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1、 第五章 三角函数 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）第五章的5.4.2正弦函数、余弦函数的性质。本节的主要内容是由正弦函数、余弦函数的图象，由先前学习函数的经验，通过函数图像，观察总结函数性质，并应用函数性质解决问题。是学生对函数学习方法掌握情况的一次大检阅。因此注意对学生研究函数方法的启发，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养1.了解周期函数、周期、最小正周期的含义2.掌握ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值3.会求函数yAsi
2、n(x)及yAcos(x)的周期，单调区间及最值4.通过作正弦函数与余弦函数的性质探究，培养学生数形结合和类比的思想方法。 a.数学抽象：函数性质的总结；b.逻辑推理：由正余弦函数性质解决yAsin(x)的性质；c.数学运算：运用函数性质解决问题；d.直观想象：运用函数图像归纳函数性质；e.数学建模：正余弦函数的性质及应用；教学重点： ysin x(xR)，ycos x(xR)的周期性、奇偶性、单调性和最值教学难点：会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的周期，单调区间及最值多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）创设问题情境提出问题 类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余
3、弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？问题探究 根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔2个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式sinx+2k=sinx（kZ）中得到反映，即自变量x的值增加2整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律（二）问题探究1.周期性
4、 一般地，对于函数fx ,如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有fx+T=fx那么函数fx就叫做周期函数（periodicfunction）非零常数T叫做这个函数的周期（period） 周期函数的周期不止一个例如，以及，都是正弦函数的周期事实上kZ，且 k，常数2k都是它的周期 如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期（minimalpositiveperiod）根据上述定义，我们有：正弦函数是周期函数， 2k（kZ且k）都是它的周期，最小正周期是类似地，余弦函数也是周期函数， 2k（kZ且k）都是它的周期，最小正周期是典例
5、解析例2求下列三角函数的周期：(1) y3sinx，xR；(2)ycos 2x，xR；（3）y=2sin12x-6,xR;分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式fx+T=fx而求出相应的周期对于（），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cos2(x+T)=cos2x，xR；对于（），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sin12(x+T)-6=sin12x-6, xR；【解】(1) ，有3sin(x)3sinx，由周期函数的定义知，y3sinx的周期为2.(2)令，由，得，且的周期为2.即因为cos (z2)cosz，于是cos(2x2)cos 2x，所以cos
6、2(x)cos 2x，由周期函数的定义知，ycos 2x的周期为.令z=12x-6,由xR得ZR且y=2sinz的周期为即周期为2. 即，2sinz+2=2sinz,于是，2sin12x-6+2=2sin（12x-6）所以，2sin12（x+4）-6=2sin（12x-6）由周期函数的定义知，原函数的周期为4.回顾例的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？归纳总结 求三角函数周期的方法：(1)定义法：即利用周期函数的定义求解(2)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常数，A0，0)的函数，T.(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期2.奇偶性 观察正弦曲线
7、和余弦曲线 ， 可以看到正弦曲线关于原点 犗 对称 ， 余弦曲线关于 x 轴对称 这个事实 ， 也可由诱导公式sin-x=-sinx；cos-x=cosx得到 所以正弦函数是奇函数 ， 余弦函数是偶函数 知道一个函数具有周期性和奇偶性 ， 对研究它的图象与性质有什么帮助 ?做一做1(1)函数f(x)sin 2x的奇偶性为 ()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数(2)判断函数f(x)sin的奇偶性【答案】A【解析】(1)f(x)的定义域是R，且f(x)sin 2(x)sin 2xf(x)，函数为奇函数 (2)f(x)sincos x，f(x)coscos x，函数f(x)s
8、in为偶函数.归纳总结1判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(x)的关系2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断3. 单调性 由于正弦函数是周期函数 ， 我们可以先在它的一个周期的区间 （ 如 -2,32） 上讨论它的单调性 ， 再利用它的周期性 ， 将单调性扩展到整个定义域 观察图 5.4-8， 可以看到 ：当 x 由-2 增大到 2时 ， 曲线逐渐上升 ， sinx的值由-1增大到 1； 当x 由 2增大到32时 ， 曲线逐渐下降 ， sinx的值由 1减小到 -1sinx 的值的变化情况如表 5.4.2所示 ：
