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1、4.6 二阶电路二阶电路 1.一阶电路和二阶电路的定义一阶电路和二阶电路的定义 一阶电路：微分方程为一阶的电路。二阶电路：微分方程为二阶的电路。本章前面几节所提到的电路均为一阶电路，因为它们的微分方程均为一阶。以图 1 所示电感充电电路为例，其微分方程为 sddLLiLRiUt（1）可见式（1）为一阶微分方程，所以图 1 电路为一阶电路。RLUsLi0t Lu 图 1 电感充电电路（一阶电路）图 2 所示电路为二阶电路，为了验证该电路为二阶电路，需要列写电路的微分方程。RCuCi0t LuL 图 2 二阶电路 根据 KVL，0CLuRiu（2）对于电容来说，ddCuiCt （3）对于电感来说，
2、ddLiuLt（4）将式（3）代入式（4）可得 22ddCLuuLCt （5）将式（3）和式（5）代入式（2）可得 22dd0ddCCCuuLCRCutt（6）可见，式（6）是关于电容电压的二阶微分方程，这就证明了图 2 所示电路为二阶电路。接下来我们求解二阶微分方程。二阶微分方程的求解过程比一阶微分方程复杂得多，需要用到高等数学中关于微分方程求解的知识。2.二阶二阶电路微分方程电路微分方程的的求解求解 假设图 2 所示电路中电容的初始电压为0U，电感初始电流为零。根据高等数学关于微分方程的知识，首先需要写出式（6）对应的特征方程：20LCRC（7）该特征方程为一元二次方程，方程的根为 224
3、422LRRRCRCLCCLCL（）（8）由式（8）可见，当240,2LLRRCC即时，特征方程（6）的根为两个不相等的实数，且均小于零；当=2LRC时，特征方程（6）的根为两个相等的负实数；当2LRC时，特征方程（6）的根为两个共轭的复数，且共轭复数的实部为负数。特征方程（7）有三种不同形式的根，相应地，二阶微分方程也有三种不同形式的解。如果特征方程（7）的根12、为两个不相等的负实数，则二阶微分方程（6）的解的形式为 12()ttCutAeBe（9）式中，A、B 为待定系数。如果特征方程（7）的根为相等的负实数，则二阶微分方程（6）的解的形式为 ()+tCutA Bt e（10）如果特征方
4、程（7）的根为共轭复数12jj 、（和的具体表达式对照式（8）即可看出），则二阶微分方程（6）的解的形式为 ()cos+sintCuteAt Bt（11）只要求出式（9）-（11）中的待定系数，二阶微分方程的解就得到了。下面给出式（9）中待定系数的求解过程。另外两种情况的待定系数求解方法相同。待定系数 A 和 B 的求解依据是二阶微分方程电容电压的初值和电容电压一阶导数的初值。由已知条件可知，电容电压初值为0U，即0(0)CuU，代入式（9）可得 0UAB（12）由已知条件可知，电感电流的初值为零，即0d(0)0dCtuiCt，因此 0d0dCtut（13）对式（9）两边同时求导可得 1212
5、d()dttCutA eBet（14）将式（13）代入式（14）可得 120AB（15）由式（12）和（15），即可求出待定系数为 20101212,UUAB（16）至此，我们就把二阶微分方程求解出来了。接下来，我们分析一下二阶电路的规律，即二阶电路的三种工作状态。3.二阶电路的三种工作状态二阶电路的三种工作状态 由以上的分析可知，二阶电路微分方程的解有三种情况，并且式（9）-（11）给出了解的形式。由式（8）特征方程的分析可知，2LRC，=2LRC，和2LRC分别对应了三种解的形式，我们称之为二阶电路的三种工作状态：过阻尼，临界阻尼和欠阻尼。过阻尼2LRC情况下，根据式（9）可以绘制出电容电
