自动控制原理第4章.ppt

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1、自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法自动控制原理第4章 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life, there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法4.1 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数：是指系统开环传递函数中某个参数( (如开环增益如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征从零变到无穷时，闭环特征根在根在s平面上移动所画出的轨迹。平面上移动所画出的轨

2、迹。常规根轨迹常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时：当变化的参数为开环增益时所对应的根轨迹。所对应的根轨迹。广义根轨迹广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函：当变化的参数为开环传递函数中其它参数时所对应的根轨迹。数中其它参数时所对应的根轨迹。一、根轨迹的定义一、根轨迹的定义自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(0.51)KssR(s)C(s)-系统的传递函数系统的传递函数( )(0.51)KG sss 其闭环传递函数其闭环传递函数2( )( )( )(0.51)0.5C sKKsR sssKssK则闭环特征方程为则闭环特征方程为20.50ssK自动控制原理

3、自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法解之，得闭环特征根表达式为解之，得闭环特征根表达式为K00.51.02.5+ s10-1-1 + j1 -1 + j2-1 + j s2-2-1-1 - j1-1 - j2-1 - j 12112112sKsK 取取K为不同值代入为不同值代入s1,2表达式，得表达式，得自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法j12-1-2K=0K=0.5K=0K=1K=1K=2.5K=2.5K K -1-2自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法二、根轨迹与系统的性能二、根轨

4、迹与系统的性能j12-1-2K=0K=0.5K=0K=1K=1K=2.5K=2.5K K -1-2稳定性稳定性：只要：只要K0，则根轨迹在则根轨迹在s平面的左平面的左半平面，因此，系统半平面，因此，系统是稳定的。是稳定的。稳态性能稳态性能：有一个开：有一个开环极点在坐标原点处，环极点在坐标原点处，所以该系统是所以该系统是I型系统，型系统，则则K为静态速度误差系为静态速度误差系数。数。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法动态性能：动态性能：当当0K0.5时，系统具有一对共轭复数极点，时，系统具有一对共轭复数极点，处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼处于欠

5、阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼的振荡过程。的振荡过程。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法三、根轨迹方程三、根轨迹方程1. 开、闭环传递函数的零、极点表达式开、闭环传递函数的零、极点表达式( )G sR(s)( )H sC(s)-控制系统的结构图控制系统的结构图( )( )1( )( )G ssG s H s 其闭环传递函数其闭环传递函数式中式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。为系统的开环传递函数。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法将开环传递函数用其分子、分母多项式方程将开环传递函数用其分子、分母多项式方

6、程根的因式来表示，得根的因式来表示，得开环传递函数开环传递函数*11()( )( )()()mjjniiKszG s H smnsp pi 为分母多项式方程的根，称作开环传递函为分母多项式方程的根，称作开环传递函数的数的极点极点。zj 为分子多项式方程的根，称作开环传递函为分子多项式方程的根，称作开环传递函数的数的零点零点。K* 称作称作根轨迹增益根轨迹增益。开环传递开环传递函数的零函数的零、极点表、极点表达式达式自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法闭环传递函数闭环传递函数1*11*11( )()( )()()()()()niinmijijljjniiG

7、 sspsspKszKszlnss 式中：式中：si 为闭环传递为闭环传递函数的极点，函数的极点，亦即闭环特征亦即闭环特征根。根。z j 闭环传递函闭环传递函数的零点。数的零点。K* 称作闭环根称作闭环根轨迹增益。轨迹增益。闭环传递函数的闭环传递函数的零、极点表达式零、极点表达式自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法2. 根轨迹方程根轨迹方程根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系统的特征方程为统的特征方程为 1+G(s)H(s) = 0G(s)H(s) = -1或写成或写成*11()1()mjjniiKszsp 上式就是上

