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1、第八章 非线性控制系统分析 第八章 非线性控制系统分析 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 8.2 相平面分析法相平面分析法 8.3 描述函数法描述函数法 小小 结结 第八章 非线性控制系统分析 8.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时,即称此系统为非线性系统。用线性方程组来描述系统,只不过是在一定的范围内和一定的近似程度上对系统的性质所作的一种理想化的抽象。用线性方法研究控制系统,所得的结论往往是近似的,当控制系统中非线性因素较强时(称为本质非线性),用线性方法得到的结论,必然误差很大,甚至完全错误。非线性对象的运动规律要用非线
2、性代数方程和(或)非线性微分方程描述,而不能用线性方程组描述。一般地,非线性系统的数学模型可以表示为(8.1)其中,f()和g()为非线性函数。第八章 非线性控制系统分析 8.1.1 非线性特性的分类非线性特性的分类非线性特性种类很多,且对非线性系统尚不存在统一的分析方法,所以将非线性特性分类,然后根据各个非线性的类型进行分析得到具体的结论,才能用于实际。按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分,非线性特性有死区特性、饱和特性、间隙特性和继电器特性等,见图8-1。第八章 非线性控制系统分析 图8-1典型非线性特性第八章 非线性控制系统分析 1.死区特性死区特性死区又称不灵敏区,通常以阈值、
3、分辨率等指标衡量。死区特性如图8-1(a)所示。常见于测量、放大元件中,一般的机械系统、电机等,都不同程度地存在死区。其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内时,没有输出。只有当输入信号大于此范围时,才有输出。执行机构中的静摩擦影响也可以用死区特性表示。控制系统中存在死区特性,将导致系统产生稳态误差,其中测量元件的死区特性尤为明显。摩擦死区特性可能造成系统的低速不均匀,甚至使随动系统不能准确跟踪目标。第八章 非线性控制系统分析 2.饱和特性饱和特性饱和也是一种常见的非线性,在铁磁元件及各种放大器中都存在,其特点是当输入信号超过某一范围后,输出信号不再随输入信号变化而保持某一常值(参见图8-
4、1(b)。饱和特性将使系统在大信号作用之下的等效增益降低,深度饱和情况下,甚至使系统丧失闭环控制作用。还有些系统中有意地利用饱和特性作信号限幅,限制某些物理参量,保证系统安全合理地工作。第八章 非线性控制系统分析 3.间隙特性间隙特性间隙又称回环。传动机构的间隙是一种常见的回环非线性特性(参见图8-1(c)。在齿轮传动中,由于间隙存在,当主动齿轮方向改变时,从动轮保持原位不动,直到间隙消除后才改变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性。间隙特性对系统影响较为复杂,一般来说,它将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增大,从而使系统动态性能恶化。采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可消除间隙对
5、系统的不利影响。第八章 非线性控制系统分析 4.继电器特性继电器特性由于继电器吸合电压与释放电压不等,使其特性中包含了死区、回环及饱和特性(参见图8-1(d)。当a0时的特性称为理想继电器特性。继电器的切换特性使用得当可改善系统的性能。如从非线性环节的输出与输入之间存在的函数关系划分,非线性特性又可分为单值函数非线性与多值函数非线性两类。例如死区特性、饱和特性及理想继电器特性都属于输出与输入间为单值函数关系的非线性特性。间隙特性和继电器特性则属于输出与输入之间为多值函数关系的非线性特性。第八章 非线性控制系统分析 8.1.2 非线性系统的特征非线性系统的特征 1.稳定性分析复杂稳定性分析复杂按
6、照平衡状态的定义,在无外作用且系统输出的各阶导数等于零时,系统处于平衡状态。显然,对于线性系统只有一个平衡状态c0,线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性,而且取决于系统本身的结构和参数,与外作用和初始条件无关。而非线性系统可能存在多个平衡状态,各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关,也与初始条件以及系统的输入信号的类型和幅值有关。第八章 非线性控制系统分析 2.可能存在自持振荡现象可能存在自持振荡现象所谓自持振荡是指没有外界周期变化信号的作用时,系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。线性系统的运动状态只有收敛和发散,只有在临界稳定的情况
