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1、9.3.1 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算二、对面积的曲面积分的计算19.3.1、对面积的曲面积分、对面积的曲面积分1实例实例 曲面型物件的质量曲面型物件的质量 一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质 曲曲面面型型物物件件占占有有O-xyz空空间间中中的的曲曲面面(光光滑滑或或分分片片光光滑滑),且且有有连连续续的的面面密密度度为为(x,y,z),求求曲曲面面型型物件的质量。物件的质量。其中其中是是n个小曲面个小曲面块的直径的最大值。块的直径的最大值。2“乘积乘积和式极限和式极
2、限”都存在都存在,积的积的曲面积分曲面积分记作记作或或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对若对 做做任意分割任意分割和局部区域和局部区域任意取点任意取点,则称此极限为函数则称此极限为函数 f(x,y,z)在曲面在曲面 上上对面对面2、对面积的曲面积分的定义、对面积的曲面积分的定义定义定义9.3.1 设曲面设曲面是光滑的有限曲面，是光滑的有限曲面，函数函数f(x,y,z)在在上有界。上有界。其中其中f(x,y,z)叫做被积函数，叫做被积函数，叫做积分曲面。叫做积分曲面。33、几点说明、几点说明则对面积的曲面积分存在则对面积的曲面积分存在.在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续,(1)积分的存在性积分的
3、存在性:(2)曲面型物件的质量为曲面型物件的质量为曲面面积为曲面面积为4具有对弧长曲线积分同样的性质。具有对弧长曲线积分同样的性质。4、对面积的曲面积分的性质、对面积的曲面积分的性质（1）关于被积函数的线性性质）关于被积函数的线性性质（2）关于积分曲面的可加性）关于积分曲面的可加性则有则有若若 是分片光滑的是分片光滑的,例如分成两例如分成两 片光滑曲面片光滑曲面5（3）关于被积函数的不等式性质）关于被积函数的不等式性质（4）估值定理）估值定理（5）积分中值定理）积分中值定理5、对称性的应用、对称性的应用 6定理定理9.3.1:设有光滑曲面设有光滑曲面f(x,y,z)在在 上连续上连续,存在存在
4、,且有且有二、对面积的曲面积分的计算法 则则曲面积分曲面积分计算方法可概括为计算方法可概括为“一代、二换、三投影一代、二换、三投影”7（1）计算方法可概括为）计算方法可概括为“一代、二换、三投影一代、二换、三投影”“二换二换”将将dS换成相应的曲面面积元素的表达换成相应的曲面面积元素的表达式：式：如如：z=z(x,y)，则则“三投影三投影”认清认清在在xoy平面上的投影区域平面上的投影区域Dxy（2）如）如：x=x(y,z)，此时投影区域此时投影区域Dyz；如如：y=y(x,z)，此时投影区域为此时投影区域为Dzx。“一代一代”将将z=z(x,y)代入被积函数代入被积函数f(x,y,z)，得得
5、f x,y,z(x,y)；说明说明8例例1 计算曲面积分计算曲面积分 ，其中，其中是球面是球面 x2+y2+z2=a2被平面被平面 z=h(0h0)之间的之间的柱面柱面x2+y2=R2 HyxzOR解法一：在解法一：在上有上有x2+y2=R2，所以所以 又又关于平面关于平面x=0对称，对称，所以所以11其中其中(RyR，0zH)于是于是 12解法二：用垂直于解法二：用垂直于z轴的平面去截轴的平面去截 dS=2RdzHyxzOR13解：解：Dxy：x2+y2 2ax，例例3 计算计算 其中其中：锥面锥面被柱面被柱面x2+y2=2ax（a0）割下的部分割下的部分 因为因为关于关于xoz面对称，面对
6、称，xy+yz是是y的奇函数，所以的奇函数，所以 1415例4.求半径为R 的均匀半球壳 的质心.解解:设设 的方程为的方程为利用对称性可知质心的坐标利用对称性可知质心的坐标16 曲曲面面型型物物件件占占有有O-xyz空空间间中中的的曲曲面面(光光滑滑或或分片光滑分片光滑),且有连续的面密度为且有连续的面密度为(x,y,z)注:对面积的曲面积分的应用质心质心17转动惯量转动惯量18小结 本本节节主主要要学学习习了了对对面面积积的的曲曲面面积积分分的的概概念念,以以及对面积的曲面积分的计算方法。及对面积的曲面积分的计算方法。本本节节要要求求理理解解对对面面积积的的曲曲面面积积分分的的概概念念,了了解解曲曲面面积积分分的的性性质质,熟熟练练掌掌握握对对面面积积的的曲曲面面积积分分的的计计算。算。下节课的内容:对坐标的曲面积分19