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1、4 简单计数问题第一章 计数原理授课者：黄亮 名称内容分类原理分类原理分步原理分步原理定定 义义相同点相同点不同点不同点一、两个原理的区别与联系：一、两个原理的区别与联系：做一件事或完成一项工作的方法数做一件事或完成一项工作的方法数直接（直接（分类分类）完成）完成间接（间接（分步骤分步骤）完成）完成做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n类办法，类办法，第一类办法中有第一类办法中有m1种不同的方法，种不同的方法，第二类办法中有第二类办法中有m2种不同的方法种不同的方法，第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+m
2、n 种不同的方法种不同的方法做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n个步骤，个步骤，做第一步中有做第一步中有m1种不同的方法，种不同的方法，做第二步中有做第二步中有m2种不同的方法种不同的方法，做第做第n步中有步中有mn种不同的方法，种不同的方法，那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法种不同的方法.二、排列和组合的区别和联系：二、排列和组合的区别和联系：名名 称称排排 列列组组 合合定义定义种数种数符号符号计算计算公式公式关系关系性质性质 ，从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素，素，按一定的顺序按一定的顺序排成一列排成一列从从n个不同元素中
3、取出个不同元素中取出m个元个元素，素，把它并成把它并成一组一组所有排列的的个数所有排列的的个数所有组合的个数所有组合的个数（一）特殊元素（或位置）优先安排（一）特殊元素（或位置）优先安排例1 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有（）（A）120种 （B）96种 （C）78种 （D）72种解：三、典例精讲（二）（二）“相邻相邻”用用“捆绑捆绑”，“不邻不邻”就就“插空插空”例例2 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有（）种（A）960种 （B）840种 （C）720种 （D）600种解：（三）混合
4、问题，先（三）混合问题，先“组组”后后“排排”例3.对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品.故有：种可能练习练习1.某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法_种.解：采用先组后排方法:（四）分类组合（四）分类组合,隔板处理隔板处理练练习习:现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？分析：因为名额没有差别，所以只要
5、看这个学校分到几个名额即可。（五）（五）定序问题缩倍、空位等策略定序问题缩倍、空位等策略当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列【例4】7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有多少种不同的排法？分析：缩倍法：可以先将所有的元素排好，再除以这几个元素的全排列。空位法：设想有7个位置，先让其他的人坐好，再让甲、乙、丙坐。变式训练变式训练从8名同学中任选4名,按从高到矮排成一排,则不同的排列方式有种.(六六)正难则反策略正难则反策略“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如
6、此.此时,正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键【例7】甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法有多少种？四、课堂小结：四、课堂小结：1.进一步理解组合与排列的联系与区别；2.能利用排列组合知识解决一些实际的计数问题。3.掌握解决综合问题的策略（1）特殊元素优先安排的策略：（2）合理分类与准确分步的策略；（3）正难则反、隔板分组、等价转化的策略；（4）相邻问题捆绑处理的策略；（5）不相邻问题插空处理的策略。五五、课后作业：、课后作业：1：课本第22页A组1-22 B组1-2来源:学+科+网2：完成配套资料