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1、 第五章 三角函数 5.4.3 正切函数的图像与性质 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）第五章的5.4.3 正切函数的图像与性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象与性质学习的经验，通过运用数形结合的思想方法和类比思想，对正切函数的图像与性质进行研究，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性。并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。2.会利
2、用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象。3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正切函数性质解决yAtan(x)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：函数图像与函数性质相对应；e.数学建模：正切函数的性质及应用；教学重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 教学难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题。 多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问题 （）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象 与性质？（）你能用不同的方法研究正切函数吗
3、？有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象问题探究1. 周期性由诱导公式tanx+=tanx，xR，且x2+k， kZ,可知，正切函数是周期函数，周期是2.奇偶性由诱导公式tan-x=-tanx， xR，且x2+k， kZ，可知，正切函数是奇函数你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 可以先考察函数y=tanx, x0,2) 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展如何画出函数y=tanx, x0,2) 的图象的图象？如图5.4.9，设x0,2) ，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x
4、0, y0）过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A（，）作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则tanx=y0x0=MBOM=ATOA= AT；由此可见，当 x0,2)时，线段AT的长度就是相应角x的正切值我们可以利用线段AT画出函数y=tanx, x0,2)的图象，如图5.4.10所示观察图5.4.10可知，当x0,2) 时，随狓x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于2时，AT的长度趋向于无穷大相应地，函数y=tanx, x0,2)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x2 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？ 正切函数的图象有怎样的特征？ 根据正
5、切函数是奇函数，只要画y=tanx, x0,2) 的图象关于原点的对称图形，就可得到y=tanx, x(-2,0的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数y=tanx, x(-2, 2)的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数xR，且x2+k， kZ的图象，我们把它叫做正切曲线（tangentcurve）（图5.4.11） 从图5.4.11可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x=2+k， kZ所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的 .单调性 观察正切曲线可知，正切函数在区间(-2, 2)上单调递增由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 (-2+k, 2 +k),kZ,上都
6、单调递增.值域当x(-2, 2)时，tanx在（，）内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值因此，正切函数的值域是实数集R典例解析例. 求函数y=tan2x+3的定义域、周期及单调区间分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论解：自变量x的取值应满足;2x+3 2+k,kZ；即;x 13+2k,kZ所以，函数的定义域是xx13+2k,kZ设z=2x+3，又tanz+=tanz，所以tan2x+3+=tan2x+3即; tan2x+2+3=tan2x+3因为xxx13+2k,kZ,都有tan2x+2+3=tan2x+3所以，函数的周期为由-2+k2x+3 2+k,kZ解得；-53+
7、2kx 0)的单调区间时，由kxk，kZ求得x的范围；当0时，可先用诱导公式把化为正值通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图像与性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；三、当堂达标1函数ytan x的值域是()A1,1B1,0)(0
8、,1C(，1 D1，)【解析】根据函数的单调性可得【答案】B2函数f(x)tan的定义域是_，f_.【解析】由题意知xk(kZ)，即xk(kZ)故定义域为，且ftan.【答案】3函数ytan x的单调递减区间是_【解析】因为ytan x与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(kZ)【答案】(kZ)4函数y|tan x|的周期为_【解析】作出y|tan x|的图象，如图所示由图可知，函数y|tan x|的最小正周期是.【答案】5(1)求函数ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小【解】(1)由kxk(kZ)得，2kx2k(kZ)，所以函数ytan的单调递增区间是(kZ)(2)由于tantantan tan ，tantantan ，又0，而ytan x在上单调递增，所以tan tan ，即tantan.通过练习巩固本节所学知识，巩固对正切函数图像与性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结让我们回顾半节课的学习过程，看看主要的收获有哪些？知识上：正切函数图像和性质及简单应用 思想方法上：类比思想，整体代换思想。五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；