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1、第3章 平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。计划课时：21（讲讲授166课时，上上机3课课时、习习题3课课时）教学方法与与手段：课堂讲讲授与上上机操作作3.1 方法性性工具一个序列经经过预处处理被识识别为平平稳非白白噪声序序列，那那就说明明该序列列是一个个蕴含着着相关信信息的平平稳序列列。在统统计上，我我么通常常是建立立一个线线性模型型来拟合合该序列列的发展展，借此此
2、提取该该序列中中的有用用信息。AARMAA(auuto reggresssioon mmoviing aveeragge)模模型是目目前最常常用的一一个平稳稳序列拟拟合模型型。时间序列分分析中一一些常用用的方法法性工具具可以使使我们的的模型表表达和序序列分析析更加简简洁、方方便。一、差分运运算（一）p阶阶差分相距一期的的两个序序列值之之间的减减法运算算称为11阶差分分运算。记记为的1阶阶差分：对1阶差分分后的序序列再进进行一次次1阶差差分运算算称为22阶差分分，记2为的2阶阶差分：2=-以此类推，对对p-11阶差分分厚序列列再进行行一次11阶差分分运算称称为p阶阶差分。记记p为的p阶阶差分：p
3、=pp-1-p-11（二）k步步差分相距k期的的两个序序列值之之间的减减法运算算称为kk步差分分运算。记记k为的k步步差分：k=例：简单的的序列：6，99，155，433，8，117，220，338，44，100，1阶差分：，即1阶差分分序列：3，66，288，-335，99，3，118，-34，66，2阶差分：2=-=32=-=2222=-=-440即2阶差分分序列2：3，222，-63，-54，-6，116，-52，-40，2步差分：222即2步差分分序列：9，334，-7，-26，112，221，-16，-28二、延迟算算子（滞滞后算子子）（一）定义义延迟算子类类似于一一个时间间指针，当
4、当前序列列值乘以以一个延延迟算子子，就相相当于把把当前序序列值的的时间向向过去拨拨去了一一个时刻刻。记BB为延迟迟算子，有有（二）性质质1.2.3.若c为为任一常常数，有有4.对任意意两个序序列和，有5.，其中中（三）用延延迟算子子表示差差分运算算1.p阶差差分p=例如上例中中，2xt=C20xt-C21xt-1+C22xt-2因此，2x3=x3-2x2+x1=155-188+6=32x4=x4-2x3+x2=43-300+9=222.k步差差分k=三、线性差差分方程程在实践序列列的时域域分析中中，线性性差分方方程是非非常重要要的，也也是极为为有效的的工具，事事实上，任任何一个个ARMMA模型
5、型都是一一个现象象差分方方程。因因此，AARMAA模型的的性质往往往取决决于差分分方程的的性质。为为了更好好地讨论论ARMMA模型型的性质质，先简简单介绍绍差分方方程的一一般性质质。常系数微分分方程是是描述连连续时间间系统的的动态性性工具，相相应的，描描述离散散型时间间系统的的主要工工具就是是常系数数差分方方程。（一）线性性差分方方程的定定义定义：称如如下形式式的方程程为序列列的线性性差分方方程： （11）式中，为实实数；为为t的已已知函数数。特别地，若若，则差差分方程程 （22） 称为齐次线线性差分分方程。否否则，成成为非齐齐次线性性差分方方程。（一） 齐次线性差差分方程程的解设Zt=t,带
6、入齐齐次线性性差分方方程（22）得，t+a1t-1+apt-p=0，方程两边同除以t-p，得特征方程 p+a1p-1+ap=0 （33）这是一个一一元p次次方程，应应该至少少有p个个非零实实根，称称这p个个实根为为特征方方程（33）的特特征根，不不防记作作1、2、p.特征征根的取取值情况况不同，齐齐次线性性差分方方程的解解会有不不同的表表达形式式。1、 1、2、p为p个不同同的实根根，（22）的解解为zt=c11t+c22t+cppt，c1、c2、cp为任意常常数。2、 1、2、p中有相同实实根。假设1、2、d为d个个相同实实根，d+1、d+2、p为为不同实实根，则则（2）的的解为zt=(c1
