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1、数形结合思想高考要求 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方
2、程）及方程的曲线以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法 以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合 典型题例示范讲解 例1设A=x2xa，B=yy=2x+3，且xA，C=zz=x2，且xA ，若CB，求实数a的取值范围 命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目 知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将CB用不等式这一数学语言加以转化 错解分析 考生在确定z=x2，x2,a的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图象将是上策 不能漏掉a2这一种特殊情形 技
3、巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 解 y=2x+3在2, a上是增函数1y2a+3，即B=y1y2a+3作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下 当2a0时，a2z4即C=za2z4要使CB,必须且只须2a+34得a与2a0矛盾 当0a2时，0z4即C=z0z4，要使CB，由图可知 必须且只需解得a2当a2时，0za2，即C=z0za2，要使CB必须且只需解得2a3当a2时，A=此时B=C=，则CB成立 综上所述，a的取值范围是(,2),3
4、例2已知acos+bsin=c, acos+bsin=c(ab0,k, kZ)求证 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力 知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上 错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二 技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题 证明:在平面直角坐标系中，点A（cos,sin）与点B（cos,sin）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图 从而 AB2=(coscos
5、)2+(sinsin)2=22cos()又单位圆的圆心到直线l的距离由平面几何知识知OA2(AB)2=d2即 例3曲线y=1+ (2x2)与直线y=r(x2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 解析 方程y=1+的曲线为半圆，y=r(x2)+4为过（2，4）的直线 答案 （例4设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围 解法一 由f(x)a，在1,+)上恒成立x22ax+2a0在1,+)上恒成立 考查函数g(x)=x22ax+2a的图象在1,+时位于x轴上方 如图两种情况 不等式的成立条件是 (1)=4a24(2a)0a(2,1)(2)a(3,2，综上所述a(
6、3,1) 解法二 由f(x)ax2+2a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，3，故直线l对应的a(3,1) 学生巩固练习 1 方程sin(x)=x的实数解的个数是( )A 2 B 3 C 4 D 以上均不对2 已知f(x)=(xa)(xb)2（其中ab，且、是方程f(x)=0的两根（，则实数a、b、的大小关系为( )A ab B abC ab D ab3(4cos+32t)2+(3sin1+2t)2，(、t为参数)的最大值是 4 已知集合A=x5x,B=
7、xx2axxa，当AB时，则a的取值范围是 5 设关于x的方程sinx+cosx+a=0在（0,）内有相异解、 （1）求a的取值范围；（2）求tan(+)的值 6 设A=(x,y)y=,a0，B=(x,y)(x1)2+(y)2=a2,a0,且AB，求a的最大值与最小值 参考答案 1 解析 在同一坐标系内作出y1=sin(x)与y2=x的图象如图 答案 B2 解析 a,b是方程g(x)=(xa)(xb)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示 答案 A3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A(4cos,3sin),B(2t3,12t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线 考
8、虑用点到直线的距离公式求解 答案 4 解析 解得A=xx9或x3，B=x(xa)(x1)0，画数轴可得 答a35 解 作出y=sin(x+)(x(0,)及y=的图象，知当1且时，曲线与直线有两个交点，故a(2,)(,2) 把sin+cos=a,sin+cos=a相减得tan，故tan(+)=3 6 解 集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O(1,)为圆心，a为半径的圆 如图所示 AB，半圆O和圆O有公共点 显然当半圆O和圆O外切时，a最小a+a=OO=2,amin=22当半圆O与圆O内切时，半圆O的半径最大，即a最大 此时aa=OO=2,amax=2+2