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1、广东省华附、省实、广雅、深中四校2022-2023 学年高二下学期期末联考数学试题数学参考答案 第 1 页（共 6 页）2022 学 年 下学 期华 附、省实、广 雅、深中 高二 四校 联考 数 学参 考答 案及 评分 标准 一、选择 题：本 题共 8 小 题，每小 题 5 分，共 40 分。在 每小 题给 出的 四个 选 项中，只 有一 项是 符合 题 目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A B D C D C 二、选择 题：本题 共 4 小 题，每小 题 5 分，共 20 分。在 每小 题给 出的 选项 中，有 多项 符合 题目 要求。全部选对的 得 5 分，部分
2、 选对 的得 2 分，有选 错的 得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 AC AD BCD ABD 三 填 空题：本 题共 4 小 题，每小 题 5 分，共 20 分。13.充分 不必 要条 件 14.9 15 20 16 79 四 解 答题：本 题共 6 小 题，共 70 分。解 答应 写出 文 字说明 证 明过 程或 演算 步 骤。17.（10 分）解：（1）证 明：连接AC，因 为PA PD，F 为AD 的中 点，所以PE AD 因为平 面PAD 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD AD，所以PF 平面ABCD，.2 因为BD 平面ABCD，所以PF BD.3 因为底 面AB
3、CD 为菱形，所以BD AC 4 因为E 为CD 的中 点，F 为AD 的中点，所以EF AC，所 以BD EF 因为PF 平面PEF，EF 平面PEF，且 PF EF F，所以BD 平面PEF 6（2）由（1）可 知PF 为四棱 锥P ABCD 的高 因 为 4 PA PD，4 AD AB，PF AD，所以224 2 2 3 PF，.7 因为底 面ABCD 为菱形，4 AB，60 BAD，12 2 3 2 32BCES，.9 所以12 3 2 3 4313B PCE P B E C C BEPF V V S.10 数学参考答案 第 2 页（共 6 页）18.（12 分）解：（1）()sin
4、2 3 cos2 2sin(2)3f x x x x.1 函数的 最小 正周 期为22T.2 由 2 2 2,2 3 2k x k 得 5,12 12k x k 即函数()fx 的单 调递 增区 间为5,Z12 12k k k.5（2）()2sin(2)33f A A 3sin(2)32A，因为 02A 所以223 3 3A 所以 233A3A，.8 又 2 a,由 余弦 定理 可得2 2 22 cos,b c a bc A bc 即 224 b c bc bc，则 22 3()3 4 44bcb c bc,则2()4,4bc 4 bc.11 4 abc 所以周 长最 大值 为 6.12 19
5、.（12 分）解：（1）因 为*2 1 NnnS a n，所以当 1 n 时，1 1 121 a S a，解 得11 a.1 当 2 n 时，1112 1(2 2 1)2n n n n n n na S S a a a a，则12nnaa，4 所以数 列na是等比 数列，首 项为 1，公 比为 2 的 等比 数列 所以1112nnaq.6 数学参考答案 第 3 页（共 6 页）（2）因为0 1 2 31 2 3 4 1C C C C.Cnn n n n n na a a a a 0 1 1 2 2 3 31C+C C+C.Cnnn n n n na q q q q 113nnaq.9 所以原
6、不等 式化 为 3 2023n因为函数 3xy 在 R 上单 调递 增，又673 729,3 2187 所以 原 不等 式的 解 为*1 6,n n n N.12 20.(12 分)解：（1）由题知，丁队进入复赛，记为事件，需参加两场比 赛，第一场战胜丙队，记 为事件 1，第二场战胜甲乙比赛 中的 败者，记 为事 件 2，甲队 战胜 乙队 记为 事件，.1 则根据 题意 有：1()0.6 PA，且 有2 2 2()()()()()0.6*0.5 0.4*0 4|.|P A P B P A P P B B B A 0.46 4 则12()()()0.6*0.46 0.276 P A P A P
