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1、数学试卷 第 1 页，共 4 页学科网（北京）股份有限公司本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1 已知a=(2,1,_3),b=(1，,)，若 a/b，则实数等于()A _6 B C _ D 6 2 如图，在平行六面体ABCD _ A1B1C1D1 中，M 是A1C1 与B1D1 的交点，若AB=a，AD=b，AA1 =c，且MB=xa+yb+zc，则x+y+z 等于()A 1 B _ C l1 与l2 相交但不垂直D l1 与l2 的位置关系不
2、确定 4 已知双曲线y2 x2_ a2b2=1(b a 0)两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为()A 2 B C D 5 已知F 为抛物线y2 =x 的焦点，点 A,B,C 在抛物线上，F 为 ABC 的重心，则AF+BF+CF =()A B 1 C D 2 6 已知椭圆 C:+=1(a b 0)，F1,F2 是椭圆C 的左、右焦点，焦距为2c，M 是椭a b 圆C 上一点，l 是经F1MF2 的外角平分线，过F2 作l 的垂线，垂足为P，则 OP=()A 2a B b C c D a 7 已知双曲线 C:_ =1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c 若以线a b 段
3、F1F2 为直径的圆与直线ax _ by+2ac=0 有交点，则双曲线 C 的离心率取值范围为()A(1,2)B(2,+伪)C(1,2 D 2,+伪)8 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中 过椭圆 C:+=1(a b 0)外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨a b 迹是以椭圆的中心为圆心、以 为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆 C:+=1(0 m 4)的蒙日圆为E:x2 +y2 =7，过圆E 上的动点M 作椭圆C 的两条切线，分别与圆E 交于P,Q 两点，直线 PQ 与
4、椭圆C 交于A,B 两点，则下列结论C 0 D _1 3 已知直线l1,l2 的斜率是方程x2 _px _ 2=0 的两个根，则()A l1 l2B l1 l2 3 广东省“深惠湛东”四校2023-2024学年高二上学期数学联考试题数学试卷 第 2 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 不正确的是()A 椭圆C 的离心率为 1 2 B M 到C 的右焦点的距离的最大值为 +1 C 若动点N 在C 上，记直线AN,BN 的斜率分别为k1,k2 ，则k1k2 =一 D.MPQ 面积的最大值为 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求
5、全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.9 已知空间向量a=(1,一2,2)，b=(0,2,0)，a,b 构成的平面记为C，则下列说法正确的 是()A 向量c=(一2,0,1)与C 垂直 B 向量d=(1,0,2)与C 平行 C 若a与b 分别是l1 与l2 的方向向量，则直线l1,l2 所成的角的余弦值为一 D 向量b 在向量a 上的投影向量为(0,一2,0)10 下列说法中，正确的有().A 直线y=2x 一 1 在y 轴上的截距为一 1 B 过点P(一1,2)且在x,y 轴截距相等的直线方程为x+y 一 1=0 C 若点(0,0)在圆x2 +y2 +2x 一 4y
6、 一 k2 一 2k+8=0 外，则一4 k 0,b 0)的左、右焦点分别为F1,F2，过双曲线 C 上 a b 的一点M 作两条渐进线的垂线，垂足分别为P,Q，则()A 双曲线C 的离心率为 2 B 直线MP 与直线MQ 的斜率之积为定值 C 四边形OPMQ 面积的最大值为a2（O 为坐标原点）D F1F2 =4 12 已知直四棱柱ABCD 一 A1B1C1D1 的底面为正方形，AA1 =AB=，P 为直四棱柱内 一点，且AP=mAB+nAD1 ，其中me0,1，ne0,1，则下列说法正确的是()A 当m=时，三棱锥P 一 ACD1 的体积为定值 B 当n=时，存在点 P，使得PA PC C