7、下才能产生周期运动,但由于环境或装置老化等不可避免的因素存在,使这种临界振荡只可能是暂时的。而非线性系统则不同,即使无外加信号,系统也可能产生一定幅度和频率的持续性振荡,这是非线性系统所特有的。必须指出,长时间大幅度的振荡会造成机械磨损,增加控制误差,因此许多情况下不希望自持振荡发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振,可克服间歇、死区等非线性因素的不良影响。而在振动试验中,还必须使系统产生稳定的周期运动。因此研究自持振荡的产生条件与抑制,确定其频率与幅度,是非线性系统分析的重要内容。第八章 非线性控制系统分析 3.频率响应发生畸变频率响应发生畸变稳定的线性系统的频率响应,即正弦信号作用下的稳
8、态输出量是与输入同频率的正弦信号,其幅值A和相位为输入正弦信号频率的函数。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基波分量)外,还含有关于的高次谐波分量,使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节,输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。第八章 非线性控制系统分析 8.1.3 非线性系统的分析与设计方法非线性系统的分析与设计方法系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式,以解决稳定性问题为中心,对系统实施有效的控制。由于非线性系统形式多样,受数学工具限制,一般情况下难以求得非线性方程的解析解,只能采用工程上适用的近似方法。在实际工程问题中,如果不需精确求解输出函数,
9、往往把分析的重点放在以下三个方面:某一平衡点是否稳定,如果不稳定应如何校正;系统中是否会产生自持振荡,如何确定其周期和振幅;如何利用或消除自持振荡以获得需要的性能指标。比较基本的非线性系统的研究方法有如下几种:第八章 非线性控制系统分析 1.小范围线性近似法小范围线性近似法这是一种在平衡点的近似线性化方法,通过在平衡点附近泰勒展开,可将一个非线性微分方程化为线性微分方程,然后按线性系统的理论进行处理。该方法局限于小区域研究。2.逐段线性近似法逐段线性近似法将非线性系统近似为几个线性区域,每个区域用相应的线性微分方程描述,将各段的解合在一起即可得到系统的全解。第八章 非线性控制系统分析 3.相平
10、面法相平面法相平面法是非线性系统的图解法,由于平面在几何上是二维的,因此只适用于阶数最高为二阶的系统。4.描述函数法描述函数法描述函数法是非线性系统的频域法,适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。第八章 非线性控制系统分析 5.李雅普诺夫法李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量概念确定非线性系统稳定性的方法,原则上适用于所有非线性系统,但对于很多系统,寻找李雅普诺夫函数相当困难。6.计算机仿真计算机仿真利用计算机模拟,可以满意地解决实际工程中相当多的非线性系统问题。这是研究非线性系统的一种非常有效的方法,但它只能给出数值解,无法得到解析解,因此缺乏对一般非线性系统的指导意义。第八章
11、非线性控制系统分析 8.2 相平面分析法相平面分析法 相平面法是求解一阶或二阶线性或非线性系统的一种图解方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统运动的直观图像。它可以看作状态空间法在一阶和二阶情况下的应用。所以,它属于时间域的分析方法。设二阶线性系统如图8-2(a)所示。设输入r为常数,误差e为变量,可以列写微分方程:(8.2)第八章 非线性控制系统分析 取状态变量x1=e,x2=e,可列写状态方程:.(8.3)给定初始条件x1(0)=e(0),x2(0)=e(0),就可以确定解e(t)和e(t)。图8-2(b)和(c)分别表示当系统平衡状态在原点x1x20,而输入为单位阶跃函数,即e(