8、式就是根轨迹方程根轨迹方程。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法模值方程：模值方程：*111mjjniissKzp 相角方程：相角方程：11()()(21)(0, 1, 2,)mnjijispszkk自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法看出：模值方程与看出：模值方程与K*有关，而相角方程有关，而相角方程与与K*无关。因此，相角方程是决定闭环无关。因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程是根轨迹的充分必要条件，而模值方程是用来确定根轨迹上各点对应的用来确定根轨迹上各点对应的K*值。值。自动控制原理自动

9、控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法4.2 绘制根轨迹图的基本法则绘制根轨迹图的基本法则法则法则1 1 根轨迹的根轨迹的分支数分支数： n 阶系统根轨迹有阶系统根轨迹有 n 条分支。条分支。法则法则2 2 根轨迹的根轨迹的对称性对称性： 根轨迹是关于实轴对称的。根轨迹是关于实轴对称的。法则法则3 3 根轨迹的根轨迹的起点、终点起点、终点： 根轨迹起于开环极点根轨迹起于开环极点 pi， 终止于开环零点终止于开环零点 zj (m条条)， 或趋于无穷或趋于无穷远点远点(n-m条条)。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法证明：证明： 由根

10、轨迹方程，得由根轨迹方程，得*()()111mjjniiszKsp 令令K* =0，得得*()()111mjjniiszKsp 故故()(, , )101 2niiispspin 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法令令 ，得，得*K *()()()(, ,)1111001 2mjjnKiimjjjszKspszszjm 当当 ，设，设 ， 则则*K s *()limlimlimlim()11110mjmjnnn msssKiiszsssKsp 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则法则4 4 根轨迹在根轨迹在实

11、轴实轴上的分布：上的分布： 实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与开环极点数目之和为奇数。相反，如果右开环极点数目之和为奇数。相反，如果右侧侧(实实)零点与零点与(实实)极点数目之和为偶数，则极点数目之和为偶数，则试探点试探点 si 所在区段不属于根轨迹。所在区段不属于根轨迹。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法证明：根据相角方程证明：根据相角方程()()()1121 mnjijizpsksj01p2p3p4p1z2z3zs自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则法则5 5 根轨迹的根轨迹

12、的渐近线渐近线： 当当 nm 时，将有时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为角为 ，与实轴交点坐标为，与实轴交点坐标为 。a a ()(,)a21012kknm a11nmijijpznm 开开环环极极点点值值开开环环零零点点值值有有限限极极点点数数有有限限零零点点数数自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法常见常见 n-m1,2,3,4时渐近线的图像时渐近线的图像:j0j0j0j01801n m2n m9090606045451351351803n m4n m自动控

13、制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法观察发现：渐近线条数为观察发现：渐近线条数为(n-m)条，而这些条，而这些渐近线将渐近线将s平面以平面以 为中心进行等分，几为中心进行等分，几个渐近线之间的夹角为个渐近线之间的夹角为 ，这样，这样只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就很容易求出其它渐近线的位置。很容易求出其它渐近线的位置。a ()360nm 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则法则6 6 根轨迹的根轨迹的分离点分离点( (或会合点或会合点) )坐标坐标sd ： 两条或两条以上根轨迹

14、在两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后平面上相遇后又立即分开的点，称为又立即分开的点，称为分离点分离点。分离点满足方程：分离点满足方程：11dd1d1110 ()nmijijniispszsp 无无开开环环零零点点自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法 根轨迹起始于开环极点，而终于开环根轨迹起始于开环极点，而终于开环零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于实轴上两相邻开环零点之间实轴

15、上两相邻开环零点之间( (或其中一个零或其中一个零点是无穷远零点点是无穷远零点) )，则两零点之间也至少存，则两零点之间也至少存在一个分离点。在一个分离点。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法 首先判断是否有分离点，然后确定分离首先判断是否有分离点，然后确定分离点可能处的大概位置：点可能处的大概位置：实轴上实轴上以共轭形式出现在复平面上以共轭形式出现在复平面上 一般是指位于实轴上的两条根轨迹的分一般是指位于实轴上的两条根轨迹的分离点。离点。注意：开环零、极点位置的变化影响根轨注意：开环零、极点位置的变化影响根轨迹的形状，要仔细把握。属于根轨迹区段迹的形状

