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1、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的概念、计算与应用计算与应用 一、一、对弧长的对弧长的曲线积分的概念曲线积分的概念二、二、对弧长的对弧长的曲线积分的性质曲线积分的性质三、三、对弧长的对弧长的曲线积分的计算曲线积分的计算一、对弧长的曲线积分的概念被积函数被积函数弧长元素弧长元素积分弧积分弧第一类曲线积分第一类曲线积分(对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分)存在条件存在条件几何意义与物理意义几何意义与物理意义二、对弧长的曲线积分的性质使得使得其中其中s是曲线是曲线L的长度的长度.(5)设函数设函数f(x)在光滑曲线在光滑曲线L上连续，则在上连续，则在L上必存在一点上必存在一点三、对弧长的曲线积
2、分的计算定理定理注：注：被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的参数方程代入被积函数中参数方程代入被积函数中两种特殊情形两种特殊情形推广推广例例1解解例例2 2解解例例3 3解解(根据积分曲线关于根据积分曲线关于坐标轴的对称性和坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性)对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲
3、线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念引例引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质性质性质1 1性质性质2 2性质性质3 3即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算定理定理特殊情形特殊情形例例1解解注意被积函数相同注意被积函数相同,起起点和终点也相同点和终点也相同,但是由但是由于积分路径不同于积分路径不同,导致积导致积分结果不同分结果不同.例例2解解注意注意被积函数相同被积函数相同,起点和起点和终点也相同终点也相同,虽然积分路径不虽然积分路径不同同,但是积
4、分结果相同但是积分结果相同.例例3 3解解直线段直线段AB的方程是的方程是化为参数方程得化为参数方程得所以所以四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系其中其中格林公式及其应用格林公式及其应用 一、格林公式一、格林公式二、格林公式的简单应用二、格林公式的简单应用三、平面曲线积分与路径无关的条件三、平面曲线积分与路径无关的条件单连通区域单连通区域1.1.单单(复复)连通区域及其正向边界连通区域及其正向边界复连通区域复连通区域单连通区域就是单连通区域就是没有没有“洞洞”的区域的区域.一、格林公式2.2.格林公式格林公式上述公式称为格林公式上述公式称为格林公式,是英国数学家、物理是英国数学
5、家、物理学家格林在学家格林在18251825年发现的年发现的,是微积分基本公式在二是微积分基本公式在二重积分情形下的推广重积分情形下的推广.1.1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分之间的关系第二类曲线积分之间的关系.2.2.给出了计算二重积分的新方法给出了计算二重积分的新方法.3.3.给出了计算第二类曲线积分的新方法给出了计算第二类曲线积分的新方法.格林公式便于记忆的形式格林公式便于记忆的形式(1)(1)简化曲线积分简化曲线积分二、格林公式的简单应用例例1解解例例2解解(2)(2)简化二重积分简化二重积分例例3解解(3)(3)计算平
6、面区域的面积计算平面区域的面积例例4 4解解(4)(4)计算曲线方程未知的曲线积分计算曲线方程未知的曲线积分例例5 5解解(积分值与积分路径无关积分值与积分路径无关)三、平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件例例1 1解解关于曲线积分的几个等价命题关于曲线积分的几个等价命题定理定理设开区域设开区域是一个单连通域是一个单连通域,函数函数在在内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则下列命题则下列命题(1)曲线积分曲线积分在在内与路径无关内与路径无关;等价等价:为某二元函数为某二元函数的全微分的全微分;在在内恒成立内恒成立;对对内任意闭曲线内任意闭曲线二元函数的全微分求积二元函
7、数的全微分求积根据上述定理根据上述定理,若若在在内满足定内满足定理的条件理的条件,则则满足满足称称为表达式为表达式的的原函原函数数.此时此时,因因(1)式右端的曲线积分与路径无关式右端的曲线积分与路径无关,于是于是,选取折线段路径：选取折线段路径：即得即得或选取折线段路径：或选取折线段路径：即得即得其中其中是区域是区域D内的任意一点，常取内的任意一点，常取另曲线积分另曲线积分在在内与路径无关内与路径无关，且，且则例例1验证验证是全微分，是全微分，并求其一个原函数并求其一个原函数.证证这里这里所以原式是全微分，所以原式是全微分，为起点，得为起点，得取取为其一个原函数为其一个原函数.例例2计算计算
8、积分沿不通过坐标原积分沿不通过坐标原点的路径点的路径.解解显然显然,当当时时,于是于是对面积的曲面积分的概念、对面积的曲面积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对面积的曲面积分的概念一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算三、对面积的曲面积分的计算 一、对面积的曲面积分的概念实例实例 所谓曲面光滑即曲面所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面上各点处都有切平面,且且当点在曲面上连续移动时当点在曲面上连续移动时,切平面也连续转动切平面也连续转动.积分曲面积分曲面dS 面积元素面积元素积分和式积分和式被积函数被积函数 以上积分也称为第一类
9、曲面积分或对面积以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分的曲面积分.曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些物理量物理量.二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：则则则则解解例例1对坐标的曲面积分的概念、对坐标的曲面积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对坐标的曲面积分的概念一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系为研究问题的需要
10、为研究问题的需要,在双侧曲面上选定某一侧在双侧曲面上选定某一侧.选定了侧的双侧曲面称为选定了侧的双侧曲面称为定向曲面定向曲面.曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的曲面积分的计算注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.例例1解解说明说明:如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的,必须分片计算积分必须分片计算积分,然后把结果相加然后把结果相加.解解例例2积积长长个个侧侧四、两类曲面积分之间的联系两类曲面积
11、分之间的联系两类曲面积分之间的联系合一投影法合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分二重积分.解解例例4高斯公式及其应用高斯公式及其应用 一、高斯公式一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件一、高斯公式根据高斯公式根据高斯公式例例1解解使用高斯公式时的注意事项使用高斯公式时的注意事项例例3解解斯托克斯公式及其应用斯托克斯公式及其应用 一、一、斯托克斯公式斯托克斯公式二、典型例题二、典型例题1.1.定向曲面边界曲线的方向定向曲面边界曲线的方向一、斯托克斯公式2.2.斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式为了便于记忆为了便于记忆,斯托克斯公式可记为斯托克斯公式可记为斯托克斯公式的另一种形式斯托克斯公式的另一种形式 表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系.是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格是格林公式的推广林公式的推广.格林公式格林公式斯托克斯公式的实质二、典型例题例例1解解