12、0)=1、e(0)=0时,上述状态方程的解e(t)和e(t)。.第八章 非线性控制系统分析 图8-2二阶线性系统及其状态图和相平面图第八章 非线性控制系统分析 用MATLAB绘制图8-2(b)、(c)和(d)的参考程序如下：sys=tf(110,111)subplot(2,1,1);x,t=step(sys);plot(t,x)subplot(2,1,2);xx,t=impulse(sys);plot(t,xx)figuret=00.150 x1=step(sys,t)x2=impulse(sys,t)第八章 非线性控制系统分析 a=111n=length(a)-1p=roots(a)v=ro
13、t90(vander(p)y0=00c=vy0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1,x2+y2)hnd=plot(x1+y1,x2+y2)set(hnd,linewidth,1.3)holdon第八章 非线性控制系统分析 y0=0.51c=vy0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*e
14、xp(p(k)*t)endplot(x1+y1,x2+y2,)第八章 非线性控制系统分析 y0=0.20.8c=vy0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1,x2+y2,)第八章 非线性控制系统分析 y0=-0.5-1c=vy0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)
15、endplot(x1+y1,x2+y2,)第八章 非线性控制系统分析 y0=-0.8-1c=vy0y1=zeros(1,length(t)y2=zeros(1,length(t)fork=1ny1=y1+c(k)*exp(p(k)*t)y2=y2+c(k)*p(k)*exp(p(k)*t)endplot(x1+y1,x2+y2,)第八章 非线性控制系统分析 一般的二阶系统均可以表示为上式可改写为取x为相平面图的横坐标,x 为纵坐标,则是相轨迹的斜率,相轨迹上任何一点都满足这个方程。该方程的解表示相轨迹曲线方程。相平面法的主要工作是作相轨迹,有了相平面图,系统的性能也就表示出来了。.第八章 非线
16、性控制系统分析 8.2.1 相平面图的绘制方法相平面图的绘制方法 1.解析法解析法解析法适用于由较简单的微分方程描述的系统。例例 8-1单位质量的自由落体运动。解解以地面为参考零点,向上为正,则当忽略大气影响时,单位质量的自由落体运动为由式(8.5)得第八章 非线性控制系统分析 所以积分得作相平面图,如图8-3所示。图8-3单位质量自由落体相平面图第八章 非线性控制系统分析 由分析可知,其相平面图为一簇抛物线。在上半平面,由于速度为正,所以位移增大,箭头向右;在下半平面,由于速度为负,所以位移减小,箭头向左。设质量体从地面往上抛,此时位移量x为零,而速度量为正,设该初始点为A点,该质量体将沿由
17、A点开始的相轨迹运动,随着质量体的高度增大,速度越来越小,到达B点时质量体达最高点,而速度为零,然后又沿BC曲线自由落体下降,直至到达地面C点,此时位移量为零,而速度为负的最大值。如果初始点不同,质量体将沿不同的曲线运动。如设图中的D点为初始点,表示质量体从高度为D的地方放开,质量体将沿DE曲线自由落体下降到地面E点。第八章 非线性控制系统分析 例例 8-2二阶系统的微分方程为试绘制系统的相平面图。解解根据式(8.5),上述微分方程可以改写为用分离变量法对x和x分别积分,得.第八章 非线性控制系统分析 记等式右端由初始条件决定的非负的量为(A)2,得相轨迹方程如下:这是以原点为中心的椭圆或圆簇
18、的方程,相轨迹如图8-4所示。可见,该系统为自持振荡,初始条件不同,椭圆的大小也随之变化,中间的一个椭圆是初始条件为(1,0)的相轨迹。由以上两例,可看到相平面图的一些性质:(1)当选择取x作为横坐标,x作为纵坐标时,则在上半平面(x0),系统状态沿相轨迹曲线运动的方向是x增大的方向,即向右移动;类似地,在下半平面,相轨迹向左移动。.第八章 非线性控制系统分析 图8-4二阶系统相轨迹第八章 非线性控制系统分析(2)相轨迹的斜率由式(8.5)表示。相平面上的一个点(x,x)只要不同时满足x=0和f(x,x)=0,则该点相轨迹的斜率就由式(8.5)唯一确定。也就是说,通过该点的相轨迹只有一条,各条
