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1、第九节第九节 常系数非齐次线性微分方程常系数非齐次线性微分方程一、一、型型二、二、型型三、小结三、小结二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系数法待定系数法.一、型设非齐方程特解为设非齐方程特解为代入原方程代入原方程综上讨论综上讨论注意注意 上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k是重根次数）是重根次数）.特别地特别地解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程通解为原方程通解为例例
2、1 1利用欧拉公式利用欧拉公式注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程.解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入上式代入上式所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取虚部）（取虚部）例例2 2解解对应齐方通解对应齐方通解作辅助方程作辅助方程代入辅助方程代入辅助方程例例3 3所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为原方程通解为原方程通解为（取实部）（取实部）注意注意例例4 4 一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉一链条悬挂在一钉子上，启动时一端离开钉子子8 8m m 另一端离开钉子另一端离开钉子1212m m，
3、分别在以下两种情况，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间：下求链条滑下来所需要的时间：（1 1）若不计钉子对链条所产生的摩擦力；）若不计钉子对链条所产生的摩擦力；（2 2）若摩擦力为）若摩擦力为1 1m m长的链条的重量长的链条的重量.解解 (1)(1)以钉子处为原点以钉子处为原点,s s 轴竖直向下，设在轴竖直向下，设在t t 时时刻，链条较长一段下垂刻，链条较长一段下垂s ms m，且设链条的密度均匀分，且设链条的密度均匀分布为布为 ，则向下拉链条下滑的作用力为，则向下拉链条下滑的作用力为方程的标准形式为方程的标准形式为特征方程及特征根为特征方程及特征根为代入初始条件得代入初始条件
4、得即即当当s s=20=20m m 时，链条全部滑下，需时时，链条全部滑下，需时同理可解得同理可解得例例5 设函数设函数 连续，且满足连续，且满足求求解解 对积分方程两边求导对积分方程两边求导再求导得再求导得初始条件为初始条件为特征方程和特征根为特征方程和特征根为由于自由项由于自由项不是特征根，故设不是特征根，故设解得解得 a a=1/2=1/2再代入初始条件可得再代入初始条件可得三、小结三、小结(待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解,取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部,得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）练练 习习 题题练习题答案练习题答案