16、，要仔细把握。属于根轨迹区段上的点，才是分离点，否则舍掉。上的点，才是分离点，否则舍掉。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法证明：系统的闭环特征方程证明：系统的闭环特征方程*11( )()()0nmijijD sspKsz根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重根。因此，根。因此，*11*11()()0d()()0dnmijijnmijijspKszspKszs自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法将上面两式相除，整理得将上面两式相除，整理得11dd11nmijijspsz 自动控制原

17、理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则法则7 7 根轨迹的根轨迹的分离角分离角(与与会合角会合角)： 分离角分离角是指根轨迹离开分离点处的切线是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。与实轴正方向的夹角。 会合角会合角是指根轨迹进入会合点处的切线是指根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角。与实轴正方向的夹角。实轴上分离点的分离角为实轴上分离点的分离角为 ；实轴上会合点的会合角为实轴上会合点的会合角为 。900 180 或或 、0 18090 、或或自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法分离角计算公式：分离角计算公式

18、：ddd111(21)()()mnjiji lkszssl 式中，式中，sd分离点坐标分离点坐标 zj原系统的开环零点原系统的开环零点 siK=Kd时除时除l个重极点外，其它个重极点外，其它(n-l)个原系统的闭环极点，即新系统的开环极点个原系统的闭环极点，即新系统的开环极点 l 分离点处根轨迹的分支数分离点处根轨迹的分支数自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法会合角计算公式：会合角计算公式：ddd111(21)()()nniiii lkspssl 式中，式中，sd分离点坐标分离点坐标 pi原系统的开环极点原系统的开环极点 si新系统新系统 时除时除l个重

19、极点外，个重极点外，其它其它(n-l)个开环极点个开环极点(原系统的闭环极点原系统的闭环极点) l 分离点处根轨迹的分支数分离点处根轨迹的分支数d11KK 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法 一般情况下，两条根轨迹相遇又分开一般情况下，两条根轨迹相遇又分开时，它们的会合角和分离角分别是时，它们的会合角和分离角分别是、180和和90、-90，或者相反。这一规律具，或者相反。这一规律具有一般性。可以证明：有一般性。可以证明：(1) 若分离角若分离角 ，则会合角，则会合角(2) 若分离角若分离角 ，则会合角，则会合角d1(21)kld12 kl d12 kl

20、 d1(21)kl 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则：若有法则：若有l条根轨迹进入条根轨迹进入sd点，必有点，必有l条条根轨迹离开根轨迹离开sd点；点；l条进入条进入sd点的根轨迹与点的根轨迹与l条离开条离开sd点的根轨迹相间隔；任一条进点的根轨迹相间隔；任一条进入入sd点的根轨迹与相邻的离开点的根轨迹与相邻的离开sd点的根轨点的根轨迹方向之间的夹角为迹方向之间的夹角为 /l 。因此只要确定因此只要确定sd点的附近一条根轨迹方向，由上述规律点的附近一条根轨迹方向，由上述规律就可以方便地确定就可以方便地确定sd点附近所有的根轨迹点附近所有的根轨迹的

21、方向。的方向。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则法则8 8 根轨迹的根轨迹的起始角起始角与与终止角终止角： 起始角起始角是指根轨迹在起点处的切线与实是指根轨迹在起点处的切线与实轴正方向的夹角。轴正方向的夹角。 终止角终止角是指根轨迹进入开环零点处的切是指根轨迹进入开环零点处的切线与实轴正方向的夹角。线与实轴正方向的夹角。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法起始角的计算公式：起始角的计算公式：终止角的计算公式：终止角的计算公式：11(21)()()kmnpkjkijikkpzpp 11(21)()()kmnzk

