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1、常数项级数敛散性的判定法常数项级数敛散性的判定法第二节第二节正项正项级数的概念级数的概念则称其为则称其为正项级数正项级数一、正项级数及其敛散性的判定法一、正项级数及其敛散性的判定法则其部分和数列则其部分和数列 单调增加单调增加如果部分和数列如果部分和数列 有上界，有上界，如果部分和数列如果部分和数列 没有上界，没有上界，从而我们有从而我们有正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件解解由图可知由图可知的收敛性的收敛性 发散发散 所以所以 没有上界，没有上界，发散发散 p-级数级数 发散发散 所以所以 没有上界，没有上界，发散发散 由图可知由图可知所以所以 有上界，有上界，收敛收敛 综上所述，
2、我们有以下综上所述，我们有以下重要结论重要结论：调和级数调和级数，调和级数调和级数是是发散发散的的二、正项级数二、正项级数敛散性的判定法敛散性的判定法1.比较判定法比较判定法定理定理 证明证明即即 的部分和数列有上界，的部分和数列有上界，由由(1)用反证法可证用反证法可证(2)1.比较判定法比较判定法定理定理 根据级数的性质，定理中的条件根据级数的性质，定理中的条件 可放宽为：可放宽为：利用利用比较判定法比较判定法判定判定正项级数正项级数的敛散性，需要的敛散性，需要找一个已知敛散性的找一个已知敛散性的正项级数正项级数作为比较级数作为比较级数 常用的比较级数是常用的比较级数是 几何级数几何级数，
3、p-级数级数 例例2 解解另解另解 利用利用比较判定法比较判定法判定判定正项级数正项级数的敛散性，需要的敛散性，需要找一个已知敛散性的找一个已知敛散性的正项级数正项级数作为比较级数作为比较级数 如果所需判定的如果所需判定的正项级数正项级数收敛收敛，则需找一个通项，则需找一个通项 较大的较大的收敛收敛的的正项级数正项级数作为比较级数作为比较级数 如果所需判定的如果所需判定的正项级数正项级数发散发散，则需找一个通项，则需找一个通项 较小的较小的发散发散的的正项级数正项级数作为比较级数作为比较级数 从而在实际问题中，直接应用从而在实际问题中，直接应用比较判定法比较判定法有有很大的盲目性，且也很不方便
4、很大的盲目性，且也很不方便 为此我们给出方便实用的为此我们给出方便实用的比较判定法的极限形式比较判定法的极限形式定理定理(比较判定法的极限形式比较判定法的极限形式)证明证明由由比较判定法比较判定法知知 例例3 解解判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 例例4 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 解解推论推论 例例5 证证 由上述推论知由上述推论知 2.比值判定法比值判定法(达朗贝尔判定法达朗贝尔判定法)定理定理 证明证明从而有从而有 注意注意比值判定法比值判定法的优点的优点:不必找比较级数不必找比较级数 解解例例6 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性 例例7 判定级数判定级数
5、的敛散性的敛散性 解解所以原级数所以原级数发散发散 例例8 证证 (1)例例8 证证 (2)例例9 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 解解3.根值判定法根值判定法(柯西判定法柯西判定法)定理定理 例例10 解解4.柯西积分判定法柯西积分判定法定理定理 例例11 解解例例12 (A)(B)(C)(D)解解 正确的选项应是正确的选项应是 B故故 A、D 错错故故 C 错错二、交错级数及其敛散性判定法二、交错级数及其敛散性判定法1.交错交错级数的概念级数的概念称为称为交错级数交错级数它是正负项相间的级数它是正负项相间的级数2.交错交错级数级数敛散性敛散性的的判定法判定法莱布尼茨定理莱布尼茨定理 莱
6、布尼茨定理莱布尼茨定理 证明证明且满足收敛的两个条件，且满足收敛的两个条件，定理证毕定理证毕也是交错级数，也是交错级数，例例13 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 解解所以级数所以级数 收敛收敛 以后可以证明：以后可以证明：由定理可知，若以由定理可知，若以 例例14 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 解解三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛前面我们讨论了前面我们讨论了正正(负负)项级数项级数与与交错级数交错级数敛散性的敛散性的判定法，判定法，定义定义 下面我们讨论任意项级数如何判定其敛散性下面我们讨论任意项级数如何判定其敛散性如级数如级数 收敛，收敛，所以级数所以级数 条件收敛条件
7、收敛 证明证明定理定理即即 绝对收敛的级数本身一定收敛绝对收敛的级数本身一定收敛 定理的作用：定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数例例15 问级数问级数 绝对收敛，还是条件收敛？绝对收敛，还是条件收敛？解解条件收敛条件收敛 例例16 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 解解绝对收敛绝对收敛；条件收敛条件收敛；发散发散 例例17 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 解解根据比较判定法，根据比较判定法，原级数原级数绝对收敛绝对收敛例例18 解解(A)(B)(C)(D)例例18 解解(A)(B)(C)(D)例例19 解解(A)(B)(C)(D)例例19 解解(A)(B)(C)(D)比比(
8、根根)值判定法的一般形式值判定法的一般形式则当则当 时，级数绝对收敛；时，级数绝对收敛；当当 时，级数发散；时，级数发散；例例20 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性 解解最后我们介绍最后我们介绍比比(根根)值判定法的一般形式值判定法的一般形式思考题思考题解答解答由比较判定法知由比较判定法知 收敛收敛反之不成立反之不成立例如：例如：收敛收敛，发散发散四、数项级数敛散性判定法小结四、数项级数敛散性判定法小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数敛敛散散性性的的判判定定1.2.3.按基本性质按基本性质4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛与发散绝对收敛与发散5.交错级数交错级数(条件收敛条件收敛)(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)比比(根根)值法的一般形式值法的一般形式