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1、目录 01 相似矩阵的定义 02 相似矩阵的性质 03 可对角化的定义 04 可对角化的判断 01 相似矩阵的定义 相似矩阵的定义 P APB1定义定义5.9 5.9 设设 为为 阶方阵，若存在可逆矩阵阶方阵，若存在可逆矩阵 ，使得，使得nPA B,则称矩阵则称矩阵 与矩阵与矩阵 相似相似 .BA注：注：与与 相似相似 与与 等价（等价（,可逆）可逆）相似关系是等价关系相似关系是等价关系，相似比等价强，相似比等价强 .ABBA PAQBP Q,相似关系满足反身性，对称性和传递性相似关系满足反身性，对称性和传递性 .与与 相似相似 AA 与与 相似相似 与与 相似相似 ABBA 与与 相似，相似
2、，与与 相似相似 与与 相似相似 .ABBABC02 相似矩阵的性质 相似矩阵的性质 PEA P()1 PEPP AP11 EBEP AP1 PEA P1 PPEA1 EA 与与 相似，存在可逆矩阵相似，存在可逆矩阵 ，使得使得 AB P APB1P注注:.性质性质的证明的证明 EAEB 与与 相似相似 AB AB 与与 相似相似 AB AB 与与 相似相似 AB tr Atr B()()与与 相似相似 AB r Ar B()()与与 相似相似 AB特征多项式、特征值、行列式、迹、特征多项式、特征值、行列式、迹、秩相等均为相似的必要非充分条件秩相等均为相似的必要非充分条件 .03 可对角化的定
3、义 可对角化的定义 P AP1定义定义5.10 5.10 若矩阵若矩阵 与对角阵与对角阵 相似，即存在可逆矩阵相似，即存在可逆矩阵 ，使得，使得 PA 则称矩阵则称矩阵 可相似对角化，简称可相似对角化，简称 可对角化可对角化 .AA注：注：若若 阶矩阵阶矩阵 可对角化，与可对角化，与 相似的对角阵为相似的对角阵为 ，则则 是矩阵是矩阵 的全部特征值的全部特征值.nA diagn(,)12An,12A 若若 阶矩阵阶矩阵 可对角化，可对角化，是矩阵是矩阵 的全部特征值的全部特征值，则，则 与与 相似的对角阵相似的对角阵为为 .（主对元的排序不唯一）（主对元的排序不唯一）nA diagn(,)12
4、An,12A04 可对角化的判断 可对角化的判断 A定理定理5.5 5.5 阶矩阵阶矩阵 可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.nAns,12 iA定理定理5.6 5.6 阶矩阵阶矩阵 可对角化的充分必要条件是对应于可对角化的充分必要条件是对应于 的每个特征值的线性无关的特征向量的个数的每个特征值的线性无关的特征向量的个数 恰好等于该特征值的重数恰好等于该特征值的重数 .即对即对 的的 重特征根重特征根 ，有，有 ，其中，其中 是是 的全部互异特征值的全部互异特征值 （）.nAAni nrEAnii()nniis1A充要条件充要条件
5、充要条件充要条件 可对角化的判断 定理定理5.55.5的证明（必要性）的证明（必要性）可对角化，存在可逆阵可对角化，存在可逆阵 和对角阵和对角阵 ，使得，使得 即即 .A P AP1PAPP设设 ，Ppppn(,)12 diagn(,)12则则 ，A ppppppnnn(,)(,)121221(,)(,)Ap ApApppp nnn121122 Appiniii,1,2,由上式知，由上式知，是是 的的 特征值，特征值，分别是相应分别是相应 的特征向量的特征向量 .pppn,12 n,12A由由 可逆知，可逆知，线性线性无关，故无关，故 有有 个线性无关的个线性无关的 特征向量特征向量 .ppp
6、n,12PAn可对角化的判断 定理定理5.55.5的证明（充分性）的证明（充分性）Ap ApAppppnnn(,)(,)121122 Appiniii,1,2,又又 线性无关，故线性无关，故 可逆可逆.pppn,12P设设 是是 的的 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 ，相应的特征值为相应的特征值为 ，即有，即有 pppn,12An n,12令令 ，Ppppn(,)12 A ppppppnnn(,)(,)121221由可对角化的定义知，由可对角化的定义知，可对角化可对角化.A ，diagn(,)12APP则则 ，PAP1于是于是 ，可对角化的判断 A推论推论5.1 5.1 若矩阵若矩阵
