),(),()nnnnlx lxlx21,nx xx数值分析课件数值分析课件为获得n+1个n次多项式函数:01(),(),()nnnnlx lxlx由插值条件，有:0()()
12、(),nnkk knki inkkii kL xy lxylxyk(0,1,2,)1,0,1,2,0kininkikylxiniklxi knik与无关，可得数值分析课件数值分析课件 000010201=0nnnnnnlxlxlxlxlx对:，注意到函数的零点分解特性：0kkf xf xxxg x 可得 01nnkklxxxg x =001nnnkklxng xalxaxx 1000001=1nnnkklxlxaxx 010011nknnkkkkxxalxxxxx数值分析课件数值分析课件类似可得：0,0,1,nkinkikk ixxlxinxx 代入开始设定的函数 00nnknikiikk i
13、xxLxyxxLagrange插值基函数插值基函数n次次 Lagrange 插值多项式插值多项式数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、有几个插值节点就有几个基函数；0,1,2,2kinikinxxlxnikxx，、有 个乘积因子，3iniilxxxx、的每个因子项的分母为对应的节点减去其余所有节点，分子结构同分母，但要把被减数换为 0nki nkikkixxlxxx 数值分析课件数值分析课件 12120201020102251 21 5xxxxxxxxxxlxxxxxxxxx x-125y368求其所有的Lagrange插值基函数。02121012152
14、125xxxxxxlxxxxx 01222021125 1 52xxxxxxlxxxxx 0nki nkikk ixxlxxx 例1：给定数表解：数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第2集：数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件设函数f(x)在a,b上有n+1阶导数，则有 11,1!nnnnfRxf xP xxxa bn 1010();nnnkkxxxxxxxxx 1、插值余项定理、插值余项定理(,)a b是(a,b)上的插值节点，Pn(x)是 f(x)的 n 次插值多项式！kx数值分析课件数值分析课件证明：()
15、()0,0,1,nkknkP xf xRxkn由函数零点分解有 1nnnf xP xRxk xx做辅助函数 1nng tf tP tk xt 01,0ntx xx xg t当说明g(t)在a,b上有n+2个零点。由Rolle定理有g(t)在a,b上有n+1个零点；g(t)在a,b上有n个零点，1ngt有一个零点 1=0ng设为，有数值分析课件数值分析课件对辅助函数求n+1阶导数 1111111!nnnnnnngtftP tk xtftnk x 111!=0nntgfnk x代入 11!nfk xn 1nnRxk xx 111!nnnfRxxn数值分析课件数值分析课件 111!nnnnfRxf
16、xP xxn 111),1!nnnMRxxxa bn 112),1!nnnMRxTxa bn 1111maxmaxnna x bnna x bMfxTx nnL xP x2、Lagrange插值余项分析插值余项分析(1)10()3)()()(1)!nnkknnkff xf x lxxn ,1xa bf xn只要有阶导数。数值分析课件数值分析课件 100()nnkknnkfxf xf xlxLx (1)10()()()(1)!nnkknnkff xf xlxxn f xn一般当为次数的多项式时，有 001()1;()nnknk knkkfxlxfxxx lxx 1f xn只要有阶导数数值分析课件
17、数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第3集：数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件试用线性插值和抛物线插值分别计算 ln3.27的近似值，并估计相应的误差。解：线性插值需要两个节点，内插比外推好，选内插来做。013.27(3.2,3.3),3.2,3.3xx取13.33.2()1.1631511.1939223.2 3.33.3 3.2xxL x例例2 2：已知：已知 y=ln x 的函数表为的函数表为1ln3.27(3.27)1.1846907Lx33.13.23.33.4y1.098612 1.131402 1.1631
18、51 1.193922 1.223775数值分析课件数值分析课件同理，对抛物线插值，选取三个节点为0123.2,3.3,3.4,xxx有2(3.3)(3.4)()1.163151(3.23.3)(3.23.4)(3.2)(3.4)1.193922(3.3 3.2)(3.3 3.4)(3.2)(3.3)1.223775(3.43.2)(3.43.3)xxL xxxxx2ln3.27(3.27)1.18478709L数值分析课件数值分析课件误差讨论：1111,max1!nnnnna x bMRxxxa b Mfxn 222113.2,3.3()3.2xfxMx 线性插值计算 的误差估计312211
19、(3.27)(3.27 3.2)(3.27 3.3)0.07 0.030.103 1022.!3 2MR同理有抛物线插值计算 的误差估计为52(3.27)0.9 10R 21012!MR xxxxx 320123!MR xxxxxxx数值分析课件数值分析课件例3 在-4,4 上给出的等距节点函数表，若想用二次插值来计算的近似值，并要求截断误差不超过，问此函数表的步长h应为多少？解(0,1,)-4,4kx kn是上要求的设等距数表。xexe610二次插值需要三个节点，为一般性，取三个相邻的节点构造二次插值函数，利用n=2的余项定理，有12,iiix xx 2123!iiifRxxxxxxx12,