22、jkijikkzzzp 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则法则9 9 根轨迹与虚轴根轨迹与虚轴交点交点及及临界根轨迹增临界根轨迹增益益 根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点根轨迹与虚轴相交，意味着闭环极点中有一对共轭虚根。因此，将中有一对共轭虚根。因此，将 s=j 代入特代入特征方程中就可求得征方程中就可求得 和和K*，即根轨迹与虚即根轨迹与虚轴交点的坐标及交点所对应的临界根轨迹轴交点的坐标及交点所对应

23、的临界根轨迹增益增益Kcr。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法将将 s=j 代入特征方程中，得代入特征方程中，得 1G(j )H(j ) = 0令令由上面的方程组，就可求得由上面的方程组，就可求得 和和K* 。 Re 1(j)(j)0Im 1(j)(j)0GHGH 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法法则法则1010 闭环极点闭环极点(根根)的的和和与与积积设系统的闭环特征方程可写成设系统的闭环特征方程可写成11100nnnsasa sa 并设它的并设它的n个根为个根为12,ns ss则根据代数方程的根与系数的关

24、系可知，有则根据代数方程的根与系数的关系可知，有1101()nininiisasa 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法把系统的传递函数写成把系统的传递函数写成*12012111*111()()()( )()()()()()mnmmmmjjjjnnnniiiiszszszG sKspspspsz szKsp sp 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法如果开环零、极点的数目满足如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则则闭环特征方程为闭环特征方程为1*111()()0nnmnniijijisp spKz 当当m = 0

25、，即没有开环零点时，上式左端最即没有开环零点时，上式左端最后一项应为后一项应为*1()niipK 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法11nniiiisp 由此得到，系统闭环极点之和为由此得到，系统闭环极点之和为即即 闭环极点之和等于开环极点之和闭环极点之和等于开环极点之和。系统闭环极点之积为系统闭环极点之积为*111()()()nnmiijiijspKz或或*111( 1)nnmn miijiijspKz 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法教材教材P126例例4-2 单位负反馈系统的开环传单位负反馈系统的开环传

26、递函数为递函数为*(1.5)(2j)(2j)( )(2.5)(0.5j1.5)(0.5j1.5)KsssG ss sss 试绘出试绘出K*由由0变动的根轨迹。变动的根轨迹。解：解：(1) 系统开环极点：系统开环极点： p1=0, p2,3=-0.5 j1, p4=-2.5系统开环零点：系统开环零点：z1=-1.5, z2,3=-2 j(2) 实轴上实轴上(-1.5, 0)，(- , -2.5)为根轨迹段。为根轨迹段。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(3) 渐近线：由渐近线：由n-m=1可知，有一条根轨迹可知，有一条根轨迹趋于无穷远处。趋于无穷远处。(

27、4) 起始角与终止角：起始角与终止角：23422112(21)()()(21)56.51959108.5903779pjijiikpzppk 同理，开环极点同理，开环极点p3处的起始角：处的起始角：379p 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法23422112(21)()()(21)1179015319912163.5149.5zjijijkzzzpk 开环零点开环零点z2处的终止角：处的终止角：同理，开环零点同理，开环零点z3处的终止角：处的终止角：3149.5z 自动控制原理

28、自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法例例 负反馈系统的开环传递函数负反馈系统的开环传递函数试作试作K( (由由0 0) )变动的系统闭环根轨迹。变动的系统闭环根轨迹。( )( )(1)(0.51)KG s H ss ss 解：解：*2( )( )(1)(0.51)(1)(2)(1)(2)KKG s H ss sss ssKs ss 开环极点：开环极点：p1=0，p2= -1，p3= -2 无开环零点。无开环零点。自动