19、相轨迹曲线不会在该点相交。同时满足x=0和f(x,x)=0的点称为奇点。该点相轨迹的斜率是0/0型,是不定的。通过该点的相轨迹可能不止一条,且彼此斜率也不相同,即相轨迹曲线簇在该点发生相交。(3)自持振荡的相轨迹是封闭曲线。.第八章 非线性控制系统分析(4)在相轨迹通过x轴的点,相轨迹通常与x轴垂直相交。因为在x轴的点,x=0,除去f(x,x)=0的奇点外,在这些点相轨迹的斜率为dx/dx=,即相轨迹与x轴垂直相交。在作相轨迹时,考虑对称性往往能使作图简化。如果关于x轴对称的两个点(x,x)和(x,-x),满足.即f(x,x)是x的奇函数,则相轨迹关于x轴对称。.第八章 非线性控制系统分析 如
20、果关于轴对称的两个点(x,x)和(-x,x),满足.即f(x,x)是x的偶函数,则相轨迹关于x 轴对称。如果关于原点对称的两个点(x,x)和(-x,-x),满足.则相轨迹关于原点对称。能用解析法作相平面图的系统只局限于比较简单的系统,对于大多数非线性系统很难用解析法求出解。从另一角度考虑,如果能够求出系统的解析解,系统的运动特性也已经清楚了,也就不必要用相平面法分析系统了。因此,对于分析非线性系统更实用的是图解法,我们介绍的是等倾线法。第八章 非线性控制系统分析 2.等倾线法等倾线法我们知道,平面上任一光滑的曲线都可以由一系列短的折线近似代替。等倾线是指相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。设斜
21、率为k,则由式(8.5)得即(8.6)第八章 非线性控制系统分析 图8-5等倾线第八章 非线性控制系统分析 例例 8-3绘制下列系统的相轨迹。解解系统方程可以改写为令相轨迹斜率为k,代入上式得到相轨迹的等倾线方程第八章 非线性控制系统分析 可见,等倾线是通过原点的直线簇,等倾线的斜率等于-2/(2+k),而k则是在相轨迹通过等倾线处的斜率。设系统参数0.5,1。求得对应于不同k值的等倾线,如图8-6所示。用MATLAB绘制图8-6的程序如下：k=-1.2;x1=-50.110;x2=-x1/(1+k)plot(x1,x2)第八章 非线性控制系统分析 图8-6等倾线法绘制的二阶系统相轨迹第八章
22、非线性控制系统分析 初始点为A的相轨迹可以按下述方法给出。在k1和k1.2的两等倾线之间绘制相轨迹时,一条短线段近似替代相轨迹曲线,其斜率取为起始等倾线的斜率,即1(如果稍微精确一点,可取两等倾线斜率的平均数,即1.1)。此短线段交k1.2的等倾线于B点,近似认为此短线段AB是相轨迹的一部分。同样,从B点出发,在k1.2和k1.4的两等倾线之间绘制斜率为1.2的短线段,它交k1.4的等倾线于C点,近似认为此短线段BC是相轨迹的一部分。重复上述作图方法,依次求得折线ABCDE直至原点。就用这条折线作为由初始点A出发的相轨迹曲线。第八章 非线性控制系统分析 上述作图方法,由于近似和作图误差,以及误
23、差的逐步累积,因此结果可能误差较大。一般来说,精确度取决于等倾线的密度和相轨迹本身斜率变化的快慢。等倾线愈密,相邻等倾线的k值之差愈小,取短线段斜率引入的误差愈小,但作图的步骤增多,引入的累积作图误差增大,且作图的工作量增大。因此,等倾线的密度要适当,一般每隔510画一条等倾线为宜。为提高作图精度,可采用平均斜率法,即取两条相邻等倾线所对应的斜率的平均值作为短线段的斜率。对线性二阶系统,等倾线是一些直线。但一般来说,非线性系统的等倾线则是曲线或折线。第八章 非线性控制系统分析 例例 8-4 绘制下列系统的相轨迹。解解系统方程可以改写为则k=-0.2(x2-1)-x/x。相轨迹的等倾线方程为.(
24、8.7)当短线段的倾角为0时,其斜率k0,式(8.7)成为该式表示的曲线上的每一点斜率均为0。第八章 非线性控制系统分析 当短线段的倾角为45时,其斜率k1,式(8.7)成为该式表示的曲线上的每一点斜率均为1。如此可以作出其它斜率的等倾线,由等倾线方程可知,该系统的等倾线是曲线而非直线。这样就可以作出如图8-7所示的斜率的分布场,分别以A点(1.6,2)和B点(1.5,0.5)为初始点,绘制两条相轨迹如图8-7实线所示。第八章 非线性控制系统分析 图8-7等倾线法绘制的非线性系统相轨迹第八章 非线性控制系统分析 用MATLAB绘制图8-7的参考程序如下：x1=-50.15k=0 x2=x1./
25、(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,k)holdonx1=-20.12k=-1x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)plot(x1,x2,k)x1=-50.15k=1x2=x1./(0.2*(1-x1.*x1)-k)第八章 非线性控制系统分析 plot(x1,x2,k)hnd=line(0,0,-5,10)set(hnd,color,black)hnd=line(-5,5,0,0)set(hnd,color,black)axis(-5,5,-5,5)t,x=ode45(figure-8-7,0,12,1.50.5)hnd=plot(x(,1),x(,2),k)