20、2iiiixxh xxh322,0,2()(1)(2),4,43!iiiexx xxxth tR xt tth 数值分析课件数值分析课件33443302442 3max(1)(2),max39xtxTt tthh Mee 4336232 3()3 310,4,43!9R xhhx 取h=0.0057可满足要求。由81405bahnnn故造表时取1405个等距节点来计算函数值即可。236100.005783 3h数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第4集：数值分析课件数值分析课件数值分析课件数值分析课件基本思想基本思想将待求
21、的将待求的 n n 次多项式插值函数次多项式插值函数用新的基函数用新的基函数表示，再利用插值条件求出表示，再利用插值条件求出 n+1n+1个待定多项式系数个待定多项式系数来求出来求出n n次插值多项式。次插值多项式。Newton 插值是插值是 n n 次多项式插值！次多项式插值！数值分析课件数值分析课件1、NewtonNewton插值函数构造2、差商3、Newton插值余项及例题数值分析课件数值分析课件Newton Newton 插值函数构造数值分析课件数值分析课件已知函数 y=f(x)在n+1个点上的函数值令n次插值多项式为010201011()()()()()()()nnnNxaa xxa
22、xxxxaxxxxxx2012()nnP xaa x a xa x新的n次多项式基函数：0010111,(),()(),()()()nxxxxxxxxxxxx比较21,nx xx0 01 1()()()()nnnn nnL xy lxylxy lx数值分析课件数值分析课件由插值条件，有000000()nxxN xayay101101101110()()nyyxxNxaa xxyaxx2323,nnx xxa aa依次取可以得出()nnNx于是最后可以得出 次Newton插值多项式为将解出的系数用公式表示出来，引进差商的概念。数值分析课件数值分析课件差商数值分析课件数值分析课件一阶差商：()()
23、,ijijijijijf xf xf xf xf x xxxxx二阶差商：记f x=f(x),f x称为零阶差商零阶差商。,jkijijkkifxxfx xf x xxxx1、差商定义k 阶差商：120110110,iiikiiikiiikikikif xxxf xxxf xxxxxx北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件借助差商有：01,0,1,2,kkaf x xxkn00100120101011(),(),()(),()()()nnnN xf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxxn次Newton插值多项式 101011(),()()()nnnnN x
24、Nxf x xxxxxxxx承袭性 10010(),()N xf xf x xxx 2001001201101201(),(),()(),()()Nxf xf x xxxf x x xxxxxNxf x x xxxxx北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件xy=f(x)1 1阶差商阶差商2 2阶差商阶差商n n阶差商阶差商x0y0f x0,x1f x0,x1,x2f x0,x1,xnx1y1f x1,x2f x1,x2,x3:xn-2yn-2f xn-2,xn-1 f xn-2,xn-1,xnxn-1yn-1f xn-1,xnxnyn00100120101011(),(),()()
25、,()()()nnnN xf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxx差商表北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第5集：北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件谱半径Newton Newton 插值余项及例题北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件定理：满足插值条件的n次Newton插值多项式的余项为011()()(),()nnnnR xf xN xf x xx xx证明01,nxa bxx xx 设且01,1nx xx xnNe
26、wton对，有次插值多项式1011()(),()nnnnNtN tf x xx xt1011()()()(),()nnnnNxf xf xN xf x xx xx011()(),()nnnf xN xf x xx xx 00100120101011(),(),()(),()()()nnnN xf xf x xxxf x x xxxxxf x xxxxxxxx 00100120101011(),(),()(),()()()nnnN tf xf x xtxf x x xtxtxf x xxtxtxtx 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件利用插值的唯一性，有()()()()()()n
27、nnnNxL xf xNxf xL x可以得到差商与微商之间的关系11011101()(),()(),(1)!(1)!nnnnnnfff x xx xxxf x xx xnn即有 01(),!nnff x xxn北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件 111.,1!nnnMRxxxa bn101max,nna x bMf x xx x 0112.(),()nnnf xN xf x xx xx011()(),()nnnf xN xf x xx xx 0003.,()f xf xf x x xx 101200100101(),(),(),f xN xf x x xxf xf x xxx
