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1、第二讲第二讲 常数项级数的敛散性判别法常数项级数的敛散性判别法内容提要内容提要 1 1正项级数及其审敛法；正项级数及其审敛法；2 2交错级数判别方法；交错级数判别方法；3.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛.教学要求教学要求 1 1掌握正项级数的比较判别法；掌握正项级数的比较判别法；2 2熟悉比值判别法，了解根值判别法；熟悉比值判别法，了解根值判别法；3 3掌握交错级数判别方法；掌握交错级数判别方法；4.判断级数的判断级数的绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛.一、一、正项级数及其敛散性判别法正项级数及其敛散性判别法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项
2、级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较判别法比较判别法不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较判别法的不便比较判别法的不便:须有参考级数须有参考级数.解解由图可知由图可知重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.证明证明4.4.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,
3、则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.证明证明收敛收敛发散发散比值判别法的优点比值判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:解解比值判别法失效比值判别法失效,改用比较判别法改用比较判别法级数收敛级数收敛.二、交错级数及其敛散性的判别法二、交错级数及其敛散性的判别法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.证明证明满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.解解原级数收敛原级数收
4、敛.三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明证明上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.小小 结结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;思考题思考题思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.