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1、精品名师归纳总结数形结合思想一作图、识图、用图技巧(1) 作图： 常用描点法和图象变换法图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换 描画函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等 和对称性进行(2) 识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范畴、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系(3) 用图： 图象形象的显示了函数的性质，因此， 函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合争论(4) 利用基本函数图象的变换作图平移变换：h0，右移 |h|个单位y fx h0，上移 |k|个单位y fx k0，下移|k|个单位 y fx k.伸缩
2、变换：y fx 错误.y fx，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y fx0A1 ，纵坐标伸长到原先的 A倍 y Afx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称变换：关于x轴对称y fx关于y轴对称y fxy fx， y f x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关于直线 xa对称y fx关于原点对称y f2a x，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y fxfx关于原点对称y f xy f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二
3、、通法归纳与感悟1应用数形结合的思想应留意以下数与形的转化(1) 集合的运算及韦恩图。(2) 函数及其图像。(3) 方程 多指二元方程 及方程的曲线。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 对于争论距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可。(5) 对于争论函数、 方程或不等式 最值的问题， 可通过函数的图像求解函数的零点、 顶点是关键点 ，做好学问的迁移与综合运用 2运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原就(1) 等价性原就在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必需是等价的，否就解题将会显现漏洞，有时，由于图形的局限性， 不能完整的表现数的一般性，这时图
4、形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导(2) 双向性原就在数形结合时， 既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探究，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析在很多时候是很难行得通的例如， 在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来争论几何问题，但是在很多时候，假设能充分的挖掘利用图形的几何特点，将会使得复杂的问题简洁化(3) 简洁性原就就是找到解题思路之后，至于用几何方法仍是用代数方法或者兼用两种方法来表达解题过程，就取决于哪种方法更为简洁，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法三、利用数形结合争论函数零点、方程的解
5、或图像的交点利用数形结合求方程解应留意两点(1) 争论方程的解 或函数的零点 可构造两个函数， 使问题转化为争论两曲线的交点问题，但用此法争论方程的解肯定要留意图像的精确性、全面性，否就会得到错解(2) 正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原就而采纳，不要刻意去数形结合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 20211长沙模拟 假设 fx 1f x 1，当 x 0,1 时，fx x，假设在区间 1,1内 g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx mx m 有两个零点，就实数m 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
6、结1A.0， 21B.1，21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.0， 3D.0，2 解析D当 x 1,0 时， x1 0,1 ，当 x0,1 时， fx x， f x1 x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而由 fx 11fx 1，可得 f x11fx 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 1 x1 1x 1,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如以下图，作出函数fx 在区间 1,1 内的图像，而函数 gx零点的个数即为函数fx 与 y mxm 图像交点的个数，明显函数y mx m 的图像为经过点 P 1,0，斜率为 m 的直
7、线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如以下图， f1 1，故 B1,1直线 PB 的斜率 k1 1 01PO 的斜率为 k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 1 2。直线0.由图可知，函数fx与 y mx m 的图像有两个交点，就直线y mx m 的斜率 k20， 0， x 0，1 x， x10 时，无交点由图象可知共9 个交点5答案 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 函数 y 1的图象与函数 y 2sin x 2x4的 图象全部交点的横坐标之和等于1 xA 2B 4C 6D 8 答案D 解析依题意：两函数的图象如以下图：由两函数的对称性可
8、知：交点A1， A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8 的横坐标满意 x1 x8 2，x2x72， x3 x6 2， x4 x5 2，即 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 8，应选 D二、利用数形结合解不等式或求参数利用数形结合解不等式应留意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要争论， 导致运算过程繁琐冗长假如题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺当的得到解决7. 1 使 log 2 xx 1 成立的 x 的取值范畴是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 假设不等式 |x 2a|12x a 1 对 x R 恒成立，就 a 的取值范畴是
9、 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析1 在同一坐标系中，分别作出y log2 x， yx 1 的图像，由图可知， x 的取值范畴是 1,022 作出 y |x 2a|和 y 1x a 1 的简图，依题意知应有2a2 2a，故 a 1.28. 当 x 1,2时，不等式 x 12log ax 恒成立，就 a 的取值范畴为A 2,3B 4， C 1,2D 2,4解析： C 设 y1 x 12， y2 loga x，就 y1 的图像为如以下图的抛物线要使对一切x 1,2，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y11，并且只需当x 2 时，log ax1，即 a2，所以 1