9、就是说，正弦函数y=sinx在区间-2,2上单调递增，在区间2,32 上单调递减，有正弦函数的周期性可得； 正弦函数在每一个闭区间-2+2k,2+2k （ kZ ） 上都单调递增 ,其值从-1 增大到1 ;在每一个闭区间2+2k,32+2k （ kZ ） 上都单调递减 ,其值从 1减小到-1类似地 ， 观察余弦函数在一个周期区间 （ 如 -,） 上函数值的变化规律 ， 将看到的函数值的变化情况填入表5.4.3 由此可得，余弦函数y=cosx,x-,在区间 上单调递增 ， 其值从-1 增大到1 ；上单调递增，在区间 上单调递减，其值从1减小到-1由余弦函数的周期性可得，余弦函数在每一个闭区间 ,
10、上都单调递增 ， 其值从-1 增大到 1；在每一个闭区间 , 上都单调递减 ， 其值从 1减小到 -1函 数 名 递增区间 递减区间 y=sinx y=cosx.最大值与最小值 从上述对正弦函数 、 余弦函数的单调性的讨论中容易得到 ，正弦函数当且仅当 x 时,取得最大值 ， 当且仅当 x 时,取得最小值 ；余弦函数当且仅当 x 时,取得最大值 ，当且仅当 x 时,取得最小值 例3. 下列函数有最大值 、 最小值吗？ 如果有 ， 请写出取最大值 、 最小值时自变量x的集合 ， 并求出最大值 、 最小值 （ ） y=cosx+1， x R ；（ ） y=-3sin2x ， x R解 ： 容易知道
11、 ， 这两个函数都有最大值 、 最小值 （ ） 使函数 y=cosx+1， x R取得最大值的x的集合 ， 就是使函数 y=cosx， x R ，取得最大值的x 的集合 x x2k ， k Z ；使函数y=cosx+1， x R ， 取得最小值的 狓 的集合 ， 就是使函数 y=cosx， x R取得最小值的 x 的集合 x x （ 2k +1） ， k Z 函数y=cosx+1， x R 的最大值是 ； 最小值是 (2)解 ： 令 z 2x， 使函数） y=-3sin2x ， zR 取得最大值的 z 的集合 ， 就是使 y=sinz，zR 取得最小值的 z 的集合 z z- 2+2k ， k
12、 Z 由 z 2x - 2+2k ，得x - 4+k 所以 ， 使函数y=-3sin2x ， xR 取得最大值的x 的集合是 x x - 4+k, k Z 同理 ， 使函数y=-3sin2x ， xR取得最小值的x 的集合是 x x 4+k, k Z 函数 y=-3sin2x ， xR的最大值是 ， 最小值是 例4. 不通过求值，指出下列各式的大小：(1) sin(-18); sin(-10)分析 ： 可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小 为此 ， 先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角 ， 然后再比较大小 解 ：（ ） 因为- 210-180，正弦函数y=sinx在-2,2
13、上是增函数，所以Qsin-18sin(-10)(2) cos(-235); cos(-174)解：cos-235=cos235=cos35；cos-174=cos174=cos4因为0435cos4；即cos(-174)cos-235例5. 求函数y=sin(12x+3), x ， 的单调递增区间 分析 ： 令z= 12x+3当自变量x 的值增大时 ， z 的值也随之增大 ， 因此若函数 y=sinz在某个区间上单调递增 ， 则y=sin(12x+3)在相应的区间上也一定单调递增 解 ： 令 z= 12x+3， x- ， ， 则 z -23,43因为y=sinz ， z -23,43的单调递增
14、区间是z -2,2， 且由-212x+3 2，得-53x 3 所以 ， 函数y=sin(12x+3), ， x- ， 的单调递增区间是-53,3通过对函数学习的回顾，提出研究正弦与余弦函数性质的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正弦函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；三、当堂达标
15、1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若sin(6060)sin 60，则60为正弦函数ysin x的一个周期()(2)若T是函数f(x)的周期，则kT，kN*也是函数f(x)的周期()(3)函数ysin x，x(，是奇函数()1【解析】(1).举反例，sin(4060)sin 40，所以60不是正弦函数ysin x的一个周期(2).根据周期函数的定义知，该说法正确(3).因为定义域不关于原点对称【答案】(1)(2)(3)2.函数f(x)sin，xR的最小正周期为() A.B C2 D42.【解析】因为sinsinsin，即f(x4)f(x)，所以函数f(x)的最小正周期为4.【答案】D3
16、.函数f(x)sin的一个递减区间是() A. B，0 C. D.3.【解析】令x，kZ，得x，kZ，k0时，区间是函数f(x)的一个单调递减区间，而.故选D.【答案】D4比较下列各组数的大小：(1)cos 150与cos 170；(2)sin 与sin.4【解】(1)因为90150170cos 170.(2)sinsinsin sinsin .因为0，函数ysin x在区间上是增函数，所以sin sin ，即sin sin.通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结1. 正弦、余弦函数的奇偶性、单调性 2. 求函数的单调区间：（1）. 直接利用相关性质；（2）复合函数的单调性；（3）利用图象寻找单调区间五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；