7、+c2t+cdtd-1)+cd+1d+1t+cd+2d+2t+cppt，c1、c2、cp为任意意常数。3、1、2、p中有复复根（自自己看）（三）非齐齐次线性性差分方方程的解解线性差分方方程（11）的解解是齐次次线性差差分方程程（2）的的通解+非齐次次线性差差分方程程（1）的的一个特特解构成成。例1、 求解以下线线性差分分方程zt-6zt-1+9zt-2=0设Zt=t代人得 t-6t-1+9t-2=0，同同除以t-2得得 2-6+9=0，得1=2=3所以，齐次次方程zt-6zt-1+9zt-2=0的的通解为为zt=c11t+c22t=c1+c23t例2、求解解以下线线性差分分方程zt-3zt-1
8、+2zt-2=3t(1) 、求齐次方方程zt-3zt-1+2zt-2=0的通通解设Zt=t代人得 t-3t-1+2t-2=0，同同除以t-2得得 2-3 +2=0，得1=1，2=2所以，齐次次方程zt-3zt-1+2zt-2=0的的通解为为zt=c11t+c22t=c1+c22t(2) 、求非齐次次方程zt-3zt-1+2zt-2=3t的的特解（非非唯一，求求解方式式可多种种，只要要找到一一个解满满足方程程即可）设zt=c3t代入原方方程得：c3t-3c3t-1+2c3t-2=3t 22c=99,c=9/22，即zt=4.53t为原方程程的一个个特解（3）、所所以原方方程的解解Zt=c1+c2
9、2t+4.5*3t四、时间序序列模型型与线性性差分方方程（意意义）线性差分方方程在实实际序列列分析中中有重要要的应用用，常用用的时序序模型和和某些模模型自协协方差函函数合自自相关系系数都可可以视为为线性差差分方程程，而线线性差分分方程对对应的特特征根的的性质对对判断模模型的平平稳性有有非常重重要的意意义。3.2 ARRMA模模型的性性质一、AR模模型（一）定义义：具有如下结结构的模模型称为为p阶自自回归模模型，简简记为AAR(PP)：1.AR(P)的的三个限限制条件件：（1），保保证了模模型的最最高阶数数为p。（2），要要求随机机干扰序序列为零零均值白白噪声序序列。（3），说说明当期期的随机机
10、干扰与与过去的的序列值值无关。通常情况下下，记AAR(PP)模型型为2. 中心心化的AAR(PP)模型型如果则以上上自回归归模型称称为中心心化的AAR(PP)模型型：，后面的分分析都是是针对中中心化的的模型进进行的。3.用延迟迟算子表表示ARR(P)：成为p阶自自回归系系数多项项式。自回归模型型描述了了后一时时刻的行行为与前前面时刻刻的行为为有关。（二）格林林函数（GGreeen函数数）设为平稳AAR(PP)模型型的特征征根，即即的特征征根。任任取带入入特征方方程：设为特征多多项式的的根。任任取带入入方程得得：，两边同时时除以得得:可见，ARR(P)模型自自回归系系数多项项式的根根是齐次次线性
11、差差分方程程的特征征根的倒倒数。即即由为特征多多项式的的根可知知所以，（为常数）称为格林函函数，代代入原模模型得，可见，格格林（GGreeen）函函数是前前j个时时刻以前前进入系系统的随随机扰动动对系统统现在的的行为即即序列值值影响的的权数。根据待定系系数法（略略）可以以推出格格林函数数的递推推公式：其中，例如：对于于AR(1)模模型，PP=1对于AR(2)模模型，PP=2练习AR(3)模模型格林林函数。AAR(33)：PP=3（二） AR模型平平稳性判判别要拟合一个个平稳序序列，用用来拟合合的模型型显然应应该是平平稳的，AAR模型型是常用用的用来来拟合平平稳序列列的模型型之一，但但并非所所有
12、的AAR模型型都是平平稳的，因因此需要要判别模模型的平平稳性。例如，考察察如下四四个模型型的平稳稳性（1） （2）（3） （44）拟合这四个个序列的的序列值值，并绘绘制时序序图，可可初步判判断（11）、（33）平稳稳，（22）、（44）不平平稳（见见教材图图形）。时时序图检检验比较较粗糙，准准确的方方法有以以下两种种：特征征根判别别与自回回归系数数判别法法。1.特征根根判别对于一个自自回归系系统（格格林函数数表示法法）要使平稳，必必须是随随着j，扰扰动项对对的以下下逐渐减减少，直直至趋于于0，即即系统随随着时间间的增长长回到均均衡位置置，那么么该系统统就是稳稳定的，因因此用格格林函数数表示就就
