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1、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的概念、计算与应用计算与应用 一、一、对弧长的对弧长的曲线积分的概念曲线积分的概念二、二、对弧长的对弧长的曲线积分的性质曲线积分的性质三、三、对弧长的对弧长的曲线积分的计算曲线积分的计算一、对弧长的曲线积分的概念,),(1 niiiisf 作和作和上任取一点上任取一点在在的长度为的长度为个小段个小段设第设第个小段个小段分成分成把把列列上任意插入一个点上任意插入一个点在在上有界上有界在在函数函数端点的光滑曲线弧端点的光滑曲线弧为为面内以面内以是是定义设定义设), 2 , 1)(,(,.),(,11210niMMsMMinLBMMMMALLyxfBAxOyL
2、iiiiiiin 记作记作上的曲线积分上的曲线积分在在此极限为数量值函数此极限为数量值函数则称则称和的极限总存在和的极限总存在时时如果当如果当记记,),(,0,max1Lyxfsini .d),( Lsyxf1 nMiM1 iM2M1MOxyABL),(ii is niiiiLsfsyxf10),(limd),( 被积函数被积函数弧长元素弧长元素积分弧积分弧第一类曲线积分第一类曲线积分( (对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分) ).,段上的曲线积分之和段上的曲线积分之和等于函数在各光滑曲线等于函数在各光滑曲线上的曲线积分上的曲线积分则函数在则函数在是分段光滑的是分段光滑的如果如果LL.d),()
3、,(, LsyxfLyxfL积分常常记为积分常常记为上的曲线上的曲线在在则函数则函数是封闭曲线是封闭曲线如果如果存在条件存在条件.d),(,),()1(存在存在上连续上连续在光滑曲线在光滑曲线 LsyxfLyxf.d),(,),()2(存在存在断点断点上只有有限多个间上只有有限多个间并且在并且在上有界上有界在在 LsyxfLLyxf几何意义与物理意义几何意义与物理意义,),(),()1(处的高时处的高时在点在点的柱面的柱面表示准线为表示准线为当当yxLyxf;d),( LsyxfS柱面面积柱面面积xyzOL),(yxfz ,),()3(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx .d),( Lsy
4、xM OxyL),(yx ,1),()2(时时当当 yxf;d LsL弧长弧长,R,:)1( 线性性质线性性质 LLLsyxgsyxfsyxgyxfd),(d),(d),(),( , )2(21LLL和和可分成两段光滑曲线弧可分成两段光滑曲线弧若积分弧段若积分弧段.d),(d),(d),( 21 LLLsyxfsyxfsyxf则则.d,1),()3(的长度的长度等于等于时时当当LsyxfL 二、对弧长的曲线积分的性质.d),(d),( , ),(),( (4) LLsyxgsyxfyxgyxfL则则上上设在设在.d),(d),( LLsyxfsyxf特殊地特殊地使得使得其中其中s是曲线是曲线L
5、的长度的长度.(5)设函数设函数f(x)在光滑曲线在光滑曲线L上连续，则在上连续，则在L上必存在一点上必存在一点( , ) ( , )d( , ) ,Lf x ysfs . )( d)()()(),(d),( , d),( 0,)()( , )()( , )( ,)()( , ),(2222 tttttfsyxfsyxfttttttytxLLyxfLL且且存在存在分分则曲线积则曲线积且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在、其中其中方程为方程为的参数的参数上有定义且连续上有定义且连续在在设函数设函数三、对弧长的曲线积分的计算定理定理注：注：. 0,. iits从而要求从而要求总是大于零总是
6、大于零长度长度因为小弧段的因为小弧段的一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限 被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的被积函数是定义在积分曲线弧上，所以要把积分曲线弧的参数方程代入被积函数中参数方程代入被积函数中两种特殊情形两种特殊情形.),(:. 1bxaxyyL .),(,:bxaxyyxxL ).( d)(1)(,d),(2baxxyxyxfsyxfbaL .),(:. 2dycyxxL .,),(:dycyyyxxL ).( d1)(),(d),(2dcyyxyyxfsyxfdcL 推广推广则有则有上连续上连续在在函数函数给出给出由参数方程由参数方程弧弧如果空间