28、f x x x xxxx 1001101,()f xf xf x xxxxxNewton插值余项分析101()nnxxxxxxx北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例4.给定数表x1245y36211.写出差商表；2.试用一次和二次Newton插值多项式计算 f(2.4)的近似值。解：1.差商表?,?,?,?,?,?,?1335/31/22621/342151xyfff北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件?,?,?,?,?,?,?1335/31/22621/342151xyfff用一次Newton插值近似计算f(2.4)，应选与2.4最近的2个节点：由表中行数据有1
29、()6 2(2)210N xxx 1(2.4)(2.4)5.2fN用二次Newton插值近似计算 f(2.4)，应选与2.4最近的3个节点：0121,2,4xxx由表中行数据有25()3 3(1)(1)(2)3N xxxx 2(2.4)(2.4)6.26667fN北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第6集：北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件基本思想基本思想仿照仿照LagrangeLagrange插值函数的构
30、造方法，用设定插值函数的构造方法，用设定函数形式，再利用插值条件求出插值函数。函数形式，再利用插值条件求出插值函数。Hermite 插值是 Lagrange 的推广。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、Hermite 插值函数2、Hermite 插值例题北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件Hermite 插值函数北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件已知 y=f(x)的函数值信息：(),(),0,1,kkkkyf xyf xkn怎样求一个f(x)的插值多项式P(x)？xyy1 1、Hermite插值函数的提法插值函数的提法一个合适的提法应该是P(x)
31、满足在已知函数信息处已知函数信息处相等：();();0,1,kkkkP xy P xykn插值函数的特点是在试验点处与试验值相等！北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件已知 y=f(x)的函数值信息：(),(),0,1,kkkkyf xyfxkn则称P(x)是 f(x)的一个Hermite插值函数。2 2、Hermite插值函数插值函数如果一个函数P(x)满足：();();0,1,kkkkP xy P xyknHermite 插值条件：特别当Hermite插值函数为多项式时，称为Hermite代数插值。();();0,1,kkkkP xy P xykn北京交通大学北京交通大学 数值
32、分析课件数值分析课件函数信息指具体的函数或导数值，在构造对应的插值多项式时有规律为：若已知函数的若已知函数的m m个信息，则对应的插值多项式次数为个信息，则对应的插值多项式次数为m m-1 1。因为因为Hermite插值问题有2n+22n+2函数信息，故函数信息，故 Hermite代数插值为为2n+12n+1次多项式。次多项式。xyy北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件仿照Lagrange插值函数的构造方法，就可以构造出2n+1次Hermite插值多项式函数！具体做法：令次数为2n+1的插值多项式为2100()()()nnnkkkkkkHxyxyx(),()21kkiixxyyn
33、式中是与、无关的一些次多项式根据插值条件即可求出具体的Hermite代数插值函数。2121();();0,1,nkknkkHxy Hxykn北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第7集：北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例5：设 f(x)有四阶导数，且(0.5)0,(0.5)1,(1)0.6,(1)5ffff1、求函数 f(x)的一个插值多项式，并用此插值函数计算f(0.6)的近似值；2、给出你所得插值多项式
34、的误差关系式，估计近似计算 f(0.6)的误差。x0.51f(x)00.6f(x)15北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件解：解：仿照Lagrange插值函数的构造做之。有4个数据信息，选择3次多项式H(x)作为f(x)的插值多项式。令 1234()0.5()1()0.5()1()H xfxfxfxfx (),0.510.513kxkffff式中是与，无关的 次多项式。0.5(0.5),0.5(0.5),1(1),1(1)HfHfHfHf令()kx得出满足1234123412341234(0.5)1(0.5)0(0.5)0(0.5)0(1)0(1)1(1)0(1)0(0.5)0(
35、0.5)0(0.5)1(0.5)0(1)0(1)0(1)0(1)1北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件11111()(0.5)1,(1)0,(0.5)0,(1)0 x对有:注意到函数的零点分解特性：20kkkf xfxf xxxg x 2111(1)(1)0()0.51xa xbx由2111(0.5)1,(0.5)0()1641xxx由222324()(20 16)(0.5)()4(0.5)(1)()4(1)(0.5)xx xxxxxxx同理可得 2220.6(20 16)(0.5)4(0.5)(1)20(1)(0.5)H xx xxxxx2(0.6)(0.6)6.08 10fH