13、是limj=0i1时，才能使使limj=0，即特特征根都都在单位位圆内，或或者的根根都在单单位圆外外。这就是说，要要判断一一个模型型是否平平稳，需需解气特特征方程程，判断断特征根根的情况况。那么么，是否否可以直直接从模模型额形形式或自自回归系系数的大大小来判判断？2.自回归归系数判判别法及及平稳域域的概念念（1）对于于AR(1)模模型：特征方程为为-1=0，=1，由由1得，11时，模模型平稳稳，平稳稳域为-111（2）对于于AR(2)模模型特征方程为为2-1-2=0，根据据AR(2)模模型平稳稳的条件件11，21由根与系数数的关系系得，1+2=1，12=-2则2=121 （1）11,11-21
14、-2,即1-121-2，1+2-121即1+2-1,-1+211+2，-1+2-121即1-21 （3）以上（1）、（22）、（33）三个个条件的的图形为为22-1=021-1-11-12-1=0图中阴影部部分为AAR(22)模型型的平稳稳域，即即模型平平稳时自自回归系系数1和2所满满足的条条件构成成的区域域。例：分别用用用特征征根与自自回归系系数法判判别以下下四个模模型的平平稳性。（1）1.特征根根法：-0.8=0 =0.8 1,所所以该模模型平稳稳2.自回归归系数法法：1=0.81,所所以该模模型不平平稳2.自回归归系数法法：1=1.11，所所以模型型不平稳稳（3）2=0.51，2-1=-
15、0.5-1=-1.512+1=-0.5+1=0.51 ,所以该该模型不不平稳2.自回归归系数法法：2=0.51，2-1=0.5-1=-0.51 所以模型不不平稳可见于图形形检验是是一致的的。（四）平稳稳AR模模型的统统计性质质1均值Ext=,tT,平稳两边取期望望：，得得=01-1-2-p对于中心化化的ARR(p)模型，由由于0=0，所所以均值值=02.方差xt, 取方差差Var(xt）对于平稳序序列，由由于j时，Gj收敛敛，所以以j=0Gj2存在所以，平稳稳序列xt方方差有界界，等于于常数j=0Gj22.例：求ARR(1)模型的的方差由前面可知知，ARR(1)模型的的格林函函数为Gj=1j,
16、所以方差Var(xt）=1+12+122+123=1-12AR(2)模型的的方差（略略）Var(xt）=1-21+21-1-2（1+1-2）3.协方差差函数在平稳模型型两边同同时乘以以xt-k, k1,再取取期望得得：，因因为所以，自协协方差函函数的递递推公式式为：k=1k-1+2k-2+pk-p例1：求平平稳ARR(1)模型的的自协方方差函数数递推公式为为：k=1k-1=12k-2=1k00=21-12=1k21-12，k1例2：求平平稳ARR(2)模型的的自协方方差函数数递推公式为为：k=1k-1+2k-2，k1当k=1时，1=10+2-1（-1=1，自自协方差差函数和和自相关关系数的的对
17、称性性）1=101-2，0=1-21+21-1-2（1+1-2）所以，0=1-21+21-1-21+1-21=101-2=11+21-1-21+1-2k=1k-1+2k-2，k24.自相关关函数拖拖尾（1）递推推公式：由于k=k0，在在自协方方差等式式两边同同时除以以方差函函数0，就就得到自自相关系系数的递递推公式式：k=1k-1+2k-2+pk-p例1：求平平稳ARR(1)模型的的自相关关系数因为：k=1k0，所所以k=k0=1k，k0例2：求平平稳ARR(2)模型的的自相关关系数0=11=11-2k=1k-1+2k-2，k2（2）自相相关系数数的性质质1）拖尾性性：k始终终有非零零取值，不
18、不会在k大大于某个个常数之之后恒等等于02）负指数数衰减：随着时时间的推推移，k会会迅速衰衰减，衰衰减速度度为k（负负指数：|i|1，短短期相关关性），为k=0的特征根，k可视为p阶齐次差分方程。例：考察下下面四个个AR模模型的自自相关图图（1） （2）（3） （44）由以上判断断可知以以上四个个模型均均平稳，拟拟合其自自相关图图，均呈呈现出拖拖尾性和和负指数数衰减的的特征。见见教材554页。5.偏自相相关函数数截尾（1）含义义：对于于平稳的的AR(p)模模型，滞滞后k自自相关系系数k实际际上并不不是xt与xt-k之间单单纯的相相关关系系，因为为xt同时还还受到中中间k-1个随随机变量量xt-
