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1、常系数非齐次线性方程解法第1页，共11页，编辑于2022年，星期六提示 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)exQ(x)+2Q(x)+2Q(x)expQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 下页Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex y*py*qy*第2页，共11页，编辑于2022年，星期六提示 此时2pq0 要使()式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则
2、 y*Qm(x)ex 下页一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 第3页，共11页，编辑于2022年，星期六提示 此时2pq0 但2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m1次多项式 Q(x)xQm(x)其中Qm(x)b0 xm b1xm1 bm1xbm (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xQm(x)ex 下页 (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x
3、)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 第4页，共11页，编辑于2022年，星期六提示 此时2pq0 2p0 要使()式成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x)其中Qm(x)b0 xmb1xm1 bm1xbm (3)如果是特征方程r2prq0的重根 则y*x2Qm(x)ex 下页 (2)如果是特征方程r2prq0的单根 则y*xQm(x)ex (1)如果不是特征方程r2prq0的根 则 y*Qm(x)ex 一、f(x)Pm(x)ex 型y*Q(x)ex 设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)()则得 第5
4、页，共11页，编辑于2022年，星期六v结论 二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 下页第6页，共11页，编辑于2022年，星期六提示 因为f(x)Pm(x)ex3x1 0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*b0 xb1 把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解 解 齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30 b0 xb12b0 xb13b0 xb13b0 x2b03b1 2b03b0
5、 x3b1 3b0 x2b03b13x1 提示3b03 2b03b11 特解形式第7页，共11页，编辑于2022年，星期六 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得 2b0 x2b0b1x 提示2b01 2b0b10 特解形式第8页，共11页，编辑于2022年，星期六首页 例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解 解 齐次方程y5y
6、6y0的特征方程为r25r 60 其根为r12 r23 2b0 x2b0b1x 因此所给方程的通解为 因为f(x)Pm(x)exxe2x 2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得特解形式第9页，共11页，编辑于2022年，星期六 二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 二、f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinx型下页 v结论 第10页，共11页，编辑于2022年，星期六 解 结束特解形式 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解 因为f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为齐次方程yy0的特征方程为r210 把它代入所给方程 得 y*(axb)cos2x(cxd)sin2x (3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2xxcos2x 第11页，共11页，编辑于2022年，星期六