7、光滑曲线如果空间光滑曲线,),(,)()(),(),( zyxfttzztyytxx )( d)()()()(),(),(d),(222 ttztytxtztytxfszyxf3.:( ),.L rr :cos ,sin ,.L xryr22( , )d cos , sin ( ) ( )d ().Lf x ysf rrrr .)1 , 1()0 , 0(,d2之间的那一段弧之间的那一段弧点点与与介于点介于点是抛物线是抛物线计算计算xyLsyL , 10,:2 xxyL积分曲线积分曲线 1022d)2(1dxxxsyL 102d41xxx.12155 例例1解解例例2 2.2:,d2222yy
8、xLsyxL 其中其中求求解解 : 的极坐标方程为的极坐标方程为L,2sin )0( Lsyxd22 0d2)sin2( d)()(d22 s d)sin2()cos2(22 ,d2 . 8 例例3 3. 134:,d)243(2222 yxLsxyyxL其中其中求求解解, 134: 22 yxL因为因为,1243 22 yx所以所以 Lsxyyxd)243(22 Lsxy d)212( LLsxysd2d12( (根据积分曲线关于根据积分曲线关于坐标轴的对称性和坐标轴的对称性和被积函数的奇偶性被积函数的奇偶性) )0 ) (.12是椭圆的周长是椭圆的周长aa 对坐标的曲线积分的概念、对坐标的
9、曲线积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分之间的联系一、对坐标的曲线积分的概念引例引例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功xOyABL.,),(),(),(,所作的功所作的功力力变变计算在上述移动过程中计算在上述移动过程中的作用的作用质点受到力质点受到力中中在移动过程在移动过程移动到点移动到点面曲线弧面曲线弧沿光滑的平沿光滑的平设一个质点从点设一个质点从点FjyxQiyxPyxFBLA .d),
10、(d),( LyyxQxyxP二、对坐标的曲线积分的性质二、对坐标的曲线积分的性质性质性质1 1 ,则则为常数为常数、设设 .d),(d),(d),(),(2121 LLLryxFryxFryxFyxF 性质性质2 2则则和和有向曲线弧有向曲线弧可分成两段光滑的可分成两段光滑的如果有向曲线弧如果有向曲线弧, 21LLL.d),(d),(d),(21 LLLryxFryxFryxF则则曲线弧曲线弧方向相反的有向方向相反的有向是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设, , LLL 性质性质3 3.d),(d),(- LLryxFryxF即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有
11、关. .三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算,d),(d),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LyyxQxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理ttttQtttPyyxQxyxPLd)()(),()()(),(d),(d),( 且且特殊情形特殊情形.)(:)
12、1(baxxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .d)()(,)(,ddxxyxyxQxyxPyQxPbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为 .d),()(),(ddyyyxQyxyyxPyQxPdcL 则则., :的终点的终点上限对应上限对应的起点的起点定积分的下限始终对应定积分的下限始终对应注意注意LL.,)()()(: )3( 终点终点起点起点空间光滑曲线空间光滑曲线ttztytx tttttRttttQttttPzRyQxPd)()(),(),()()(),(),()()(),(),(ddd .)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的直线段的直线段轴到点
13、轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算aBxaAaLxyL AB.0: ,sin,cos:)1( ayaxL d )sin(sin022 aaI.34dsin3033aa 例例1解解.:, 0,:)2(aaxyxxL LxyId2. 0d0 aax注意被积函数相同注意被积函数相同, ,起起点和终点也相同点和终点也相同, ,但是由但是由于积分路径不同于积分路径不同, ,导致积导致积分结果不同分结果不同. .AB.,)0 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(.,2),(22处处处
