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1、数学试卷 第 1 页，共 4 页 2024 届高二年级“深惠湛东”四校联考试题 数学 2024 届高二年级“深惠湛东”四校联考试题 数学 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知1(2,1,3),(1,)2ab，若/a b，则实数等于（）A6 B32C32D6 2如图，在平行六面体1 111ABCDABC D中，M是11AC与11BD的交点，若ABa，ADb，1AAc，且MBxaybzc，则xyz等于（）A1 B12C0 D13已知直线12,l
2、l的斜率是方程220 xxp 的两个根，则（）A12llB12llC1l与2l相交但不垂直D1l与2l的位置关系不确定4已知双曲线22221(0)yxbaab两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为（）A2 B4 33C2 33D4 33 5已知F为抛物线2yx的焦点，点,A B C在抛物线上，F为ABC的重心，则AFBFCF（）A12B1 C32D26已知椭圆2222:+1(0)xyCabab，21,F F是椭圆C的左、右焦点，焦距为2c，M是椭圆C上一点，l是12FMF的外角平分线，过2F作l的垂线，垂足为P，则=OP（）A2a Bb CcDa7已知双曲线2222:1(0,0)xyCaba
3、b的左右焦点分别为21FF、，焦距为2c若以线段21FF为直径的圆与直线20axbyac有交点，则双曲线 C的离心率取值范围为（）A(1,2)B(2,)C(1,2 D2,)8法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中 过椭圆2222:1xyCab(0)ab外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以22ab为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆 若椭圆22:1 044xyCmm的蒙日圆为22:7E xy，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于,P Q两点，直线
4、 PQ 与椭圆C交于,A B两点，则下列结论数学试卷 第 2 页，共 4 页 不正确的是（）A椭圆C的离心率为12BM到C的右焦点的距离的最大值为71 C若动点N在C上，记直线,AN BN的斜率分别为21,k k，则1 234k k DMPQ面积的最大值为72二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9已知空间向量(1,2,2)a，(0,2,0)b，,a b构成的平面记为，则下列说法正确的是（）A向量(2,0,1)c 与垂直 B向量(1,0,2)d 与平行 C若a与b分别是1
5、l与2l的方向向量，则直线21,l l所成的角的余弦值为23D向量b在向量a上的投影向量为(0,2,0)10下列说法中，正确的有（）A直线21yx在y轴上的截距为1 B过点(1,2)P 且在,x y轴截距相等的直线方程为10 xy C若点(0,0)在圆22224280 xyxykk 外，则42k D已知点(,)P x y是直线3470 xy上一动点，过点P作圆22:20C xxy的两条切线，,A B为切点，则四边形PACB面积的最小值为311已知等轴双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,F F，过双曲线C上的一点M作两条渐进线的垂线，垂足分别为,P Q，则（）A双曲
6、线C的离心率为 2 B直线MP与直线MQ的斜率之积为定值 C四边形OPMQ面积的最大值为2a（O为坐标原点）D124FFMPMQ12已知直四棱柱1111ABCDABC D的底面为正方形，133AAAB，P 为直四棱柱内一点，且1APmABnAD，其中0,1m，0,1n，则下列说法正确的是（）A当12m 时，三棱锥1PACD的体积为定值 B当12n 时，存在点 P，使得PAPCC当1mn时，PAPC的最小值为4 55 D当21mn时，存在唯一的点 P，使得平面PAD平面 PBC 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在空间直角坐标系Oxyz中，(2,1,1)A，(,0
7、,5)B b，4(0,),Cc，若四边形OABC为平行四边形，则bc _ 14设抛物线24yx的焦点为F，1(,)4A t为抛物线上一点，则=AF_ 数学试卷 第 3 页，共 4 页 15已知直线1:3lmxnymn与直线2:30(,)lnxmynmm nR相交于点M，点N是圆22:(3)(3)4Cxy上的动点，则MN的取值范围为_ _ 16椭圆22221(0)xyabab的一个焦点是(1,0)F，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于,A B两点若恒有222+OAOBAB，则椭圆离心率的取值范围为_ 四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分）已知
8、圆C的圆心坐标为(1,2)C，且与x轴相切（1）求圆C的方程；（2）设直线:0l xym与圆C交于,A B两点从条件、条件中选择一个作为已知条件，求m的值 条件：2 3AB；条件：120ACB 18（本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱111ABCABC中，ACBC，1ACBC，12 3AA M为侧棱1BB的中点，连接1,AM CM C M（1）求1C M与平面ACM所成角；（2）求二面角CABM的余弦值 19（本小题满分 12 分）已知直线:l yx与双曲线222:1(0)yC xbb相交于,A B两点，且,A B两点的横坐标之积为32（1）求双曲线C的离心率e；（2）设与直线l平行的直线