7、 的特征值各不相等，则的特征值各不相等，则 可对角化可对角化.A例例5.12 5.12 判断下列矩阵是否可对角化判断下列矩阵是否可对角化.A1135（1 1）41 22可对角化可对角化.（2 2）A006045123 11 42 63可对角化可对角化.充分条件充分条件 可对角化的判断 例例5.13 5.13 判断判断矩阵矩阵 能否相似对角化，若能，能否相似对角化，若能，求所用的相似变换矩阵求所用的相似变换矩阵 及对角阵及对角阵 .PA361350 4 60 EA36135350(1)=(1)(2)464602解：解：的特征多项式的特征多项式 AA 的特征值为的特征值为 ,.23112验算：验算
8、：.112451可对角化的判断 EArr360000000360000000360360120对对 ，由于，由于 ,112可取特征向量可取特征向量 ，p 0 121 p1002EArr3631210002330110011660110101对对 ，由于，由于 ,23可取特征向量可取特征向量 .p 1 111可对角化的判断 ppp,123A由于由于 线性无关，故线性无关，故 有有3 3个线性无关的特征向量，故个线性无关的特征向量，故 可对角化可对角化 .A令令 ，则有，则有 .Pppp011(,)101201123 211321 P AP1取取 ，仍有，仍有 .Pppp101(,)1101203
9、12 112213 P AP1取取 ，仍有，仍有 .Pppp011(,)110210132 121231 P AP1可对角化的判断 例例5.14 5.14 判断判断矩阵矩阵 能否相似对角化能否相似对角化.A123 2 4 6 1 2 3 EA123123122246246244123000解：解：的特征多项式的特征多项式 AA 的特征值为的特征值为 ,.22012验算：验算：.002143注意注意到矩阵的秩为到矩阵的秩为1 22=(4)(2)8(2)442 可对角化的判断 对对二重特征根二重特征根 ，,012r ArArA()1 ()1 3()2对单特征根对单特征根 ，由于，由于 ，所以，所以
10、 .23EA20rEA(2)3又又由于由于 ，显然显然 （行不成比例）（行不成比例）.EA1252226123rEA(2)1所以所以 .rEArEA(2)2 3(2)1由由 定理定理5.2 5.2 知，知，可对角化可对角化 .A一般一般地，秩为地，秩为 1 的方阵均可对角化的方阵均可对角化 .可对角化的判断 A一方面一方面，是是 的特征值的特征值 .r AA()1 0 =0Ax0rA3()2对应的特征方程对应的特征方程 的基础解系所含向量的个数为的基础解系所含向量的个数为 .所以所以 至少是至少是 的的2 2重特征根重特征根 .0A秩为1的方阵的对角化 以以矩阵矩阵 为例为例.A123 2 4
11、 6 1 2 3可对角化的判断 秩为1的方阵的对角化 AT1231 2 4 6 2123 1 2 3 1 另一方面另一方面，,T1123 22 1 13 2,2 11其中其中 .又又 ，A因此，因此，的特征值为的特征值为 ,（2 2重）重）.02 21一般一般地，秩为地，秩为 1 的方阵的特征值为的方阵的特征值为 和和 （n n-1 1重）重）.tr A()1 02 ATTT()()2所以所以 ，于是，于是 是是 的特征值的特征值 .2A可对角化的判断 充要条件充要条件 判断条件总结 的特征值各不相等的特征值各不相等 可对角化可对角化.AA 阶矩阵阶矩阵 的秩为的秩为1 1 可对角化可对角化.AAn 是是 阶实对称矩阵阶实对称矩阵 可对角化可对角化.AAn充分条件充分条件 特殊情况特殊情况 充分条件充分条件 特殊情况特殊情况 阶矩阵阶矩阵 可对角化可对角化 有有 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.nAnA5.45.4节内容节内容 充分条件充分条件 特殊情况特殊情况 本节小结 相似的定义 相似的性质 相似对角 化的定义 相似对角 化的判断 P APB1 相似矩阵特征相同相似矩阵特征相同 对角阵由特征值构成对角阵由特征值构成 PAP12 2个充要条件个充要条件 3 3类特殊情况类特殊情况 THANKS