29、控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法j12-1-2-1-2Op2p1p3*( )( )(1)(2)KG s H ss ss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(2) n = 3 ，根轨迹有根轨迹有3条分支；条分支；(3) K = 0时时 ，根轨迹起始于，根轨迹起始于p1 ， p2 ， p3 K 时，皆趋于无穷远处；时，皆趋于无穷远处；(4) 实轴上的根轨迹区段：实轴上的根轨迹区段： (-1, 0)，(- , -2)j12-1-2-1-2Op1p2p3自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法

30、根轨迹法j12-1-2-1-2Op1p2p3(5) 渐近线渐近线： a11a(21)(21)30/ 3,0( 1)( 2)130nmijijkknmpznm 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(6) 分离点分离点sd： 由公式由公式11dd11nmijijspsz j12-1-2-1-2Osdp1p2p3111012dddsss解之，得解之，得 sd = -0.42, sd = -1.58 (舍掉舍掉)自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(7) 分离角：分离角： j12-1-2-1-2Osdp1p2p3d/ 2

31、自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(8) 根轨迹与虚轴交点坐标即临界增益：根轨迹与虚轴交点坐标即临界增益：令令 s = j ，代入特征方程代入特征方程将实部和虚部分别写成方程式将实部和虚部分别写成方程式32*320sssK32*2*3(j)3(j)2(j)0( 3)j(2 )0KK2*33020K 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法解之，得解之，得j12-1-2-1-2Osd22 p1p2p3*0,20, 6K 所以，与虚轴交点所以，与虚轴交点坐标为坐标为临界增益临界增益1,2j 2s 3K 自动控制原理自动控

32、制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-1-2-3-412j0-1-2自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法解：解： 开环极点：开环极点：p1= 0，p2= -3，p3,4= -1 j 无开环零点无开环零点;(3) K = 0时时 ，根轨迹起始于，根轨迹起始于p1 ， p2 ， p3,4 K 时，皆趋于无穷远处；时，皆趋于无穷远处；(2) n = 4 ，根轨迹有根轨迹有4条分支；条分支；例例 已知系统的开环传递函数已知系统的开环传递函数试绘制试绘制 K 从从 0 变化时闭环的根轨迹图。变化时闭环的根轨迹图。2( )(3)(21)KG

33、ss sss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法j1-1-1-2O-3p1p2p3p4自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(4) 实轴上的根轨迹区段：实轴上的根轨迹区段： (-3, 0)1-1-1-2O-3p2p1p3p4j自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(5) 渐近线：渐近线： a11a(21)(21)/ 4,3/ 4400( 3)( 1j)( 1j)401.25nmijijkknmpznm 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法

34、1-1-1-2O-3-1.25p2p3p1p4j自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(6) 分离点坐标分离点坐标sd： 解之，得解之，得 sd = -2.2886 sd = -0.7307 j 0.3486 (舍掉舍掉)由公式由公式11dd11nmijijspsz dddd1111031j1jssss 32ddd4151660sss自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-1-1-2O-3-1.25-2.3sdp2p3p4p1j自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(7) 分离角

35、：分离角： d/ 2 1-1-1-2O-3-1.25-2.3sdp2p3p4p1j自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(8) 起始角：起始角： 11(21)()()kmnpkjkijikkpzpp 3313234180()()()18013526.69071.6ppppppp 471.6p 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-1-1-2O-3-1.25-2.3sd71.6 71.6 jp2p3p4p1自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(9) 根轨迹与虚轴交点坐标及临界增

36、益：根轨迹与虚轴交点坐标及临界增益：令令 s = j ，代入特征方程代入特征方程将实部和虚部分别写成方程式将实部和虚部分别写成方程式解之，得解之，得2*(3)(22)0s sssK2423(j)(j3) (j)2(j)20(8)j( 56 )0KK42380560K 0,1.0950, 8.16K 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法所以，与虚轴所以，与虚轴交点坐标为交点坐标为临界增益临界增益1,2j1.1s 8.16K 1-1-1-2O-3-1.25-2.3sd71.6 71.6 jp2p1p3p41.1-1.1自动控制原理自动控制原理 第四章第四章