14、再沿直线行进到处再沿直线行进到然后从然后从处处处沿直线行进到处沿直线行进到质点从质点从处处行进到行进到处沿抛物线处沿抛物线质点从质点从的功的功求下述情形下场力所作求下述情形下场力所作在场力作用下运动在场力作用下运动一质点一质点设有一平面力场设有一平面力场BAAOBxyOjxxyiyxF OAB. 10:,:)1(2 xxyL LyxxxyWdd22 1022d)22(xxxxx. 1d4103 xx例例2解解. 10:, 1: , 10:, 0: ,)2( yxABxyOAABOAL ABOAyxxxyyxxxyWdd2dd222. 1d010 y注意注意被积函数相同被积函数相同, ,起点和起
15、点和终点也相同终点也相同, ,虽然积分路径不虽然积分路径不同同, ,但是积分结果相同但是积分结果相同. .OAB 102102d)1012(d)002(yyxxx例例3 3.)0 , 0 , 0()1 , 2 , 3(,dd3d223ABBAzyxyzyxx的直线段的直线段到点到点点点是从是从其中其中计算计算 解解直线段直线段AB的方程是的方程是;123zyx 化为参数方程得化为参数方程得,2,3tztytx 所以所以zyxyzyxxdd3d223 ttttttd2)3(2)2(33)3(01222 tt d87013 . 01变到变到从从t.487 四、两类曲线积分之间的联系四、两类曲线积分
16、之间的联系,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLsQPyQxPd)coscos(dd 则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt 格林公式及其应用格林公式及其应用 一、格林公式一、格林公式二、格林公式的简单应用二、格林公式的简单应用三、平面曲线积分与路径无关的条件三、平面曲线积分与路径无关的条件D单连通区域单连通区域1.1.单单( (复复) )连通区域及其正向边界连通区域及其正向边界.,称为复连通区域称为复连通区域不是单连通的平面区域不是单连通的平面区域域域是平面单
17、连通区是平面单连通区则称则称所围的有界区域都属于所围的有界区域都属于内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线如果如果为一平面区域为一平面区域设设DDDD复连通区域复连通区域D单连通区域就是单连通区域就是没有没有“洞洞”的区域的区域. .一、格林公式:,的正向如下的正向如下的边界曲线的边界曲线规定规定平面上的闭区域平面上的闭区域是是设设DxOyD.,),(终位于他的左侧终位于他的左侧始始邻近处的邻近处的前行进时前行进时并沿边界的这一方向朝并沿边界的这一方向朝侧侧轴正向所指的一轴正向所指的一位于位于平面上平面上当人站立于当人站立于DzxOy.的正向边界曲线的正向边界曲线为为带有正向的边界曲线称带有正向的边
18、界曲线称DDxyOz112241),(:223 yxyxD .1),(4),( 2222共同组成共同组成与顺时针走向的圆周与顺时针走向的圆周的圆周的圆周正向边界为逆时针走向正向边界为逆时针走向 yxyxyxyx2.2.格林公式格林公式. ,dddd ,),(),( ,1的正向边界曲线的正向边界曲线是是其中其中则有则有上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在函数函数所围成所围成由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线设闭区域设闭区域定理定理DLyQxPyxyPxQDyxQyxPLDLD 上述公式称为格林公式上述公式称为格林公式, ,是英国数学家、物理是英国数学家、物理学家格林在学家格林在182518
19、25年发现的年发现的, ,是微积分基本公式在二是微积分基本公式在二重积分情形下的推广重积分情形下的推广. .1.1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分之间的关系第二类曲线积分之间的关系. .2.2.给出了计算二重积分的新方法给出了计算二重积分的新方法. .3.3.给出了计算第二类曲线积分的新方法给出了计算第二类曲线积分的新方法. .格林公式便于记忆的形式格林公式便于记忆的形式.d),(d),(dd LDyyxQxyxPyxQPyx : dddd 的重要意义的重要意义公式公式 LDyQxPyxyPxQ(1)(1)简化曲线积分简化曲线积分