26、set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure-8-7,0,12,1.62)hnd=plot(x(,1),x(,2),k)set(hnd,linewidth,1.5)第八章 非线性控制系统分析 functionxdot=figure-8-7(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=0.2*x(2)*(1-x(1)2)-x(1)xdot(1)=x(2)第八章 非线性控制系统分析 8.2.2 奇点和极限环奇点和极限环前已提到,同时满足x=0和f(x,x)=0的点称为奇点。由定义可知,奇点一定位于相平面的横轴上,在奇点处,系统的速度和加速度(x=-f(x
27、,x)均为0。对于二阶系统来说,系统不再发生运动,处于平衡状态,故奇点亦称为平衡点。首先研究线性系统的奇点。二阶线性系统的系统方程为.(8.8)即则第八章 非线性控制系统分析 图8-8二阶线性系统的不同奇点第八章 非线性控制系统分析 图8-8二阶线性系统的不同奇点第八章 非线性控制系统分析 图8-8二阶线性系统的不同奇点第八章 非线性控制系统分析 当阻尼比01时,系统有一对负实部的共轭复根,系统稳定,其相轨迹呈螺旋线型,轨迹簇收敛于奇点,这种奇点称为稳定焦点。当阻尼比10时,系统有一对正实部的共轭复根,系统不稳定,其相轨迹也呈螺旋线型,但轨迹簇发散至无穷,这种奇点称为不稳定焦点。当阻尼比1时,
28、系统有两个负实根,系统稳定,相平面内的相轨迹簇无振荡地收敛于奇点,这种奇点称为稳定节点。当阻尼比1时,系统有两个正实根,系统不稳定,相平面内的相轨迹簇直接从奇点发散出来,这种奇点称为不稳定节点。当阻尼比0时,系统有一对共轭虚根,系统等幅振荡,其相轨迹为一簇围绕奇点的封闭曲线,这种奇点称为中心点。第八章 非线性控制系统分析 如果二阶线性系统的项和x项异号,即则系统有一个正实根,有一个负实根,系统是不稳定的,其相轨迹呈鞍形,中心是奇点,这种奇点称为鞍点。第八章 非线性控制系统分析 综上所述,对应不同的阻尼比,系统的两个特征根在复平面上的分布也不同,系统的运动以及相平面图也不同,换言之,特征根在复平
29、面的位置决定了奇点的性质。二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质,由系统本身的结构与参量决定,而与初始状态无关。不同的初始状态只能在相平面上形成一组几何形状相似的相轨迹,而不能改变相轨迹的性质。由于相轨迹的性质与系统的初始状态无关,相平面中局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义,从局部范围内相轨迹的性质可以推知全局。第八章 非线性控制系统分析 在非线性系统中,稳定性分析是针对奇点而言的,在分析中特别关心的是奇点的稳定性和奇点附近的运动,相平面法的任务之一就是分析奇点附近运动的特性。对于非线性系统,可以用小范围线性化方法求出其在平衡点附近的线性化方程,然后再去分析系统的相轨迹和奇点的情况。设原点是平衡点
30、,即f(0,0)0,则原点也是奇点。又设f(x,x)在原点附近是x和x的解析函数,则可以在原点附近展成泰勒级数:.其中，g(x,x)是不低于二阶的各项。注意到在原点附近x和x都很小,因此可以略去g(x,x)。代入式(8.4),得.它对应于二阶线性微分方程式(8.8)。第八章 非线性控制系统分析 另外,对于线性系统来说,奇点的类别完全确定了系统运动的性质。而对于非线性系统来说,奇点的类别只能确定系统在平衡状态附近的行为,而不能确定整个相平面上的运动状态。所以还要研究离平衡状态较远处的相平面图。其中极限环具有特别重要的意义。相平面上如果存在一条孤立的相轨迹,而且它附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离
31、开这条封闭的相轨迹,则这条封闭相轨迹为极限环。极限环本身作为一条相轨迹来说,既不存在平衡点,也不趋向无穷远,而是一个封闭的环圈,它把相平面分隔成内部平面和外部平面两个部分。任何一条相轨迹都不能从内部平面穿过极限环而进入外部平面,也不能从外部平面穿过极限环而进入内部平面。第八章 非线性控制系统分析 根据极限环邻近相轨迹的运动特点,可将极限环分为三种类型:(1)稳定的极限环。如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹最终均卷向极限环,则该极限环称为稳定的极限环,其内部及外部的相轨迹均为极限环的稳定区域。稳定的极限环对状态微小的扰动具有稳定性。系统沿极限环的运动表现为自持振荡。例8-4系统的相轨迹