7、A.5(2).由题 意有：0,1,2,3 X.6 3301*(1)320)78(P X C.7313 111*()(1)3 3 28(1)7*P X C.8 43 2 211*()(116(2)81 3*3P X C.917(3)1(0)(1)(2)81P X P X P X P X.10 107()(1)2*(2)3*(3)81E X P X P X P X.12 21.（12 分）解：（1）设 直线AB 的方 程为 52pyx，则：设点O 到直线AB 的距 离为d，则21 5 2 6ppd.1 联立直 线AB 与抛物 线C 得：数学参考答案 第 4 页（共 6 页）22252 5 0 22
8、pyxx px px py，显然 0 设 1 1 2 2,A x y B x y，则21 2 1 22 5,x x p x x p，则弦长 22221 2 1 2 1 21 5 6 4 6 20 4 12 AB x x x x xx p p p.3 21 1 612 2 62 2 2 26AOBppS AB d p，又 0,p 2 p.2:4 C x y.5（2）由题意 得 2:1 1 x k y l，2:2 2 x k y l，设 1 1 2 2,P x y Q x y,联立1l 和C 的 方程可 得：121 1 2 1 1 2224 8 0,4,84y k xx k x x x k x x
9、xy.6 则2111 EP k x，2121 EQ k x，故 21 1 21 EP EQ k x x。.8 同理可 设 3 3 4 4,R x y S x y，则3 4 2 3 44,8 x x k x x 且 有 22 3 41 ER ES k x x，.9 由 EP EQ ER ES 有：2 2 2 21 1 2 2 3 4 1 211 k xx k x x k k 1 2 1 2,0 k k k k.11 故存在 1，使 得12kk 为定值。.12 22.（12 分）解：（1）当 0 m 时，1cos 3 3ln 11xf x x xx，1 所以 0 3 f，又因 为 00 f，2 所
10、以 fx在 0 x 处的 切线 方程 为 3 yx.3（2）考虑 函数 sin 3 1 ln 1 g x x x x，依题意 得 g x m 在 0,1上存 在两 个零 点12,xx.数学参考答案 第 5 页（共 6 页）而 16cos 3 3ln 1 cos 3 3ln 111xg x x x x xxx,令 g x G x，则 22226 3 3 9 sin sin 111xG x x xxxx.4 因为对 任意 的 0,1 x，sin 0 x，所以 0,0,1 G x x，所以 g x G x 在 0,1上单调 递减.而 0 30 g，1 3ln 2 0 g，由零点 存在 性定 理，存
11、在 00,1 x，使得 00 gx.5 于是 00,0,g x x x，00,1 g x x x，因此 gx在 00,x上单 调递 增，在 0,1 x上单调递 减，在0 xx 取到 极大 值 0 0 0 0sin 3 1 ln 1 0 g x x x x.又因为 0 1 0 gg，由 零点 存在 性定 理和 gx的单调 性，当 且 仅 当 0 0 00 sin 3 1 ln 1 m x x x 时，g x m 在 00,x上和 0,1 x上 各 恰 有 一 个 零 点，即 为12,xx.不妨 设12xx.6 由(1)可得，gx在 0 x 处的 切线 方 程为 3 yx.令 3 h x g x
12、x，则 3 3 h x g x G x，令 H x h x，则 0 H x G x，所 以 h x H x 在 0,1单调 递减.而 00 30 hg，所 以 0,0,1 h x x，所以 hx在 0,1单调递 减，又因为 0 0 0 hg，所 以 0,0,1 h x x.即当 0,1 x 时，3 g x x.8 同理可 计算 得，gx在 1 x 处的切 线方程 为 3ln 2 1 yx.令 3ln 2 1 k x g x x，则 3ln 2 3ln 2 k x g x G x，令 K x k x，则 0 K x G x，所 以 k x K x 在 0,1单调 递减.数学参考答案 第 6 页（共 6 页）而 1 1+3ln 2 0 kg，所 以 0,0,1 k x x，所以 kx在 0,1单调递 增，又因为 1 1 0 kg，所 以 0,0,1 k x x.即当 0,1 x 时，3ln 2 1 g x x.11 考虑 3xm 和 3ln 2 1xm 的零 点，分别 为3 3mx 和41 3ln 2mx.因为 3 1 1 3 3 x m g x x，所以31xx，因为 4 2 2 3ln 2 1 3ln 2 1 x m g x x，所以42xx.于是3 1 2 4x x x x，所以1 2 4 32=1 1 3ln 2 3 3m m mx x x x.12