10、1，设函数 fx x2 2.x x2， x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结R，假设函数 y fx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，就实数c 的取值范畴是 A ， 2 1，3B ， 2 1， 324C 1，1 1， D 1， 3 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44 答案B4x2 2 1x 32， 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析由已知得 f xx x2x3，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如图，要使 y fx c 与 x 轴恰有两个公共点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 1c0，就 c0，所以
11、 b0 。xc2c2ba当 y 0， axb 0，所以 x 0，所以 a0. 故 a0， c0，选 C 方法点拨 1.给出解析式判定函数图象的题目，一般借助于平移、伸缩11. 理已知 fx是定义在 3,3上的奇函数，当0x3 时， fx的图象如以下图，那么不等式 fxcosx0 的解集是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2A 3， 0,1 3B 2，1 0,1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2，2，2 C 3， 1 0,1 1,3D 3， 0,1 1,3可编辑资料
12、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 答案B 分析 由奇函数图象的对称性可画出fx 的图象，不等式fx cxo0 cosx0fx0，结合图形可得出解集fx0 ，fx0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析不等式 fxcosx0 等价于cosx0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结画出 fx 在3,3上的图象， cosx 的图象又熟知，运用数形结合，如以下图，从“形”中找出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，图象分别在 x 轴上、下部分的对应 “数”的区间为 21 0,1 ，23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -
13、- 欢迎下载精品名师归纳总结13 文2021哈三中二模 对实数 a 和 b，定义运算 “ *：”a* ba， ab1 b， ab1，设函数 fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2 1* x 2，假设函数 y fx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，就实数c 的取值范畴是A 2,4 5， B 1,2 4,5C ， 1 4,5D 1,2 答案B 解析由 a*b 的定义知，当 x2 1 x2 x2 x 11时，即 1x2时， fx x2 1。当 x2 时， fx x 2， y fx c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，方程fxx2 11x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
14、名师归纳总结c0 恰有两不同实根，即y c 与 y形结合易得 1 c2或 4c5.x 2x2，的图象恰有两个交点，数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 方法点拨 关于函数零点的综合题，经常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题，零点作为其条件的构成部分或结论之一，解题时主要依据题目特点： 别离参数， 将参数的取值范畴转化为求函数的值域。数形结合，利用图象的交点个数对参数取值的影响来争论。构造函数，借助于导数来争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、利用数形结合求最值利用数形结合求最值的方法步骤第一步：分析数理特点， 确定目标问题的几
15、何意义一般从图形结构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义其次步：转化为几何问题 第三步：解决几何问题 第四步：回来代数问题第五步：回忆反思 应用几何意义数形结合法解决问题需要熟识常见的几何结构的代数形式，主要有： 1 比值可考虑直线的斜率。2 二元一次式可考虑直线的截距。3 根式分式可考虑点到直线的距离。4 根式可考虑两点间的距离14 已知 a，b 是平面内两个相互垂直的单位向量，假设向量c 满意a c b c 0，就 |c|的最大值是 A 1B 22C.2D.2解析： C由于 a c bc0，所以 a c b c如以下图， 设 OC c，OA a，OB b， CAa c， CB b c
16、，即 AC BC ，又 OA OB ，所以 O， A，C， B 四点共圆 当且仅当 OC 为圆的直径时， |c|最大，且最大值为2.15 O 是平面上肯定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满意 OPOA AB|AB| AC ， 0 ， ，就点 P 的轨迹肯定通过ABC 的|AC|A 外心B 内心C重心D 垂心 答案B 分析由于 AB 是AB的单位向量，故 AB AC 对应向量假设以A 为起点，就终点在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|AB|AB|AC|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BAC 的平分线上，结合OP OA AP可知点 P 的轨迹可编辑资
17、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 解析如以下图，易知 AP AB AC ，而 AB 与 AC 是单位向量，故点P 在 BAC 的平可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结|AB |AC|AB|AC|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分线上，所以点 P 的轨迹通过 ABC 的内心，应选B 方法点拨 数形结合法在三角函数、平面对量、复数等学问中的应用三角函数的图象、平面对量都是自然的数形结合点和数形结合的工具16对于任意 x R，函数 fx表示 x3， 3x 1，x2 4x 322中的较大者，就 fx的最小值是A 2B 3C 8D 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精
18、品名师归纳总结x解析： A 分别画出 y x 3， y 321y x24x 3 三个函数的图像，如以下图，得到2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结，三个交点 A0,3， B1,2， C5,8x2 4x 3， x0， x 3， 0x1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 f x的表达式为fx32x1， 15，fx的图像是图中的实线部分，图像的最低点是B1,2， 所以函数 fx的最小值是 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17文设函数 gx x2 2x R ，f xgx x4， x gx gx x， xgx，就 fx的值域是 可编辑资料 - - -
19、 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 9， 0 1， B 0 ， 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C 9， D 49， 0 2， 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 答案Dx2 x 2， x0，就|MN |t 2 lnt，令 yt 2 lnt t0 ，就 y2t 1t ，由 y0得 t2，由 y0得 0t222 ，y t2 lnt 在 0，22上单调递减，在 22 ， 上单调递增，故 t时， y 取最小值，即22t2 时， |MN|取最小值2轻松学习高中数学 - 高一专题系列课程C52D22 答案 解析D在同一坐标系中画出函数fx x2 与gx lnx 的图象如图，作直线x t，由题意知可编辑资料 - - - 欢迎下载