32、就是稳定的极限环。第八章 非线性控制系统分析(2)不稳定的极限环。如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹最终均卷离极限环,则该极限环称为不稳定极限环。不稳定的极限所表示的周期运动是不稳定的。因为即使系统状态沿极限环运动,但状态的微小扰动都将使系统的运动偏离该闭合曲线,并将永远回不到闭合曲线。不稳定极限环的邻近范围其内部及外部均为该极限环的不稳定区域。第八章 非线性控制系统分析(3)半稳定的极限环。如果起始于极限环邻近范围的内部相轨迹均卷向极限环,外部相轨迹均卷离极限环;或者内部相轨迹均卷离极限环,外部相轨迹均卷向极限环,则这种极限环称为半稳定极限环。对于半稳定极限环,相轨迹均卷向极限环的
33、内部或外部邻域称为该极限环的稳定区域,相轨迹均卷离极限环的内部或外部邻域称为该极限环的不稳定区域。同样，半稳定极限环仪表的等幅振荡也是一种不稳定的运动。因为即使系统状态沿极限环运动,但状态的微小扰动都将使系统的运动偏离该闭合曲线,并将永远回不到闭合曲线。第八章 非线性控制系统分析 例例 8-5已知非线性系统的微分方程为试求系统的奇点,并绘制系统的相平面图。解解系统方程可以改写为令dx/dx=0,求得系统的两个奇点(0,0),(-2,0)。.在(0,0)点附近,因为|x|和|x|很小,系统的微分方程可以近似为.特征根为0.25j1.39,故奇点(0,0)为稳定焦点。第八章 非线性控制系统分析 在
34、(-2,0)点附近,令x*=x+2,则系统方程为因为|x*|和|x*|很小,所以系统可以近似为.特征根为1.19和1.69,故奇点(-2,0)为鞍点。第八章 非线性控制系统分析 图8-9非线性系统的相平面图第八章 非线性控制系统分析 用MATLAB绘制图8-9的参考程序如下：t,x=ode45(figure_8_9,0,1.5,46)hnd=plot(x(,1),x(,2),k)set(hnd,linewidth,1.5)holdont,x=ode45(figure_8_9,0,1.8,36)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=o
35、de45(figure_8_9,0,2.3,26)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,6,-3.66)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,40,-34)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,40,-32)第八章 非线性控制系统分析 hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,
36、linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,3.9,-3.954)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,1.0,-4.53)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)t,x=ode45(figure_8_9,0,0.7,-66)hnd=plot(x(,1),x(,2),k);set(hnd,linewidth,1.5)hnd=line(0,0,-10,6);set(hnd,color,black)hnd=line(-
37、8,6,0,0);set(hnd,color,black)functionxdot=figure_8_9(t,x)xdot=zeros(2,1);xdot(2)=-0.5*x(2)-2*x(1)-x(1)2xdot(1)=x(2)第八章 非线性控制系统分析 8.2.3 从相轨迹求时间信息从相轨迹求时间信息相轨迹是消去时间后画出的,尽管它直观地给出了系统状态的运动轨迹,但却将时间信息隐含其中,使时间信息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与时间有关的性能指标,这就需通过相轨迹求出时间信息。我们可通过以下方法求出时间信息。因为x=dx/dt,所以.(8.9)通过积分可得(8.10)第八章