6、压随时间变化的曲线，如图3 所示。可见电容电压单调衰减。图 3 二阶电路过阻尼电容电压波形 临界阻尼2LRC的电容电压与过阻尼情况类似，同样是单调衰减，只不过衰减更快。欠阻尼2LRC情况下，根据式（11）可以绘制出电容电压随时间变化的曲线，如图4 所示，可见电容电压振荡衰减。Cut 图 4 二阶电路欠阻尼电容电压波形 4.问与答问与答 问问：二阶电路为什么会有三种工作状态？二阶电路为什么会有三种工作状态？答：前面其实已经通过数学求解给出了回答，不过显得很枯燥。下面我们用实际生活来类比，以期能够比较形象地揭示原因。图 5 为一个碗，内壁涂了有一定摩擦系数的材料。在碗的边沿放置一个小球，松手后小球
7、会向下滚落。小球的滚落情况有三种情况：图 5 二阶电路三种工作状态类比（1）摩擦系数很大 小球会滚得很慢，最终慢慢到达碗底，然后停在碗底。（2）摩擦系数恰好 小球会滚得快一点，最后刚好到达碗底，但不会向碗底左侧滚。（3）摩擦系数很小 小球滚的很快，快速到达碗底后，会继续向左侧滚，然后再向右滚，来回多次以后，小球最终会停在碗底。仔细一想就会发现，以上三种情况就类似于二阶电路的三种工作状态。二阶电路的三种工作状态还能给我们以人生启示：小球的目标是停在碗底，滚得太慢和滚得太快，其实达到目标需要经历的时间差不多，也就是“过犹不及”，换句话说就是“欲速则不达”。问问：二阶电路的二阶微分方程求解二阶电路的
8、二阶微分方程求解过程中过程中需要确定电容电压和电感电流的初值。不过，需要确定电容电压和电感电流的初值。不过，已知条件给出的都是开关动作前的初值，而二阶微分方程是已知条件给出的都是开关动作前的初值，而二阶微分方程是在在开关动作开关动作后才列写的。后才列写的。为了为了求解二阶微分方程，就必须确定开关动作后的电容电压和电感电流初值。那么，开关动作求解二阶微分方程，就必须确定开关动作后的电容电压和电感电流初值。那么，开关动作前后，电容电压和电感电流有何关系？前后，电容电压和电感电流有何关系？Cut答：开关动作前后的瞬间，电容电压和电感电流一般保持不变。因为如果电容电压突变，则根据电容的电压电流微分关系
9、，电容电流为无穷大；同理，如果电感电流突变，则电感电压会无穷大。电容电压和电感电流突变的情况极少出现，但并不意味着不可能。那么，什么情况下电容电压和电感电流在开关动作瞬间会突变呢？这个问题要回答起来非常复杂，本课程暂不涉及。问问：讲完二阶电路以后为什么不继续讲三阶电路和更高阶的电路？讲完二阶电路以后为什么不继续讲三阶电路和更高阶的电路？答：三阶电路以及更高阶电路虽然求解更复杂，但求解过程和分析方法与二阶电路类似，继续讲解意义不大。问问：讲完二阶电路以后，动态电路这一章的内容就结束了，可是电路教材中讲完二阶电路以后，动态电路这一章的内容就结束了，可是电路教材中还有还有关于关于阶跃响应和冲激响应的内容，为什么本课程没有涉及？阶跃响应和冲激响应的内容，为什么本课程没有涉及？答：动态电路的阶跃响应和冲激响应涉及的主要的是数学上的知识，不属于电路最基本的概念和方法，因此在本课程中没有涉及。这样说，并不意味着阶跃响应和冲激响应不重要。事实上，在信号与系统这门课程中，阶跃响应和冲激响应是非常重要的内容。对阶跃响应和冲激响应有兴趣的同学可以看电路教材。如果看完了有不懂的地方，可以在讨论区提出来。如果很多人都对阶跃响应和冲激响应感兴趣，我们会将文档更新，对两者进行详细讲解。