9、m与双曲线C交于,M N两点，若OMN的面积为3 2（O为坐标原点），求直线m的方程 A BM C A1 B1 C1 数学试卷 第 4 页，共 4 页 20（本小题满分 12 分）如图，在平面四边形ABCD中，BCCD，2BCCD，=AB AD以BD为折痕把ABD和CBD向上折起，使点 A 到达点 E的位置，点 C 到达点 F 的位置（,E F不重合）（1）求证：EFBD；（2）若平面EBD平面 FBD，点 G 为ABD的重心，EG 平面 ABD，且直线 EF 与平面 FBD所成角为 60 求AB的长度；求二面角ABED的余弦值 21（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCaba
10、b（）的长轴长为 4，离心率为32，点0000,0A xyx y 为椭圆C上的一点（1）求椭圆C的方程；（2）若过原点O的直线BD与椭圆C交于点B、D，且直线BD的斜率与直线OA的斜率满足20BDOAkk，求ABD面积的最大值 22（本小题满分 12 分）已知(0,2),(0,2)AB，P为平面上的一个动点设直线,AP BP的斜率分别为12,k k，且满足1213kk 记动点P的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）过点31(,)22M的动直线l与曲线C交于,E F两点曲线C上是否存在定点N，使得NENF恒成立？若存在，求出点N的坐标，并求2211NENF的最小值；若不存在，请说明理由 O
11、A x D B y 数学答案 第 1 页，共 6 页 2024 2024 届高二年级“深惠湛东”四校联考试题届高二年级“深惠湛东”四校联考试题 数学（参考答案）数学（参考答案）一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号题号 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 答案答案 C C D D C C A A C C D D D D D D 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分
12、 题号题号 9 9 1010 1111 1212 答案答案 ABAB ADAD BDBD ACDACD 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 1 14 516 154 22,6 22 16 51(0,)2 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（1）因为圆心坐标为(1,2)，且圆与 x 轴相切，所以圆心到 x轴的距离等于半径，即2r，圆的方程为：22()(12)4xy.4 分（2）若选条件，设圆心到直线 l的距离为 d，因为2 3AB，则2212ABdr，.6 分 由点到直线的距离公式，2212111m，解得32
13、m 若选条件，设圆心到直线 l的距离为 d，由120ACB，cos601dr，由点到直线的距离公式，2212111m，解得32m.10 分 18（1）解法一：以C为原点建立如图所示的直角坐标系 则1(0,0,2 3),(0,1,3),(1,0,0)CMA 所以1(0,1,3),(1,0,0),(0,1,3)C MCACM，设平面ACM的法向量为,nx y z，A BM C A1 B1 C1 x y z 数学答案 第 2 页，共 6 页 则=(1,0,0)(,)=0=(0,1,3),=+3=0CCA nMx y zxnx y zyz 解得0 x，令1z 得，3y 所以(0,3,1)n.3 分 设
14、1C M与平面ACM所成角为，则1112 33sincos,=222C M nC M nC Mn，所以=60，1C M与平面ACM所成角为60.5 分 解法二：作1C DCM交CM的延长线于点D（图略）.2 分 易知1CMD为1C M与平面ACM所成角因为1=120CMC，所以1=60C MD 所以1C M与平面ACM所成角为60.5 分（2）解法一：平面ABM的一个法向量为(1,1,0)m，6cos,4m nm nmn 因为二面角CABM为锐角，所以二面角CABM的余弦值为64.12 分 解法二：作CEAB交AB于点E，作EFAM于点F（图略），易知CFE为二面角CABM的平面角.7 分 因
15、为,1ACACCCBB，所以122,22ABCEAB30sin10EFAEBAM 根据勾股定理，222302 5()()2105CF，.10 分 所以6cos4EFCFECF，二面角CABM的余弦值为64.12 分 19（1）因为,A B两点关于原点对称，不妨设点A在第一象限，则66(,)22A 所以233122b，解得3b，离心率3 12e.4 分（2）设直线:(0)m yxt t，1122(,),(,)M x yN x y.5 分 联立直线m与双曲线C的方程2213yxtyx得：222230 xtxt.6 分 根据韦达定理，有2121 23,2txxt x x.7 分 所以2212121
16、2()436xxxxx xt，.9 分 22=1 13662MNtt.10 分 数学答案 第 3 页，共 6 页 点O到直线m的距离2td，所以213=23 222OMNSMN dtt，解得24t 或6（舍去），所以2t.11 分 所以直线m的方程为2yx或2yx12 分 20（1）取BD中点H，连接,EH FH，.1 分 因为,ABAD BCDC，所以,EBED FBFD，故,EHBD FHBD，因为EHFHH，,EH FH 平面 EFH，所以BD 平面EFH 因为EF 平面EFH，所以BDEF4 分（2）因为2BCCD，BCCD，所以22BDCD，112FHBHBD，因为平面EBD平面FB
17、D，由（1）知，EHF为平面EBD与平面FBD的二面角，所以90EHF，因为EHBD，FHBDH，所以EH 平面BDF，则EHF即为直线EF与平面FBD所成角，故60EFH，则tan603EHFH，由勾股定理可得：3 12EBAB.7 分 连接AH，因为点G为ABD的重心，所以点G必在直线AH上，过点G作/GM BD交AD于点M，则AHGM，因为EG 平面ABD，,GM AG平面ABD，所以,EGGM EGAG，以G为坐标原点，GM所在直线为x轴，GA所在直线为y轴，GE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，由知，EBD为等边三角形，所以22 333AGAH，1333GHAH，所以2212 63