38、 非线性控制系统分析 当然,对于无解析解的情况,式(8.9)也可以通过选取合理的增量,变成下式求出时间:(8.11)式中,为对应x范围内的x平均值。.第八章 非线性控制系统分析 8.2.4 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 例例 8-6机械系统中的库仑摩擦力。对于如图8-10所示的机械系统,分析其运动特性,其中物体m受到弹簧力和库仑摩擦力。解解系统可表示为即第八章 非线性控制系统分析 积分并整理得其中,C为积分常数。第八章 非线性控制系统分析 图8-10机械系统第八章 非线性控制系统分析 由此可见,当x0时,系统相轨迹是中心在(-F/k,0)的一簇椭圆;而当x0时,其相轨迹是中心在
39、(F/k,0)的一簇椭圆(见图8-11)。由图可见,当物体沿相轨迹运动到x轴的(-F/k,0)和(F/k,0)之间时将停止运动,这是库仑摩擦力造成的运动死区。x轴从(-F/k,0)到(F/k,0)的部分为奇点。若初始点为A点,则相轨迹为ABC,终止于C点。.第八章 非线性控制系统分析 图8-11机械系统的相轨迹第八章 非线性控制系统分析 许多与信号有关的非线性控制系统由分区线性系统构成。所以对这类非线性系统可以按照非线性特性将相平面划分为几个区域,每个区域对应一个线性系统。分析每一个线性系统奇点的性质,并结合某种作图方法就可以绘制出该区域内的相轨迹。线性系统的奇点如果在线性系统对应的区域内,就
40、称为实奇点,否则称为虚奇点。因为虚奇点对应的运动方程不适用于该虚奇点所在的区域,所以即使虚奇点是稳定的,运动也无法到达该虚奇点。第八章 非线性控制系统分析 例例 8-7分段线性的角度随动系统。图8-12(a)所示的是某角度随动系统的方块图,其中执行电机近似为一阶惯性环节,增益K1(e)是随信号大小变化的,大信号时的增益为1,小信号时的增益为k(k1),其特性如图8-12(b)所示。分析输入为阶跃信号和斜坡信号时的系统运动情况。解解线性部分的系统方程为由图8-12(a)可得第八章 非线性控制系统分析 所以微分方程为由图8-12(b)可得非线性特性的表达式为由于e和m的关系分为3个线性段,在|e|
41、e0时斜率均为1,在|e|e0时斜率均为k1,所以尽管在相平面上有3个区域(记为,和),但系统只有两个不同的微分方程。假设系统原来处于静止状态,便可令。第八章 非线性控制系统分析 图8-12分段线性的角度随动系统第八章 非线性控制系统分析(1)阶跃输入r(t)1(t)的情形。由于,故有(区域和)(区域)(8.12)(8.13)奇点为e=0,e=0,即原点。所以对区域,它是实奇点;对区域和,它是虚奇点。通过选K和T值,使14kKT0,且使14KT0。不妨设T1,K4,k0.062,e00.2。输入较大时,如|e|e0,运动方程为式(8.12),14KT0,为欠阻尼,所以原点是稳定焦点;输入较小时
42、,如|e|e0,运动方程为式(8.13),14kKT0,为过阻尼,故原点是稳定节点。其相轨迹如图8-13所示。.第八章 非线性控制系统分析 图8-13系统在阶跃输入下的相轨迹第八章 非线性控制系统分析 由A点出发的运动以原点为稳定焦点,但到达边界的B点后,原点又变成了稳定节点。CD段的运动方程又变为式(8.12)。如此每经过边界时,都改变运动的性质,只有最后进入区域,沿DO段渐近收敛到原点。在这种情况下,调节过程可以加快。因为误差信号较大时,系统为欠阻尼,运动速度较快,所以使误差很快变小;而误差变小后,系统为过阻尼,可以避免振荡。第八章 非线性控制系统分析(2)斜坡输入r(t)RVt的情形。由
43、于r=V,r=0,故有.(区域和)(区域)(8.14)(8.15)在区域,奇点为e=V/(kK),e=0,记P2V/(kK)。在区域和,奇点为e=V/(K),e=0,记P1V/(K)。显然,P2P1。参数设置同上,则14kKT0,且14KT0。则e轴上的P2点是稳定节点,P1点是稳定焦点。但它们的位置将与参数设定有关。下面分3种情况讨论：.第八章 非线性控制系统分析 VkKe0。这时P2V/(kK)e0,所以是实奇点;P1V/(K)ke0e0,所以是虚奇点。设r(t)0.30.04t,则又V0.04,所以P2V/(kK)0.16,P1V/(K)0.01。其相轨迹如图8-14所示。运动在到达边界