7、 当m+n=1时，PA+PC 的最小值为 4 5 D 当m+2n=1时，存在唯一的点 P，使得平面PAD 平面 PBC 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 在空间直角坐标系Oxyz 中，A(2,1,1)，B(b,0,5)，C(0,c,4)，若四边形OABC 为平行 四边形，则b+c=.14 设抛物线y=4x2 的焦点为F，A(t,1 )为抛物线上一点，则 AF=.4 _ 数学试卷 第 3 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 15 已知直线l1 :mx+ny=3m+n 与直线l2 :nx 一 my 一 n+3m=0(m,neR)相交于点M，点 N 是圆C:
8、(x+3)2 +(y+3)2 =4 上的动点，则 MN 的取值范围为 .16 椭圆+=1(a b 0)的一个焦点是F(1,0)，O 为坐标原点，过 F 的直线l 交椭圆 a b 于 A,B 两点若恒有 OA2+OB 2 0)相交于A,B 两点，且A,B 两点的横坐 标之积为一 .（1）求双曲线C 的离心率e；（2）设与直线l 平行的直线m 与双曲线C 交于M,N 两点，若 OMN 的面积为32（O 为坐标原点），求直线m 的方程.C A1 B1 A B M 数学试卷 第 4 页，共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 20 （本小题满分 12 分）如图，在平面四边形ABCD 中，BC CD，B
9、C=CD=，AB=AD 以BD为折痕 把ABD 和CBD 向上折起，使点A 到达点 E 的位置，点 C 到达点 F 的位置（E,F 不重 合）.（1）求证：EF BD；（2）若平面EBD 平面 FBD，点 G 为ABD 的重心，EG 平面ABD，且直线 EF 与平面 FBD 所成角为 60.求AB 的长度；求二面角A 一 BE 一 D的余弦值.21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C:+=1（a b 0）的长轴长为 4，离心率为 ，点 a b 2 A(x0,y0)(x0y0 子 0)为椭圆C 上的一点.（1）求椭圆 C 的方程；（2）若过原点O 的直线BD 与椭圆 C 交于点B、D，且直线B
10、D 的斜率与直线OA 的斜 率满足kBD +2kOA =0，求 ABD 面积的最大值.y B x D 22 （本小题满分 12 分）已知A(0,2),B(0,一2)，P 为平面上的一个动点设直线AP,BP 的斜率分别为k1,k2，且满足k1.k2 =一 记动点P 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的方程；3 1（2）过点M(,一 )的动直线l 与曲线C 交于E,F 两点曲线C 上是否存在定点N，2 2 1 1 使得NE NF 恒成立？若存在，求出点N 的坐标，并求 2 +2 的最小值；若不存 在，请说明理由.NE NF O A 数学答案 第 1 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 C 一
11、、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.三、填空题：本大题共 4 小题，5 16 每小题 5 分，共 20 分.15 4 -2,6 +2 16.-1(0,)2 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （1）因为圆心坐标为(1,2)，且圆与 x 轴相切，所以圆心到 x 轴的距离等于半径，即 r=2，圆的方程为
12、：(x-1)2 +(y-2)2 =4 .4 分（2）若选条件,设圆心到直线 l 的距离为 d，因为 AB =2 ，则 d=1，.6 分 由点到直线的距离公式，1+2+m =1，解得m=3 土 .若选条件,设圆心到直线 l 的距离为 d，由经ACB=120。，d=rcos 60。=1，由点到直线的距离公式，1+2-m 12 +12 =1，解得m=3 土 .10 分 18 （1）解法一：以 C 为原点建立如图所示的直角坐标系.则 C1(0,0,2),M(0,1,),A(1,0,0).所以 C1M=(0,1,-),CA=(1,0,0),CM=(0,1,3)，设平面ACM 的法向量为n=(x,y,z)
13、，z C1 A 12+12 13 1 B 14.A1 B1 M y x 数学答案 第 2 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司(|CA.n=(1,0,0).(x,y,z)=x=0(y=x+t 则 .|lCM.n=(0,1,).(x,y,z)=y+z=0 解得x=0，令 z=1得，y=-所以n=(0,-,1).3 分 设 C1M 与平面ACM 所成角为,则 sin=cos =，所以=60O，C1M 与平面ACM 所成角为60O .5 分 解法二：作 C1D CM 交 CM 的延长线于点D（图略）.2 分 易知经C1MD 为 C1M 与平面ACM 所成角因为CMC1=120O，所以经C1MD