37、复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法12-1-2-3-4123-1-2-3j 0 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(10) 求求K= 8.16时所对应的另外两个闭环根：时所对应的另外两个闭环根：利用根之和与根之积的关系式，得到利用根之和与根之积的关系式，得到12341 2 3 4031158.16sssss s s sK 已知已知 s1,2 = j1.095那么那么 s3,4 = -2.5 j0.742自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法例例 已知系统的结构图已知系统的结构图试证明试证明 K 从从 0 变化时的

38、闭环根轨迹其变化时的闭环根轨迹其复数部分为圆，并求圆的半径和圆心。复数部分为圆，并求圆的半径和圆心。()()K sbs sa R(s)C(s)-(0)ba 开环极点：开环极点：p1= 0，p2= -a 开环零点：开环零点：z1 = -b解：解：自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法j-a-b1p2p1zO(2) n = 2 ，根轨迹有根轨迹有2条分支；条分支；自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(3) K = 0时时 ，根轨迹起始于，根轨迹起始于p1 ， p2 K 时，根轨迹一条终止于时，根轨迹一条终止于z1 ，另一

39、另一条趋于无穷远处；条趋于无穷远处；(4) 实轴上的根轨迹区段：实轴上的根轨迹区段： (-a, 0)，(- , -b)j-a-b1p2p1zO自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法(5) 渐近线：渐近线： 因为因为 n m = 1 所以所以 a180 (6) 分离点坐标分离点坐标sd： 由公式由公式11dd11nmijijspsz ddd111ssasb2dd20sbsab所以所以22d244()2bbabsbbabba自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法求得两个分离点坐标分别为求得两个分离点坐标分别为 2d12d2

40、sbbabsbbab j-a-b1p2p1zO自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法证明：两分离点之间的根轨迹为圆证明：两分离点之间的根轨迹为圆 由于根轨迹上任一点都满足闭环特征方由于根轨迹上任一点都满足闭环特征方程，设根轨迹复数部分任一点程，设根轨迹复数部分任一点 s = + j ，代入特征方程中代入特征方程中22()0(j)()(j)0saK sKbaKKb展开，整理，令展开，整理，令Re0Im0 整理得到，整理得到，22()02KbaKa 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法显然这是以显然这是以 , 为变量的圆

41、的方程，其圆为变量的圆的方程，其圆心坐标为心坐标为(-b，0)，半径为半径为2rbab 将将K代入整理，得到代入整理，得到222()bbba自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法-a-b1p2p1zOrj自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法从例题中可以发现：由两个极点从例题中可以发现：由两个极点(实数极点实数极点或复数极点或复数极点)和一个有限零点组成的开环系和一个有限零点组成的开环系统，只要有限零点没有位于两个实数极点之统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当间，当K从零变到无穷时，闭环根轨迹的复从零变到无穷时

42、，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心到分离点的距数部分，是以有限零点为圆心到分离点的距离为半径的圆，或圆的一部分。这在数学上离为半径的圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。是可以严格证明的。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法开环零极点变化时的根轨迹开环零极点变化时的根轨迹根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。根轨迹的形状与开环零极点的分布密切相关。一、增加开环极点的影响一、增加开环极点的影响改变了根轨迹在实轴上的分布；改变了根轨迹在实轴上的分布；改变渐近线的条数，方向角及与实轴改变渐近线的条数，方向角及与实轴的交点；的交点；一般使根轨迹

43、向右偏移，不利于系统一般使根轨迹向右偏移，不利于系统的稳定性和动态特性。的稳定性和动态特性。自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法j-p1p2pOj-p1p2pO-pc3p例如：例如：0cc( )( )()()()()KKG sG spps sps sp sp自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法( )(2)KG ss s 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法4( )2)(KG ss ss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1( )2)(