20、.)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(,dd4正向边界正向边界为顶点的三角形区域的为顶点的三角形区域的是以是以其中其中计算计算LyxyxxL xyO11D由格林公式由格林公式所围区域为所围区域为记记,DL DLyxyxxxyyxyxxdd)()(dd44 Dyxydd.61dd1010 xyyx二、格林公式的简单应用例例1解解xyOABr.)0 ,(), 0(,d的部分的部分到到的圆周在第一象限从的圆周在第一象限从是半径为是半径为计算计算rBrArLyxL ., BOOA添加定向直线段添加定向直线段.LOABO 定向闭曲线定向闭曲线,),(, 0),(xyxQyxP . 0, 1 y
21、PxQ DyxyPxQyxdd)(d Dyxdd.42r 例例2解解 BOyxd OAyxd .4dd 2ryxyxL 所以所以, 0d00 rxx, 0d00 ryxyOABrOABxy(2)(2)简化二重积分简化二重积分.)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(:,dde2为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域以以计算计算BAODyxDy 则则令令,e, 02yxQP .e2yyPxQ BOABOAyDyyxyxdedde22 OAyyxde2. 10:.: xxyOA).e1(211 10de2xxx例例3解解.2dd2dd的面积的面积DDLSyxyxxy (3)(3)计算平面区
22、域的面积计算平面区域的面积.d),(d),(d)( LDyyxQxyxPyPxQ 则则令令,xQyP 则则令令, 0 xQP .ddd的面积的面积DDLSyxyx 则则令令, 0, QyP.ddd的面积的面积DDLSyxxy .dd21dd LLLDyxxyxyyxS的面积的面积例例4 4所围成图形的面所围成图形的面求椭圆求椭圆 sin,cosbyax .A积积解解 LxyyxAdd21 20d21 ab 2022d)sincos(21 abab.ab Oxy(4)(4)计算曲线方程未知的曲线积分计算曲线方程未知的曲线积分.,dd22方向为逆时针方向方向为逆时针方向闭曲线闭曲线滑且不经过原点的
23、连续滑且不经过原点的连续分段光分段光为一条无重点为一条无重点其中其中计算计算LyxxyyxL .),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,)0 , 0(),(时时当当 yx,)(22222yxxyyPxQ . 0 yPxQ即即.,上不一定连续上不一定连续在在所围成的闭区域为所围成的闭区域为记记DyPxQDL 例例5 5解解xyOLDxyOLD.,)0 , 0()1(上连续上连续在在时时当当DyPxQD DLyxyPxQyxxyyxdd)(dd22. 0 .,)0 , 0()2(上不连续上不连续在在时时当当DyPxQD .,:,1222DCLLDCryxCrrrr围成的复连通区域为围成的
24、复连通区域为共同共同与与记记不相交不相交内且与内且与位于位于使得使得为半径作圆周为半径作圆周以原点为圆心以原点为圆心 rC).(),(),(1)1(DCyxQyxP xyOL1DrC.,1格林公式格林公式上应用上应用在在取逆时针方向取逆时针方向DCr 1dd)(0DyxyPxQ rCLyQxPyQxPdddd rrCCLyQxPyQxPyQxPdddddd所以所以)(2dd122所围图形的面积所围图形的面积rCCrxyyxrr .2222 rr( (积分值与积分路径无关积分值与积分路径无关) )三、平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件.,00线线的光滑或分段光滑的曲的光滑或
25、分段光滑的曲到到内从内从是是内任意两点内任意两点为为为一平面开区域为一平面开区域设设MMGLGMMGG0MMLL.,d),(d),(0内与路径有关内与路径有关该曲线积分在该曲线积分在否则便说否则便说内与路径无关内与路径无关则称该曲线积分在则称该曲线积分在关关而与积分的路径无而与积分的路径无有关有关的两个端点的两个端点只与只与如果曲线积分如果曲线积分GGMMLyyxQxyxPL . ) ( dd , ),(),( , 2内恒成立内恒成立在在的充分必要条件是的充分必要条件是曲线的曲线积分为零曲线的曲线积分为零内任意闭内任意闭或沿或沿内与路径无关内与路径无关在在则曲线积分则曲线积分内具有一阶连续偏导