36、北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件为求其余项，令 ,0.5,1R xf xH x x(0.5)(1)(0.5)(1)0RRRR 220.51R xk xxx做辅助函数 4g tf tH tk xt 0.5,1,0txg t说明g(t)在0.5,1上有3个零点。由Rolle定理有g(t)在0.5,1上有2个零点。22440.51,xxxR xf xH xk xx记北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件但g(0.5)=g(1)=0，故g(t)在0.5,1上有4个零点，由Rolle定理有g(t)在0.5,1上有3个零点，g(t)在0.5,1上有2个零点,对辅助函数求4阶导
37、数 4440 4!g tf tH tk xtgtftk x 444!=0tgfk x代入 44!fk x (4)224()()(0.5)(1)0.5,14!fR xxxR xk xx(4)(4)224()2()(0.6)(0.6 0.5)(0.6 1)0.5,14!3 10ffR 4=0.g设为，有 4gt 有一个零点,北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例6：已知 f(x)的4个函数值(1),(1),(1),(2)ffff1、求函数f(x)的一个插值多项式P(x)，P(x)满足(1)(1),(1)(1),(1)(1),(2)(2)PfPfPfPf2、写出 f(x)-P(x)的误
38、差估计式x12yf(1)f(2)y f (1)y f (1)北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件给定4个数据信息，P(x)选为3次多项式，令1234()(1)()(1)()(1)()(2)()P xfh xfh xfh xfh x (),111,23kh xkffff式中是与,无关的 次多项式。()kh x由插值条件得出满足1234123412341234(1)1,(1)0,(1)0,(1)0(1)0,(1)1,(1)0,(1)0(1)0,(1)0,(1)1,(1)0(2)0,(2)0,(2)0,(2)1hhhhhhhhhhhhhhhh仿照Lagrange插值函数的构造来做之。解
39、：北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件根据前面讲的函数零点分解特性1111(1)1,(1)0,(1)0,(2)0hhhh由21()(1)(1)(2)h xa xb xc x2()(1)(1)(2)h xa xb xx2222(1)0,(1)1,(1)0,(2)0hhhh由23()(1)(2)h xa xx3333(1)0,(1)0,(1)1,(2)0hhhh由111(1)1(1)01;111;()0hhbcha 221()(1)(1)1(2)(1)(2)h xxxxxxx 类似地有：223()(1)(2),()0.5(1)(2)h xx xxh xxx北京交通大学北京交通大学 数
40、值分析课件数值分析课件注意到函数零点分解特性：30kkkkf xfxfxf xxxg x 4(2)11ha得34()(1)h xa x4444(1)0,(1)0,(1)0,(2)1hhhh对34()(1)h xx 2231(1)(2)1(1)(2)0.51(1)(2)2(1)P xfxxxfx xxfxxfx观察余项的零因子分解，可写出误差关系为(4)3()()()(1)(2)(1,2)4!ff xP xxx怎样证明？1011!nnnfRxxxxxxxn北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例7、设是 m+n 次多项式，是的n次Newton插值多项式，是插值节点，证明：式中，P(x
41、)是 m-1 次多项式。()m nPx()nN x()m nPx01,nx xx1()()()()m nnnPxN xP xx10()nnkkxxx 证明：()(),0,1,2,m nknkPxN xkn011()()()()()nnm nng xxxxxxPxN xxxgx由题意有g(x)是 m-1 次多项式，令g(x)=P(x)得1()()()()m nnnPxN xP xx北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件例8：已知f(x)满足求函数 f(x)的一个Hermite插值多项式H(x)。解：有5个函数数据信息，因此H(x)为4次多项式(0)(1)(0),(1),2(2)HHH
42、fff(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1fffff2()()(1()2N xax b xHxxx由 f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，得211()(1)(3)22Nxxx xxx北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件33131(0)20 ;(1)()(1)1 24244HbbHaa22)3(4)2)(1(2)3(4)2)(1()3(41)3(21)(xxxxxxxxxxxxxH3()(1)(2)()(1)(2)(2)(1)2H xxax xxaxbxxx xx x 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析
43、课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第8集：北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件问题的提出问题的提出（Runge现象）取函数 21,5,51f xxx n+1个等距节点1050,1,kkxknn :nf xLagrangeLx观察对应的多项式 8Lx 10Lx 110?1!nnnfRxxn()nnR xRunge插值余项，称为现象。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件基本思想将被插函数的插值节点由小到大排序，以每对相邻的两个节点为端点获得若干个小区间，然后在每个小区间上都用m次插值多项式作