19、1、xt-2、xt-（k-1）的影响响，而这这k-11个随机机变量又又都和xt-k具具有相关关关系，所所以，自自相关系系数k实际际掺杂了了其他变变量对xt与与xt-k关系的的影响，偏偏自相关关系数则则是单纯纯测度xt-k对对xt的影响响。具体体说，对对于平稳稳序列xt，滞滞后k偏偏自相关关系数就就是指在在给定中中间k-1个随随机变量量xt-1、xt-2、xt-（k-1）的条件件下，或或者说，在在剔除了了中间kk-1个个随机变变量的干干扰之后后，xt-k对xt的影响响的相关关度量。可可见，偏偏自相关关系数的的定义与与回归分分析中偏偏回归系系数的定定义非常常相似，因因此可以以从线性性回归的的角度，
20、得得到偏自自相关系系数的另另一层含含义。（2）计算算假定xt为中心心化平稳稳序列，用用过去的的k期序序列值xt-1、xt-2、xt-k对对xt作k阶阶自回归归拟合，即即：由以上分析析可知，即为排除中间k-1个变量xt-1、xt-2、xt-（k-1）的干扰之后，xt-k对xt的影响的单纯度量，因此可根据回归系数的求法求出的值（过程略）对于AR(1)模模型 对于于AR(2)模模型 kk=1, k=10, &k2 kk=11-2, k=1 2 , &k=20, k3（3）偏自自相关系系数p步步截尾性性可以证明，偏偏自相关关系数具具有p步步截尾性性的特征征，前面面学过AAR(pp)模型型自相关关系数具
21、具有拖尾尾性，这这是两条条判断AAR(pp)模型型的主要要依据，即即如果模模型自相关系数数k具拖尾尾偏自相关系系数kkp步步截尾 则该该模型为为p阶自自回归模模型。例，考察如如下四个个平稳AAR(pp)模型型的偏自自相关系系数（1） （2）（3） （44）序号模型kk(p步截尾尾)k（拖尾）1 kk=1=0.8, k=10, &k2k=1k=0.8k,k02 kk=1=-0.8,k=10, &k2k=1k=(-0.8)k,k03 kk=11-2=23, k=1 2=-0.5, &k=20, k3k=1, k=0 11-2=23, & k=10k=1k-1+2k-2 k24 kk=11-2=-2
22、3, k=1 2=-0.5, &k=20, k3k=1, k=0 11-2=-23, & k=10k=1k-1+2k-2 k2见教材588页四个个模型的的偏自相相关系数数图。(计算课课后988页第33题)，作业：汇总总AR(1)、AAR(22)模型型的统计计性质，包包括均值值、方差差、自协协方差函函数、自自相关系系数、偏偏自相关关系数。统计性质AR(1):AR(2):Ext01-1=001-1-2=0Var(xt）1-121-21+21-1-2（1+1-2）k1k21-120=1-21+21-1-21+1-21=101-2=11+21-1-21+1-2k=1k-1+2k-2，k2k1k0=11
23、=11-2k=1k-1+2k-2，k2 kk kk=1, k=10, &k2 kk=11-2, k=1 2 , &k=20, k3二、MA模模型（一）定义义1.定义：具有如如下结构构的模型型称为qq阶移动动平均模模型，简简记为MMA(qq)：2. MAA(q)的限制制条件：（1），保保证了模模型的最最高阶数数为q。（2），要要求随机机干扰序序列为零零均值白白噪声序序列。2. 中心心化的MMA(qq)模型型如果则以上上移动平平均模型型称为中中心化的的MA(q)模模型：，后面的分分析都是是针对中中心化的的模型进进行的。3.用延迟迟算子表表示MAA(q)：成为q阶移移动平均均系数多多项式。（二）MA