26、数内具有一阶连续偏导数在在函数函数是一个单连通域是一个单连通域设区域设区域定理定理GxQyPGGyQxPGyxQyxPGL .)(),( ,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2yPyxxQ .,选取特殊路径简化积分选取特殊路径简化积分曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的有向折线段的有向折线段L.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(2222的一段有向弧的一段有向弧到到上从上从是是其中其中计算积分计算积分yyxLyyxxyxyL 例例1 1解解xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L )0, 1()0,0(22d)(d)21(
27、yyxxyxy )1 , 1()0, 1(22d)(d)21(yyxxyxy 10210d)1(d1yyx.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1L关于曲线积分的几个等价命题关于曲线积分的几个等价命题定理定理设开区域设开区域D是一个单连通域是一个单连通域, , 函数函数),(yxP在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, ,),(yxQ则下列命题则下列命题 LQdyPdx(1)曲线积分曲线积分在在D内与路径无关内与路径无关;等价等价:(2)(3)为某二元函数为某二元函数( , )u x y的全微分的
28、全微分;PdxQdy 在在D内恒成立内恒成立;QPyx (4)对对D内任意闭曲线内任意闭曲线,L0.LPdxQdy二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积根据上述定理根据上述定理, ,若若( , ),( , )P x y Q x y在在D内满足定内满足定理的条件理的条件, , 则则00( , )(,)( , )( , )( , )x yxyu x yP x y dxQ x y dy (1)满足满足( , )( , )( , ).du x yP x y dxQ x y dy称称( , )u x y为表达式为表达式( , )( , )P x y dxQ x y dy 的的原函原函数数. .此时此时
29、, ,因因(1)式右端的曲线积分与路径无关式右端的曲线积分与路径无关,于是于是, ,00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 000( ,)( , )xyxyP x y dxQ x y dy 选取折线段路径：选取折线段路径：即得即得000(,)( ,)( , )xyx yx y00( , )(,)( , )x yxyu x yPdxQdy 000(, )( , )yxyxQ xy dyP x y dx或选取折线段路径：或选取折线段路径：即得即得000(,)(, )( , )xyxyx y其中其中00(,)xy是区域是区域D内的任意一点，常取内的任意一点，常取(0,0)另曲
30、线积分另曲线积分LPdxQdy在在D内与路径无关内与路径无关，且，且( , )( , )( , )du x yP x y dxQ x y dy，则00( , )(,)00( , )(,)x yxyPdxQdyu x yu xy例例1验证验证dyyyxdxxyx)23()23(2232 是全微分，是全微分，并求其一个原函数并求其一个原函数 .证证这里这里,23,232232yyxQxyxP ,62xyxQyP 所以原式是全微分，所以原式是全微分，)0 , 0(为起点，得为起点，得取取dyyyxdxxyxyxuyx ),()0,0(2232)23()23(),(dyyyxdxxxy 00222)2
31、3(32323yyxx 为其一个原函数为其一个原函数 .例例2计算计算,)8,6()0, 1(22 yxydyxdx积分沿不通过坐标原积分沿不通过坐标原点的路径点的路径. .解解显然显然, , 当当)0 , 0(),( yx时时, ,22yxydyxdx 于是于是 )8,6()0, 1(22yxydyxdx)8,6()0, 1(22yx 9. )8,6()0, 1(22yxd,22yxd 对面积的曲面积分的概念、对面积的曲面积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对面积的曲面积分的概念一、对面积的曲面积分的概念二、对面积的曲面积分的性质二、对面积的曲面积分的性质三、对面积的曲面积分的计算三、对面