44、进入区域后改变性质,P2代表稳定的实节点,所以运动收敛到P2,因此稳态误差ess=P2。第八章 非线性控制系统分析 图8-14系统在斜坡输入下的相轨迹第八章 非线性控制系统分析 kKe0VKe0。这时P2V/(kK)e0,所以是虚奇点;P1V/(K)e0,也是虚奇点。设r(t)0.4t,则又V0.4,所以P2V/(kK)1.6,P1V/(K)0.1。其相轨迹如图8-15所示。因为两个奇点都是虚奇点,运动无法收敛到任何奇点,每到达边界便改变运动方程,最后将终止在边界处,因此稳态误差ess=e0。第八章 非线性控制系统分析 图8-15系统在斜坡输入下的相轨迹第八章 非线性控制系统分析 VKe0。这
45、时P2V/(kK)V/Ke0是虚奇点;P1V/(K)e0是实奇点。设r(t)1.2t,则e(0)=r(0)-c(0)=0,e(0)=r(0)-c(0)=1.2又V1.2,所以P2V/(kK)4.8,P1V/(K)0.3。其相轨迹如图8-16所示。初始点A在区域内,所以系统遵循式(8.15)向P2稳定节点运动,而一旦运动到边界,进入区域后,系统便遵循式(8.14)向P1稳定焦点运动,如此在e0=0.2线两边穿越,直至收敛到PP1点,因此稳态误差ess=P1。.第八章 非线性控制系统分析 图8-16系统在斜坡输入下的相轨迹第八章 非线性控制系统分析 8.3 描描 述述 函函 数数 法法 8.3.1
46、 定义定义对于线性系统,当输入是正弦信号时,输出稳定后是相同频率的正弦信号,其幅值和相位随着频率的变化而变化,这就是利用频率特性分析系统的频域法的基础。对于非线性系统,当输入是正弦信号时,输出稳定后通常不是正弦的,而是与输入同频率的周期非正弦信号,它可以分解成一系列正弦波的叠加,其基波频率与输入正弦信号的频率相同。设非线性环节的正弦输入为x(t)=Xsint,则输出为(8.16)第八章 非线性控制系统分析 式中,(8.17)(8.18)令式(8.17)(8.20)中,n1,2,。第八章 非线性控制系统分析 由于系统通常具有低通滤波特性,其他谐波各项比基波小,所以可以用基波分量近似系统的输出。假
47、定非线性环节关于原点对称,则输出的直流分量等于零,即A00,则y(t)=A1cost+B1sint=Y1sin(t+1)(8.21)定义非线性环节的描述函数为非线性环节输出的基波与输入信号二者的复数符号的比值,即(8.22)式中,N为描述函数,X是正弦输入信号的幅值,Y1是输出信号基波的幅值,1为输出信号基波与输入信号的相位差。第八章 非线性控制系统分析 如果非线性环节中不包含储能机构(即非记忆),即N的特性可以用代数方程(而不是微分方程)描述,则y(t)与频率无关。描述函数只是输入信号幅值X的函数,即NN(X),而与无关。第八章 非线性控制系统分析 8.3.2 典型非线性环节的描述函数典型非
48、线性环节的描述函数 1.饱和特性饱和特性若非线性环节具有饱和特性(如图8-17(a)所示),则x(t)=Xsint当输入为正弦信号时,其输出波形如图8-17(b)所示。根据输出波形,饱和非线性环节的输出由下式表示:(t)(t-)(-t)第八章 非线性控制系统分析 由式(8.17)和式(8.18)可求得第八章 非线性控制系统分析 因代入上式有则(8.24)第八章 非线性控制系统分析 当输入X幅值较小,不超出线性区时,该环节是个比例系数为k的比例环节,所以饱和特性的描述函数为(Xa)(Xa)由此可见,饱和特性的描述函数N与频率无关,它仅仅是输入信号振幅的函数。第八章 非线性控制系统分析 图8-17
49、饱和特性及其正弦响应第八章 非线性控制系统分析 2.死区特性死区特性死区非线性环节的正弦输入时的输入输出关系如图8-18所示。输出的时间函数表示为(t)(t-)(-t)(8.26)第八章 非线性控制系统分析 图8-18死区特性及其正弦响应第八章 非线性控制系统分析 同样,根据式(8.17)和式(8.18)可求得因代入上式有第八章 非线性控制系统分析 则第八章 非线性控制系统分析 当输入X幅值小于死区a时,输出为零,因而描述函数N也为零,故死区特性描述函数为(Xa)(Xa)可见,死区特性的描述函数N也与频率无关,只是输入信号振幅的函数。第八章 非线性控制系统分析 3.继电器特性继电器特性 图8-
50、19继电器特性及其正弦响应第八章 非线性控制系统分析 输出的时间函数表示为(t)(t-)(-t)(8.28)因a=Xsin,ma=X sin,且Xa。根据式(8.17)和式(8.18)可求得第八章 非线性控制系统分析 因此,继电器特性的描述函数为(8.29)取a0,得理想继电器特性的描述函数为(8.30)第八章 非线性控制系统分析 取m1,得死区继电器特性的描述函数为取m1,得滞环继电器特性的描述函数为(8.32)第八章 非线性控制系统分析 4.间隙特性间隙特性 对于如图8-20所示的间隙特性,其输出的时间函数表示为(t/2)(/2t-)(-t)式中,=arcsin(1-2a/X)。第八章 非