24、A模型的的统计性性质1.常数均均值当qq例如：MAA（1）xt=t-1t-1 k=1+122, k=0-12, k=10 k1MA（2）模模型：xt=t-1t-1-2t-2k=1+12+222, k=0-1+122, k=1-22 ， k=20 k2 4.自相关关函数qq阶截尾尾k=k0=1, k=0,-k+i=1q-kik+i1+12+q2 1kq0 kq例如：MAA（1）xt=t-1t-1 k=k0=1, k=0-11+12, k=10 k1MA（2）模模型：xt=t-1t-1-2t-2 k=k0=1 , k=0-1+121+12+22, k=1-21+12+22， k=20 k2 5.偏
25、自相相关函数数拖尾 MA模模型的 kk拖拖尾（证证明略）综上，得出出以下结结论：第一， 有限阶的MMA模型型一定是是平稳的的（因为为均值和和方差均均为常数数）第二， MA模型kqq阶截尾尾， kk拖尾尾（ARR模型是是k拖尾， kkpp阶截尾尾）例3.6：绘制下下列MAA模型的的自相关关系数和和偏自相相关系数数，直观观考察MMA模型型自相关关系数的的截尾性性和偏自自相关系系数的拖拖尾性。（1）xt=t-2t-1 （22）xt=t-12t-1（3）xt=t-45t-1+1625t-2 （44）xt=t-54t-1+2516t-2图形见教材材61页页622页。（三）MAA模型的的可逆性性例3.6四
26、四个MAA模型中中，（11）xt=t-2t-1与（22）xt=t-12t-1具有有相同的的自相关关图，经经计算自自相关系系数也相相同；模模型（33）xt=t-45t-1+1625t-2 和和（4）xt=t-54t-1+2516t-2也具有相同的自相关图，经计算系数也相同。即k与模型不是一一对应的关系，这种自相关系数的不唯一给我们将来的工作带来麻烦。因为将来我们是通过样本自相关系数显示出额特征选择合适的模型拟合序列的发展，如果自相关系数和模型之间不是一一对应关系，就导致序列与模型之间不是一一对应的。为了保证一个给定的k对应唯一一个MA模型，就要给模型施加约束条件可逆性。1、可逆的的定义可以验证。
27、两两个MAA（1）模模型具有有如下结结构关系系时，其其k相同（1）xt=t-1t-1 （22）xt=t-11t-1t=xt1-1B=1+1B+1B2+1Bj+xtt=xt+1xt-1+1jxt-j+AR模模型的形形式要想使以上上模型收收敛，必必须保证证limj1j=0,即11而模型（22）可写写作t=xt1-11B，要要写成收收敛的AAR模型型，需保保证111定义：若一一个MAA模型能能够表示示称为收收敛的AAR模型型形式，那那么该MMA模型型称为可可逆MAA模型，一一个k唯一一对应一一个可逆逆的MAA模型。2、MA（qq）模型型的逆转转形式及及可逆函函数MA模型可可写作设为MA(q)模模型的
28、特特征根，即即的特征征根。任任取带入入特征方方程： （11）设为特征多多项式的的根。任任取带入入方程得得：，两边同时时除以得得: （2）可见，MAA (qq)模型型移动平平均系数数多项式式的根是是齐次线线性差分分方程的的特征根根的倒数数。即由为特征多多项式的的根可知知所以，（为常数） 以上上为MAA模型的的逆转形形式，即即把MAA模型写写作无穷穷阶的AAR模型型。其中中为可逆逆函数。同理，根据据待定系系数法（略略）可以以推出可可逆函数数的递推推公式：其中，例如：对于于MA (1)模型，qq=1对于MA (2)模型，qq=2练习MA (3)模型可可逆函数数。MAA (33)：qq=3总结：ARR
29、（p）模模型的传传递形式式：是把把AR模模型写作作无穷阶阶的MAA模型。MA（q）模模型的逆逆转形式式：是把把MA模模型写作作无穷阶阶的ARR模型3、可逆性性判别（1）特征征根判别别对于一个移移动平均均系统（逆逆转形势势）要使可逆，即即以上形形式收敛敛，则需需 limjIj=0i1时，才能使使limjIj=0，即特特征根都都在单位位圆内，或或者的根根都在单单位圆外外。这就是说，要要判断一一个MAA模型是是否可逆逆，需解解其特征征方程，判判断特征征根的情情况。那那么，是是否可以以直接从从模型的的形式或或移动平平均系数数的大小小来判断断？2.移动平平均系数数判别法法（1）对于于MA (1)模型：x
