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1、常数项级数的敛散常数项级数的敛散性判别法性判别法你现在浏览的是第一页，共28页一、一、正项级数及其敛散性判别法正项级数及其敛散性判别法1.1.定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.你现在浏览的是第二页，共28页证明证明即部分和数列有界即部分和数列有界3.比较判别法比较判别法你现在浏览的是第三页，共28页不是有界数列不是有界数列定理证毕定理证毕.比较判别法的不便比较判别法的不便:须有参考级数须有参考级数.你现在浏览的是第四页，共28页解解由图可知由图可知你现在浏览的是第
2、五页，共28页重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.你现在浏览的是第六页，共28页证明证明你现在浏览的是第七页，共28页4.4.比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;你现在浏览的是第八页，共28页证明证明由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.你现在浏览的是第九页，共28页你现在浏览
3、的是第十页，共28页解解原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.你现在浏览的是第十一页，共28页证明证明你现在浏览的是第十二页，共28页收敛收敛发散发散你现在浏览的是第十三页，共28页比值判别法的优点比值判别法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:你现在浏览的是第十四页，共28页你现在浏览的是第十五页，共28页解解你现在浏览的是第十六页，共28页比值判别法失效比值判别法失效,改用比较判别法改用比较判别法你现在浏览的是第十七页，共28页级数收敛级数收敛.你现在浏览的是第十八页，共28页二、交错级数及其敛散性的判别法二、交错级数及其敛散性的判别法定义定义:正、负项相间的级
4、数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.你现在浏览的是第十九页，共28页证明证明你现在浏览的是第二十页，共28页满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,定理证毕定理证毕.你现在浏览的是第二十一页，共28页解解原级数收敛原级数收敛.你现在浏览的是第二十二页，共28页三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定义定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.证明证明你现在浏览的是第二十三页，共28页上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数你现在浏览的是第二十四页，共28页解解故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.你现在浏览的是第二十五页，共28页小小 结结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;你现在浏览的是第二十六页，共28页思考题思考题你现在浏览的是第二十七页，共28页思考题解答思考题解答由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.反之不成立反之不成立.例如：例如：收敛收敛,发散发散.你现在浏览的是第二十八页，共28页