32、积的曲面积分的计算 一、对面积的曲面积分的概念实例实例 所谓曲面光滑即曲面所谓曲面光滑即曲面上各点处都有切平面上各点处都有切平面, ,且且当点在曲面上连续移动时当点在曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. . . , ),( , 求其质量求其质量函数函数它的面密度为连续它的面密度为连续是光滑的是光滑的若曲面若曲面zyx iiiniiSf ),(lim10 Szyxfd),( 即即积分曲面积分曲面dS 面积元素面积元素积分和式积分和式被积函数被积函数 以上积分也称为第一类曲面积分或对面积以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分的曲面积分. .d),(, ),(一定存在一定
33、存在曲面积分曲面积分第一类第一类上连续时上连续时在光滑曲面在光滑曲面当当 Szyxfzyxf 曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些曲面积分可以用来表示与物质曲面有关的一些物理量物理量. ,),( 上连续上连续在在设曲面面密度设曲面面密度 zyx ;d),( SzyxM 曲面质量曲面质量,d),(1 SzyxxMx 曲面重心坐标曲面重心坐标,d),(1 SzyxyMy .d),(1 SzyxzMz 二、对面积的曲面积分的性质 .d),( d),( , SzyxfSzyxf可写成可写成为闭曲面时为闭曲面时当当 . d , 1),( 的面积的面积是曲面是曲面时时当当 Szyxf则则及及可可分分为
34、为分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21 .d),(d),(d),(21 SzyxfSzyxfSzyxf三、对面积的曲面积分的计算;dd),(),(1),(,22yxyxzyxzyxzyxfxyDyx Szyxfd),(),(:. 1yxzz 若曲面若曲面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：, 面上的投影面上的投影在在为为xoyDxy ;dd),(),(1),(,22zxzxyzxyzzxyxfxzDzx Szyxfd),(则则.dd),(),(1,),(22zyzyxzyxzyzyxfyzDzy Szyxfd),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面则则2.:
35、( , ),yy x z若若曲曲面面解解.255,d)(22所截得的部分所截得的部分被柱面被柱面为平面为平面其中其中计算计算 yxzySzyx,5:yz 积分曲面积分曲面,25:22 yxxOy面上的投影区域面上的投影区域在在yxzzSyxdd1d22 yxdd)1(012 ,dd2yx 例例1 Szyxd)(故故 xyDyxyyxdd)5(2 xyDyxxdd)5(2 d)cos5(25020 d.2125 对坐标的曲面积分的概念、对坐标的曲面积分的概念、计算与应用计算与应用 一、对坐标的曲面积分的概念一、对坐标的曲面积分的概念二、对坐标的曲面积分的性质二、对坐标的曲面积分的性质三、对坐标的
36、曲面积分的计算三、对坐标的曲面积分的计算四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系为研究问题的需要为研究问题的需要, ,在双侧曲面上选定某一侧在双侧曲面上选定某一侧. .选定了侧的双侧曲面称为选定了侧的双侧曲面称为定向曲面定向曲面. ., 相反侧的曲面记为相反侧的曲面记为则选定其则选定其的定向曲面的定向曲面表示一张选定了某个侧表示一张选定了某个侧用用 曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. . ,)( xySxoyS 面上的投影为面上的投影为在在.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时
37、当当 xyxyxyS.)(表示投影区域的面积表示投影区域的面积其中其中xy , S 上取一小块曲面上取一小块曲面在有向曲面在有向曲面.dddddddddddddddddd , . 1212121 yxRxzQzyPyxRxzQzyPyxRxzQzyP则则可表示成可表示成如果如果.dd),(dd),(dd),(dd),(dd),(dd),(. 2 yxzyxRyxzyxRxzzyxQxzzyxQzyzyxPzyzyxP二、对坐标的曲面积分的性质oxyz z三、对坐标的曲面积分的计算, ),( )1(所给曲面的上侧所给曲面的上侧是由方程是由方程设积分曲面设积分曲面yxzz yxD),(kkk yx