18、33EGEHGH，.8 分 所以2 332 63(0,0),(1,0),(0,0,),(1,0)3333ABED，设平面ABE的法向量为1111,nx y z，则1111111111111(1,3,0)(,)303 2 632 6=(1,),03333BAx y zxyBEx y zxyznn 令11y 得：113,22xz，所以12(3,1,)2n ，数学答案 第 4 页，共 6 页 设平面BED的法向量为2222,nxyz，则222222222222,),(2,0,0)(203 2 632 6=(1,)=+=03+3,33BD nxyzxBE nxyzxyz 解得：2=0 x，令21y，则
19、224z ，所以220,1,4n，.11 分 则1212122213,1,0,1,12414cos,93113 11428n nn nnn ，设平面ABED的夹角为，显然为锐角，则1coscos,3m n.12 分 21（1）依题意24a，32ca，2a，3c，由222abc，解得21b 所以椭圆的标准方程为：2214xy 4 分（2）解法一：因为直线OA斜率为00OAykx，则直线BD的方程为002yyxx，即0020y xx y，联立00222,1,4yyxxxy 解得2202200416xxxy，所以 022002|16Bxxxy，所以200222220000042|8|2 11616y
20、xBDxxyxy，点A到直线BD的距离为0000002200|2|3|24y xx yx ydyx，.8分 0022002200612116166ABDx ySBD dxyyx，.10 分 所以2222000022222200000016116116()()5944xxyyyxyxyx，220022001166302116yxyx，因此2ABDS，当且仅当202024xy，即083x 时，等号成立 因此，三角形ABD面积的最大值为2 12 分 解法二：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为2k 数学答案 第 5 页，共 6 页 联立22,1,4ykxxy解得22414xk，所以 22|14A
21、xk 联立222,1,4ykxxy 解得2241 16xk，所以 22|1 16Bxk 不妨设0,0ABxx，则 222222(,),(,)14141 16621 14kkABkkkk.8 分 222222261161141 16141 16262()()640ABOABBAkkSkkkkkxkyx y，因为2222646112641kkkk，当且仅当24k 时等号成立 所以1611620ABOS，因为2ABDABOSS，所以三角形ABD面积的最大值为2.12 分 22（1）设(,)(0)P x y x 则1122,yykkxx.1 分 所以21122241=3yyykkxxx，化简得2211
22、24xy.2 分 因此，曲线C的方程为221(0)124xyx.3 分（2）解法一：当直线l斜率存在时，设直线:l ykxm，1122(,),(,)E x yF x y 因为31(,)22M在l上，所以3122km 联立直线l与椭圆C的方程221124xyykxm得：222(13)63120kxkmxm 根据韦达定理，有222121 2121222226312212,13131313kmmmmkxxx xyyy ykkkk 设定点00(,)N x y因为NENF，所以1010202010201020(,)(,)()()()()NE NFxxyyxxyyxxxxyyyy 221 20120120
23、120()()0 x xxxxxy yyyyy.5 分 将3122km 代入化简得：222222000000003(31)(633)110kxyxkxyxyy.7 分 所以2200000220003106330110 xyxxyxyy，解得0031xy.8 分 直线l斜率不存在时，3:2l x 与C交于313313(,),(,)2222EF两点，易得0NE NF 数学答案 第 6 页，共 6 页 所以曲线C上存在定点(3,1)N，使得NENF恒成立9 分 解法二：当直线l斜率不存在时，3:2l x 与曲线C交于313313(,),(,)2222EF两点 因为NENF，所以点N在以EF为直径的圆
24、221313:()24Dxy上 联立椭圆C与圆1D的方程22221124313()24xyxy，解得31xy或31xy（32x 舍去）直线l斜率为 0 时，1:2l y 与曲线C交于3 513 51(,),(,)2222EF两点 因为NENF，所以点N在以EF为直径的圆222145:()24Dxy上联立椭圆C与圆2D的方程22221124145()24xyxy，解得31xy或31xy（12y 舍去）下面验证(3,1)N为所求定点设直线:l ykxn，1122(,),(,)E x yF x y 联立直线l与椭圆C的方程得：222(1 3)63120kxknxn 根据韦达定理，有222121 21
25、21222226312212,13131313knnnnkxxx xyyy ykkkk 因为NENF，所以11221212(3,1)(3,1)(3)(3)(1)(1)NE NFxyxyxxyy1 2121 2123()9()10 x xxxy yyy 化简得2242181820nnkkn，即22136()(2)2knn 所以16()202knn或16()22knn，即132kn 或1 3nk（舍）.8 分 所以直线1331:()2222l ykxnkxkk x，过点31(,)22M直线l斜率不存在时，易得3:2l x，过点31(,)22M综上，曲线C上存在定点(3,1)N，使得NENF恒成立9 分 过点N作NHEF于H，则22222222111()()NENFEFNE NFNE NFNENFNH.10 分 当NMEF时，NH最大，此时2222319(3)(1)222NHNM.11 分所以2211NENF的最小值为29.12 分