14、=60O.所以 C1M 与平面ACM 所成角为60O .5 分 （2）解法一：平面ABM 的一个法向量为m=(1,1,0)，cos=m.n m.n 因为二面角 C-AM-B 为锐角，所以二面角 C-AM-B 的余弦值为.=-.4 .12 分 解法二：作 CE AB 交AB 于点E，作 EF AM 于点F （图略），易知经CFE 为二面角 C-AM-B 的平面角 .7 分 因为AC BC,AC=BC=1，所以 AB=,CE=AB=EF=AE.sin 经BAM=.2 2 10 根据勾股定理，CF=,.10 分 所以cos 经CFE=CEFF=4 ，二面角 C-AM-B 的余弦值为4 .12 分 1
15、9 （1）因为A,B 两点关于原点对称，不妨设点 A 在第一象限，则A(,).2 2 所以 2-2b2 =1，解得b=，离心率e=2 .4 分（2）设直线m:y=x+t(t 子 0)，M(x1,y1),N(x2,y2).5 分 联立直线m 与双曲线 C 的方程x2 -=1 得：2x2 -2tx-t2 -3=0 .6 分 根据韦达定理，有x1+x2 =t,x1x2 =-.7 分 所以 x1-x2 =,.9 分 MN=.10 分 t2+2 3t2+6 3t2+6(x1+x2)2-4x1x2 2 2 30 2()+()2 10 C1M.n 2 1 2 5=.3 3=.C1M .n 2 x 2 2 数
16、学答案 第 3 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 2 2 点 O 到直线m 的距离d=,所以SOMN=MN.d=t =3 ，解得t2 =4 或一6（舍去），所以t=土2 .11 分 所以直线m 的方程为y=x+2 或y=x 一 2 12 分 20 （1）取 BD 中点H，连接EH,FH，.1 分 因为AB=AD,BC=DC，所以 EB=ED,FB=FD，故 EH BD,FH BD，因为EH FH=H，EH,FH 一平面 EFH，所以BD 平面EFH.因为EF 一平面EFH，所以 BD EF 4 分（2）因为BC=CD=，BC CD，所以 BD=CD=2，FH=BH=BD=1 ,因为平
17、面EBD 平面FBD，由（1）知，经EHF 为平面EBD 与平面FBD 的二面角，所以 经EHF=90。，因为EH BD，FH BD=H，所以EH 平面BDF，则 经EHF 即为直线EF 与平面FBD 所成角，故 经EFH=60。，则 EH=tan 60。.FH=，由勾股定理可得：EB=AB=2 .7 分 连接 AH，因为点 G 为 ABD 的重心，所以点 G 必在直线AH 上，过点G 作 GM/BD 交 AD 于点M，则 AH GM，因为EG 平面ABD，GM,AG 一平面ABD，所以EG GM,EG AG，以 G 为坐标原点，GM 所在直线为x 轴，GA 所在直线为y 轴，GE 所在直线为
18、z 轴，建立 空间直角坐标系，由知，EBD 为等边三角形，所以AG=AH=，GH=AH=，3 3 3 3 所以EG=2 3,.8 分 所以A(0,2 ,0),B(1,0),E(0,0,2),D(1,一 ,0)，3 3 3 3 设平面ABE 的法向量为n1 =(x1,y1,z1)，BA.n1 =(1,3,0).(x1,y1,z1)=x1+3y1 =0 则 3 2 2 6|lBE.n1=(1,3 ,3 ).(x1,y1,z1)=x1 +3 y1+3 z1=0 令y1 =1得：x1 =一,z1 =，所以n1 =(一,1,)，1 3一 3 EH2 一 GH2 t2 +2 t 1 2 2 1 数学答案
19、第 4 页，共 6 页学科网（北京）股份有限公司-()()()设平面BED 的法向量为n2 =(x2,y2,z2)，BD.n2 =(2,0,0).(x2,y2,z2)=2x2 =0 则 3 2 2 6|lBE.n2=(1,3 ,3 ).(x2,y2,z2)=x2+3 y2+3 z2=0解得：x2=0，令 y2 =1，则 z2 =一4 ，所以n2 =|（0,1,一4 )|，.11 分|一,1,|.|0,1,一|1 一 1n1.n2 （2 )（4)4 1=1 1 9 3 设平面A 一 BE 一 D的夹角为,显然为锐角，则cos=cos m,n .12 分,2:a=2，c=,由a2 =b2 +c2
20、，解得b2 =1.y2 =1 4 分（2）解法一：因为直线 OA 斜率为 kOA =xy00，则直线 BD 的方程为 y=一 x02y0 x ，即2y0 x+x0y=0，(2y0联立y2=一 x0 x,解得x2 =2 4x02 2 ，所以|xB|=2|x0|，+y2 =1,x0 +16 y0所以|BD|=2.2|x0|=8,点 A 到直线BD 的距离为d=|2y0 x0 +x0y0|=3|x0y0|，.8 分4y02 +x022 SABD=1 BD .d=6 x0 y0=6 ，.10 分2x02 +16y021 +16 x02 +16y02 21 （1）依题意2a=4，所以椭圆的标准方程为：c