38、k)( , xyDxOy面上的投影为面上的投影为在在 , ),( , ),(上连续上连续在在一阶连续偏导数一阶连续偏导数上具有上具有在在 zyxRDyxzzxy注意注意: :对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分, ,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧. . .dd),(,dd),(,dd),(取下侧取下侧取上侧取上侧xyxyDDyxyxzyxRyxyxzyxRyxzyxR yzDzyzyzyxPzyzyxPdd,),(dd),( 则有则有Oxyz .dd,),(,dd,),(取后侧取后侧取前侧取前侧yzyzDDzyzyzyxPzyzyzyxP,),()2(给出给出由由如果如果zyxx ,),
39、()3(给出给出由由如果如果xzyy zxDxzzxzyxQxzzyxQdd),(,dd),( 则有则有xyzO .dd),(,dd),(,取左侧取左侧取右侧取右侧zxzxDDxzzxzyxQxzzxzyxQ.0, 01,dd222的部分的部分的外侧并满足的外侧并满足是球面是球面其中其中计算计算 yxzyxyxxyz.分成上下两块分成上下两块将将 .,1:221上侧上侧上块上块yxz .,1:222下侧下侧下块下块yxz . 0, 0, 1:22 yxyxDxy投影区域均为投影区域均为xyz2 1 21ddddddyxxyzyxxyzyxxyz例例1解解 12ddddddyxxyzyxxyzy
40、xxyz xyxyDDyxyxxyyxyxxydd)1(dd12222 xyDyxyxxydd1222.152dd1cossin222 xyDrrrr 说明说明: :如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的如果积分曲面是由几片有向光滑曲面组成的, ,必须分片计算积分必须分片计算积分, ,然后把结果相加然后把结果相加. .解解:分成以下六部分分成以下六部分把有向曲面把有向曲面 ;)0 ,0(:1的上侧的上侧byaxcz ;)0 ,0(0:2的下侧的下侧byaxz ;)0 ,0(:3的前侧的前侧czbyax ;)0 ,0(0:4的后侧的后侧czbyx ;)0 ,0(:5的右侧的右侧czaxby 例例
41、2222d dd dd d ,( , , )|0, 0, 0.xy zyz xzx yx y zxaybzc 求求曲曲面面分分其其中中 是是方方体体 的的整整表表面面的的外外积积长长个个侧侧;)0 ,0(0:6的左侧的左侧czaxy ,43面上的投影为零面上的投影为零其余四片曲面在其余四片曲面在外外除除yOz zyxdd2类似地可得类似地可得,dd22acbxzy 因此因此zyxdd32 4.dd2zyxzyzyaxyxyDDdd0dd22 .2bca .dd22abcyxz 于是所求曲面积分为于是所求曲面积分为.)(abccba oxyz, ),( )1(确定确定是由方程是由方程设积分曲面设
42、积分曲面yxzz yxD , xyDxOy面上的投影为面上的投影为在在 , ),( , ),(上连续上连续在在一阶连续偏导数一阶连续偏导数上具有上具有在在 zyxRDyxzzxy四、两类曲面积分之间的联系 xyDyxyxzyxRyxzyxRdd),(,dd),(则则oxyzyxD 的法向量的方向余弦为的法向量的方向余弦为曲面曲面 n.11cos,1cos,1cos222222yxyxyyxxzzzzzzzz SRQPyxRxzQzyPd)coscoscos(dddddd 两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系合一投影法合一投影法将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的将三种类型的积分转化为
43、同一个坐标面上的二重积分二重积分. .那么那么上连续上连续在在函数函数的方程为的方程为如果如果,),(),(),(,),(),( yxRyxQyxPDyxyxzzxy yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( xyDxyxzyxzyxP),(),(, , , ( , )( , ) , , ( , )d dyQ x y z x yzx yR x y z x yx y.,取下侧时为负取下侧时为负取上侧时为正取上侧时为正积分前的符号当积分前的符号当 ).(,),(),(:)2( CRQPDxzxzyyzx zxDxxzyzxzyxP),(),(, , ( , ), , (
44、, ), ( , )d dzQ x y z x zR x y z x zy z xz x yxRxzQzyPdddddd.,取左侧时为负取左侧时为负取右侧时为正取右侧时为正积分前的符号当积分前的符号当 ).(,),(),(:)3( CRQPDzyzyxxyz yzDyzyxzyzyxQzyzyxP),(,),(,),( ( , ), , ( , )zR x y zy zxy zdydz.,取后侧时为负取后侧时为负取前侧时为正取前侧时为正积分前的符号当积分前的符号当 yxRxzQzyPdddddd解解.20)(21,)(222之间部分的下侧之间部分的下侧和和介于平面介于平面是旋转抛物面是旋转抛物
