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1、,第十章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对弧长的曲线积分,第十章,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:
2、,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其中L1是曲线L在x轴右侧的那一部分；关于y轴对称也有类似结论。,对称性的应用： 1.如果曲线关于x轴对称，函数f(x,y)关于y为奇偶函数，则,2.设f(x,y)在曲线连续，曲线L关于原点对称，函数f(x,y)关于（x,y）为奇偶函数，则,其中L1是曲线L在右半平面或上半平面的那一部分。,例1. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,已知
3、椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第二节,1、对坐标的曲线积分的概念 与性质,2、 对坐标的曲线积分的计算法,3、两类曲线积分之间的联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标的曲线积分,第十章,1. 定义,性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦
4、为,则两类曲线积分有如下联系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任
5、意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,定理2 目录 上页 下页 返回 结束,真题研讨,第四节,一、对面积的曲
6、面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分,第十章,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对面积的曲面积分的概念、性质和计算,对称性的应用,例3. 计算,其中 是球面,利用对称性可知,解: 显然球心为,半径为,利用重心公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,机动 目录 上页 下页 返
7、回 结束,对坐标的曲面积分,第十章,其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧 内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,机动 目录 上
8、页 下页 返回 结束,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质:,联系:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 设S 是球面,的外侧 , 计算,解: 利用轮换对称性, 有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原式 =,机动 目
9、录 上页 下页 返回 结束,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),高斯 目录 上页 下页 返回 结束,1. 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结
10、束,利用重心公式, 注意,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,简介 目录 上页 下页 返回 结束,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,定理1 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,公式 目录 上页 下页 返回 结束,2. 通量与散度,设向量场,P, Q, R, 在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;,(2) 利用积分与路径无关的等价条件;,(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ;,(4) 利用斯托克斯公式 ;,(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .,2. 基本技巧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,真题研讨,