44、为近似函数。分段插值是分段函数。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件分段插值提法：01,knka bxaxxxbf x设上的n+1个点：和 x若有函数满足:1),;xC a b2)(),0,1,;kkxf xkn 13),kkxx xm在每个小区间上是次多项式 xa b则称是,上的分段m次插值多项式。特别，当m=1时称为分段线性插值北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、分段插值函数的构造2、分段插值函数的误差北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件分段插值函数的构造北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件1、分段线性插值函数的构造(m=1)xx
45、kxk+1yykyk+1()kkyf x1(),kkxx x是的一次插值多项式，因此有1011 111111()()()(),0,1,1kkkkkkkkkkkkkxxxxxxy lxy lxyyxx xxxxxkn(x)就是分段线性插值函数。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件9Runge现象案例中 个点的分段线性插值多项式北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件2、分段三次Hermite插值函数的构造xxkxk+1yykyk+1yykyk+1(),(),kkkkyf xyfx1,kkx x因为(x)在是3次多项式，选2点3次的Hermite插值函数：031130311
46、31()()()()()(),0,1,1kkkkkkkxxyxyxyxyxxx xkn221031312210313122()1()(),()1()(),()()(),()()()kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxhhhhxxxxxxxxxxhh(x)就是分段三次Hermite插值函数。北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件分段插值函数的误差北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件定理 8 假设出现在如下不等式中的函数的高阶导数存在，则有1、分段线性插值误差估计为21()()()max(),8a x bhR xf xxfxxa b 2、分段三次Hermite
47、插值函数误差估计为4(4)34()()()max(),4!2a x bhR xf xxfxxa b 101max()kkknhxx 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件证明：（证明：（第第2 2问）问）由两点由两点Hermite插值余项可知插值余项可知1(4)223122(4)11()()()()()()4!1max()()max(),4!kkkkkkkkxxxa x bfR xf xxxxxxxxxxfxxx x 144224114441max()()()222kkkkkkkxx xhhxxxxxx 4(4)34()()()max(),4!2a x bhR xf xxfxxa
48、b 北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件同学们好！下面讲授插值与拟合方法的插值法。该内容分9集讲授。第9集：北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件01naxxxb 21),;S xCa b 12),3kkS xx x在每个小区间上是 次多项式若同时还满足3)()()(0,1,)kkS xf xkn则称则称S(x)是是a,b上的上的三次样条插值函数三次样条插值函数。设S(x)定义在a,b上，a,b的一个划分为若函数S(x)满足则称S(x)是a,b上的一个三次样条函数。北京
49、交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件利用三次样条插值函数定义的条件及在内节点 的函数和导数的连续性质，建立关系式来确定样条插值函数。三次样条插值函数是分段插值函数！北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件三次样条插值函数除需要n+1个插值数据外，还需要额外两个插值数据，这是因为：1、三次样条插值函数在每个小区间上都是三次多项式，故在每个小区间 上有4个待定系数；2、共有n个小区间，有4n个待定系数要确定；3、在n-1个内结点有直到二阶的连续导数，可得3(n-1)个条件；4、由插值条件可有n+1个条件故共有4n-2个条件，要想唯一确定3次样条插值函数，还应另加两个条件才行。北
50、京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件4 4、常用的确定三次样条插值函数的边界条件、常用的确定三次样条插值函数的边界条件第类边界条件称为周期性边界条件，周期函数的样条插值。000(),()()(),()()nnnfxfxS xfxS xfx，令I、已知0()()0nfxfx称为自然边界条件。000(),()()(),()()nnnfxfxS xfxS xfx，令II、已知000()(),()(),()()nnnS xS xS xS xS xS xIII、已知北京交通大学北京交通大学 数值分析课件数值分析课件4(4)51)384hfSf、3(4)2)24hfSf、2(4)013),ma