45、面其中其中计算曲面积分计算曲面积分 zzyxzzdxdydydzxz.面上的二重积分面上的二重积分转化为转化为xOy. 4:),(21),(:2222 yxDyxyxzzxy,取下侧取下侧 xzx例例42222211 ()()()42xyDxyxxxydxdy 原原式式22222211()()42xyDx xyxxydxdy 2221()2xyDxxydxdy 0 , 对称对称关于关于因为因为xyDxy 22,xyxyDDx dxdyy dxdy2221()2xyxyDDx dxdyxydxdy22()xyDxydxdy .8dd20220 rr 2222211 ()()()42xyDxyxx
46、xydxdy 原原式式2221()2xyDxxydxdy 高斯公式及其应用高斯公式及其应用 一、高斯公式一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件那么那么上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在如果函数如果函数的曲面所组成的曲面所组成滑滑由有限块光滑或分片光由有限块光滑或分片光定理设空间闭区域定理设空间闭区域,),(),(),(,zyxRzyxQzyxP,ddddddd yxRxzQzyPvzRyQxP . ),( cos,cos,cos, 处的法向量的方向余弦处的法向量的方向余弦在点在点是是的边界曲面的外侧的边界曲面的外侧取取其中其中zyx 一、
47、高斯公式SRQPvzRyQxPd)coscoscos(d 或或.,dd)(dd)(dd)(个表面的外侧个表面的外侧的轴向正方体的整的轴向正方体的整边长为边长为是以原点为中心是以原点为中心其中其中计算计算ayxxzxzzyzyyx , ,xzRzyQyxP vzRyQxPd原式原式 vd)111()(3的体积的体积 根据高斯公式根据高斯公式例例1解解.33a 使用高斯公式时的注意事项使用高斯公式时的注意事项;,. 1量求偏导数量求偏导数并注意分别对哪个变并注意分别对哪个变三个函数三个函数正确确定正确确定RQP;,. 2连续偏导数连续偏导数三个函数是否具有一阶三个函数是否具有一阶判断判断RQP.
48、3面的外侧面的外侧注意曲面积分取封闭曲注意曲面积分取封闭曲.)0(0,dddddd222222之间的部分的下侧之间的部分的下侧及及介于平面介于平面为锥面为锥面其中其中计算曲面积分计算曲面积分 hhzzzyxyxzxzyzyx,222zRyQxP .2,2,2zzQyyQxxP 1 ,:2221取上侧取上侧补充顶面补充顶面hzhyx 利用高斯公式利用高斯公式的外侧的外侧构成所围锥体构成所围锥体定向曲面定向曲面,1 例例3解解 1dddddd222yxzxzyzyx vzyxd)(2 vzd2 zDhyxzzddd20 1dddddd222yxzxzyzyx 1dd2yxz.dd42hyxhxyD
49、 yxzxzyzyxdddddd222故故 1 .21d2402hzzzh 4421hh .214h 斯托克斯公式及其应用斯托克斯公式及其应用 一、一、斯托克斯公式斯托克斯公式二、典型例题二、典型例题1.1.定向曲面边界曲线的方向定向曲面边界曲线的方向:,的正向为的正向为规定其边界曲线规定其边界曲线曲面曲面是具有边界曲线的定向是具有边界曲线的定向设设 .,上法向量的指向相同上法向量的指向相同的拇指的指向与的拇指的指向与竖起竖起依边界的绕行方向时依边界的绕行方向时当右手除拇指外的四指当右手除拇指外的四指即即的法向量符合右手法则的法向量符合右手法则这个方向与定向曲面这个方向与定向曲面 .的正向边界
50、曲线的正向边界曲线曲面曲面向的边界曲线称为定向向的边界曲线称为定向按照这种方式规定了方按照这种方式规定了方 一、斯托克斯公式;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取上侧取上侧 .,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为顺正向边界为顺取下侧取下侧 ;,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为顺正向边界为顺取后侧取后侧 .,时针方向的圆周曲线时针方向的圆周曲线正向边界为逆正向边界为逆取前侧取前侧 2.2.斯托克斯公式斯托克斯公式则有则有上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数连同边界连同边界在在函数函数侧符合右手规则侧符合右手规则的正向与的正向与向曲面向曲面