44、KG ss ss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法( )(2)KG ss ss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法二、增加开环零点的影响二、增加开环零点的影响例如：例如： 增加开环零点可以使根轨迹左移，有利增加开环零点可以使根轨迹左移，有利于改善系统的稳定性和动态特性。于改善系统的稳定性和动态特性。022(1)( )( )(2)(2)KK sG sG sssss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法02( )(2)KG sss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复

45、域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-1-2-3j0123-1-2-32(1)( )(2)KG ssss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-1-2-3j0123-1-2-30.5 2(0.5)( )(2)KG ssss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-1-2-3-4-5-6-7-812j0-1-2-3(4)( )( )(2)(2)KKG sG ss sszs 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-1-2-3-4-5120-1-2j (3)( )( )(2)(2

46、)KKG sG ss sszs 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法1-2 -1 -1 0 j (1)( )( )(2)(2)KKG sG ss sszs 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法101101*11( )( )( )()()mmmnnnmjjniib sb sbC ssR sa sa saKszss 4.3 利用根轨迹分析系统的动态性能利用根轨迹分析系统的动态性能设设n 阶系统的闭环传递函数可写为阶系统的闭环传递函数可写为一、闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系一、闭环零极点分布与阶跃响应的定性关系自动控

47、制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法设输入为单位阶跃信号，设输入为单位阶跃信号，r(t)=1(t)，则则 R(s)=1/s代入上式得代入上式得如果如果 (s)无重极点无重极点,可将上式分解为部分分式可将上式分解为部分分式*11()1( )()mjjniiKszC ssss 01101( )nnnkkkAAAC ssssssAAsss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法式中式中*110110*1111()()(0)()()()()()()kmmjjjjnniiiismmjkjjjknnikiiii ki ks sKszK

48、zAsssKszKszAssssss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法经拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃经拉氏反变换，可以求出系统的单位阶跃响应响应看出：系统的阶跃响应将由闭环极点看出：系统的阶跃响应将由闭环极点sk及及系数系数Ak决定，而系数决定，而系数Ak也与闭环零、极点也与闭环零、极点分布有关。分布有关。1( )(0)ekns tkkc tAA 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法 一个控制系统总是希望它的输出量尽可一个控制系统总是希望它的输出量尽可能地复现给定的输入量，要求动态过程的快能地复现给定的输

49、入量，要求动态过程的快速性、平稳性要好一些。速性、平稳性要好一些。1. 要求系统稳定，则必须所有的闭环极点要求系统稳定，则必须所有的闭环极点si位于位于s平面的左半平面。平面的左半平面。2. 要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的要求系统快速性好，应使阶跃响应式中的每个分量每个分量eskt衰减得快，则闭环极点应远离虚衰减得快，则闭环极点应远离虚轴。要求平稳性好，则复数极点最好设置在轴。要求平稳性好，则复数极点最好设置在s平面中与负实轴成平面中与负实轴成 45夹角线的附近。夹角线的附近。二、主导极点与偶极子二、主导极点与偶极子自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨

50、迹法3. 要求动态过程尽快消失，要求系数要求动态过程尽快消失，要求系数Ak要小，要小， 因为因为Ak小，对应的暂态分量小。小，对应的暂态分量小。故应使分母大，分子小。从而看出：闭环极故应使分母大，分子小。从而看出：闭环极点之间的距离点之间的距离(sk-si)要大；零点要大；零点zi应靠近极点应靠近极点sk。*11()()mkjjknkiii kKszAsss 自动控制原理自动控制原理 第四章第四章 复域分析法根轨迹法复域分析法根轨迹法一阶系统一阶系统闭环特征方程为闭环特征方程为 Ts+1=0闭环特征根为实根，闭环特征根为实根，s1=-1/T，位于位于s平面的平面的左半平面。左半平面。系统的阶跃