21、os n1,n2 =a +n1.n2 1=则 c 3=,.y02 x02 3+1+2 根 1+8 4数学答案 第 4 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 因此SABD 0,xB 0，则 A(2 ,2k ),B(-2 ,4k ).8 分 1+4k2 1+4k2 1+16k2 1+16k2 SABO =xAyB -xByA =6 k 因为64k2 +之 2 =16，当且仅当k=土 时等号成立.因为SABD =2SABO ，所以三角形ABD 面积的最大值为2 .12 分 22 （1）设P(x,y)(x 子 0)则k1=y-2,k1=y+2 .1 分 x x 所以k1.k1=y-2 y+2 y
22、2-4 1 x .x =x2 =-3 ,化简得 x2 +y2 =1 .2 分 12 4 因此，曲线 C 的方程为x2 +y2 12 4 =1(x 子 0).3 分（2）解法一：当直线l 斜率存在时，设直线l:y=kx+m，E(x1,y1),F(x2,y2).3 1 3 1 因为M(,-)在l 上，所以 k+m=-.2 2 2 2 联立直线l 与椭圆 C 的方程(|1x22+4y2=1 得：(1+3k2)x2 +6kmx+3m2 -12=0.|ly=kx+m 根据韦达定理，有x1+x2 =-,x1x2 =,y1+y2 =,y1y2 =.1+3k 1+3k 1+3k 1+3k 设定点N(x0,y0
23、)因为NE NF，所以 NE.NF=(x1-x0,y1-y0).(x2 -x0,y2 -y0)=(x1-x0)(x2 -x0)+(y1-y0)(y2 -y0)=x1x2 -x0(x1+x2)+x02 +y1y2 -y0(y1+y2)+y02 =0 .5 分 3 1 将 k+m=-代入化简得：2 2 3k2(x02 +y02 -3x02 -1)+k(6-3x0 +3y0)+x02 +y02 +y0 -11=0 .7 分 x02 +y02 -3x0 -1=0 (x0 =3 所以 6-3x0 +3y0 =0 ，解得 .8 分|ly0 =1 直线l 斜率不存在时，l:x=与 C 交于E(,),F(,-
24、)两点，易得NE.NF=0.2 2 2 2 2 k2 1+4k2 1+16k2|l 4 +y =1,1+16k 1+16k2 3 3 3 =6 6,lx02 +y02 +y0 -11=0 k k 4 所以SABO 6.=1，()()1 2 1 64k +20 k2 数学答案 第 6 页，共 6 页 学科网（北京）股份有限公司(x=3 (x=一3 所以曲线 C 上存在定点N(3,1)，使得NE NF 恒成立 9 分 解法二：当直线l 斜率不存在时，l:x=与曲线 C 交于E(,),F(,一 )两点.2 2 2 2 2 因为NE NF，所以点N 在以EF 为直径的圆D1:(x 一 3 )2+y2
25、=13 上.2 4(x2 联立椭圆 C 与圆D1 的方程 12+(x 一)2 ,解得(x=3 或(x=3（x=13 ly=1 ly=一1 4 舍去）.直线l 斜率为 0 时，l:y=一 与曲线 C 交于E(,一 ),F()两点.2 2 2 2 2 因为NE NF，所以点N 在以EF 为直径的圆D2 :x2+(y+1 )2 =45 上.2 4(|2 +=1 12 4 1 2+(y+2)=,解得 或 45 ly=1 l y=1 4 y=一 舍去）.下面验证N(3,1)为所求定点设直线l:y=kx+n，E(x1,y1),F(x2,y2).联立直线l 与椭圆 C 的方程得：(1+3k2)x2 +6kn
26、x+3n2 一 12=0.根据韦达定理，有x1+x2 =一 ,x1x2 =3n2 一 212,y1+y2 =,y1y2 =n2 一 122 .1+3k 1+3k 1+3k 1+3k 因为NE NF，所以 NE.NF=(x1 一 3,y1 一 1).(x2 一 3,y2 一 1)=(x1 一 3)(x2 一 3)+(y1 一 1)(y2 一 1)=x1x2 一 3(x1+x2)+9+y1y2 一(y1+y2)+1=0.化简得4n2 一 2n+18k2+18kn 一 2=0，即36(k+n)2 =(n+2)2 .所以6(k+n)+n+2=0 或 6(k+n)=n+2，即 n=一 或n=1一 3k（
27、舍）.8 分 1 3 3 1 3 1 所以直线l:y=kx+n=kx 一 一 k=k(x 一 )一 ，过点 M(,一 ).2 2 2 2 2 2 3 3 1 直线l 斜率不存在时，易得l:x=，过点 M(,一 ).2 2 2 综上，曲线 C 上存在定点N(3,1)，使得 NE NF 恒成立 9 分 过点N 作NH EF 于H，则 当NM EF 时，NH 最大，1 NH .10 分 此时 NH 2 =NM 2 =(3 一 3)2 +(1+1 )2 =9 .11 分 所以 1 NE 2 +1 NF 2 的最小值为 2 9.12 分 1 3 1 3 1 3 3 3 =1+y2 =1 NE 2 x2 y2 NF 2|lx 3 2+(2 2 2 2 2 2 2 1 NE +NF EF=(NE NF)2 (NE NF)2 联立椭圆 C 与圆D2 的方程