30、t=t-1t-1特征方方程为-1=0，=1，由由1得，11时，模模型可逆逆（2）对于于MA (2)模型xt=t-1t-1-2t-2特征方程为为2-1-2=0，根据据MA (2)模型可可逆的条条件11，21由根与系数数的关系系得，1+2=1，12=-2则2=121 （1）11,11-21-2,即1-121-2，1+2-121即1+2-1,-1+211+2，-1+2-121即1-21 （3）三、ARMMA模型型（一）定义义1.定义：具有如如下结构构的模型型称为自自回归移移动平均均模型，简简记为：2.限制条条件：（1），保证了了模型的的自回归归最高阶阶数为pp，移动动平均最最高阶数数为q。（2），要
31、要求随机机干扰序序列为零零均值白白噪声序序列。（3），说说明当期期的随机机干扰与与过去的的序列值值无关。2. 中心心化的模模型如果，则以以上自回回归模型型称为中中心化的的ARMMA(pp,q)模型：，后面的分分析都是是针对中中心化的的模型进进行的。3.用延迟迟算子表表示ARRMA(p,qq)：成为p阶自自回归系系数多项项式。成为q阶移移动平均均系数多多项式当q=0时时，ARRMA(p,qq)模型型就退化化成了AAR(pp)模型型。当pp=0时时，ARRMA(p,qq)模型型就退化化成了MMA(qq)模型型。所以以，ARR(p) 和MMA(qq)模型型实际上上是ARRMA(p,qq)模型型的特例
32、例。他们们统称为为ARMMA(pp,q)模型。而而ARMMA(pp,q)模型的的统计性性质也正正是ARR(p) 和MMA(qq)模型型统计性性质的有有机结合合。（二）平稳稳条件与与可逆条条件1.平稳条条件：对于ARMMA(pp,q)模型，令令显然是一一个均值值为零、方方差为的的平稳序序列，于于是ARRMA(p,qq)模型型可写作作如下形形式：。与与分析AAR(pp)模型型平稳性性完全类类似，容容易推出出ARMMA(pp,q)模型的的平稳性性条件是是：P阶自回回归系数数多项式式的根都都在单位位圆外，或或者齐次次线性差差分方程程的特征征根都在在单位圆圆内。即即ARMMA(pp,q)模型的的平稳性性
33、完全由由其自回回归部分分的平稳稳性决定定。2.可逆条条件：同理，令，与的性质质完全类类似，则则ARMMA(pp,q)模型可可写作。与与分析MMA (q)模模型可逆逆性完全全类似，容容易推出出ARMMA(pp,q)模型的的可逆性性条件是是：q阶移动动平均系系数多项项式的根根都在单单位圆外外，或者者齐次线线性差分分方程的的特征根根都在单单位圆内内，即AARMAA(p,q)模模型的可可逆性完完全由其其移动平平滑部分分的可逆逆性决定定。当以及的根根都在单单位圆外外时，AARMAA(p,q)模模型称为为平稳可可逆的模模型，这这是一个个由自相相关系数数唯一识识别的模模型。（三）传递递形式与与转逆形形式对于
34、一个平平稳可逆逆的ARRMA(p,qq)模型型，其传传递形式式是：为格林函数数。通过过待定系系数法（略略），得得到ARRMA(p,qq)模型型格林函函数的递递推公式式为：其中，同理可得到到RMAA(p,q)模模型的逆逆转形势势：，其中为可可逆函数数。同理，根据据待定系系数法（略略）可以以推出可可逆函数数的递推推公式：其中，可见，ARMA模模型的传传递形式式就是把把ARMMA模型型写作无无穷阶的的MA模模型。ARMA模模型的逆逆转形式式就是把把ARMMA模型型写作无无穷阶的的AR模模型（四）ARRMA（pp，q）模模型的统统计性质质1.均值：对于一个非非中心化化的平稳稳可逆的的ARMMA（pp，
35、q）模模型：两边同时取取期望，有有Ext=01-1-2-p2.自协方方差函数数k=Extxt+k=Ei=0Git-i(j=0Gjt+k-j)=2i=0GiGi+k3.自相关关函数不不截尾k=k0=j=0GjGj+kj=0Gj24.偏自相相关系数数不截尾尾例3.7：拟合AARMAA(1,1)模模型，并并直观考考察该模模型自相相关系数数和偏自自相关系系数，均均不截尾尾，见图图3-77（p669）综合考察AAR（pp）、MMA（qq）和AARMAA（p,q）模模型自相相关系数数和偏自自相关系系数的性性质，得得出以下下规律：模型自相关系数数偏自相关系系数AR（p）拖尾P阶截尾MA（q）q阶截尾拖尾ARMA（pp,q）拖尾拖尾27