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1、 第五章 三角函数 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）第五章的5.4.1正弦函数、余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(x+)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。课程目标学科素养1. 理解并掌握用单位圆作正弦函数以及作
2、余弦函数的图象的方法。2.利用单位圆中的三角函数线作出y=sinx, xR的图象，明确函数的图象；根据关系cosx=sin(x+2)作出y=cosx,xR的图象。渗透数形结合和化归的数学思想。3.通过作正弦函数与余弦函数的图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神和勇于探索，勤于思考的科学素养。 a.数学抽象：由五点作图法；b.逻辑推理：由正弦函数图像得出余弦函数图像；c.数学运算：特殊三角函数的求解；d.直观想象：运用函数图像分析问题；e.数学建模：正弦函数图像及其变换；教学重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。教学难点：理解作余弦函数的图象的方法。多媒体教学过程设计意图核心
3、教学素养目标（一）创设问题情境 下面先研究函数y=sinx， xR 的图象，从画函数y=sinx，x，的图象开始在，上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T（x0，sinx0）？（二）问题探究 如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，O与x轴正半轴的交点为A（，）在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（x0，sinx0）.若把x轴上从到这一段分成等份，使x0的值分别为0,6, 3, 2,2，它们所对应的角的终边与单位圆的交点
4、将圆周12等分，再按上述画点T（x0，sinx0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）事实上，利用信息技术，可使x0在区间0,2上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx， x0,2的图象.根据函数y=sinx， x0,2的图象，你能想象函数y=sinx， xR 的图象吗？由诱导公式一可知，函数y=sinx， x k，（k） ，kZ且k的图象与y=sinx， x0,2的图象形状完全一致因此将函数y=sinx， x0,2的图象不断向左、向右平移（每次移动2个单位长度），就可以得到正弦函数y
5、=sinx， xR的图象（图5.4.4）正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？观察图5.4.3，在函数y=sinx， x0,2的图象上，以下五个点：0,0，2，1，032，-1，（2，0）在确定图象形状时起关键作用描出这五个点，函数y=sinx， x0,2的图象形状就基本确定了因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数下面我们利用这种关系，借助正弦
6、函数的图象画出余弦函数的图象思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？对于函数y=cosx， 由诱导公式cosx=sin(x+2) 得，y=cosx=sinx+2,xR 而函数y=sinx+2,xR 的图象可以通过正弦函数y=sinx， xR 的图象向左平移2个单位长度而得到所以，将正弦函数的图象向左平移2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示你能说明理由吗？余弦函数y=cosx ， xR的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线 类似于用“五点法”画正
7、弦函数图象，找出余弦函数在区间，上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4.1，然后画出y=cosx， x，的简图（三）典例解析例1、用“五点法”作出下列函数的简图(1)y1sin x，x0,2；(2)y-cos x，x0,2. 【精彩点拨】在0,2上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y1sin x，x0,2的图象x02sin x010101sin x12101【解析】(1)列表：(2)列表：x02cos x10101-cos x-1010-1描点连线，如图你能利用函数ysin x，x0,2的图象，通过图象变换得到y1sin x，x
8、0,2的图象吗？同样地，利用函数ycosx，x0,2 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y-cosx，x0,2 的图象？方法与规律1“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点2列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点通过对三角函数定义的回顾，提出新的问题，提出运用三角函数定义做正弦函数图像的方法，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养。通过对正弦函数图像的分析，归纳总结五点作图法，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；通过对正弦函数图像，推导出余弦函数图像的方法，发展学生，逻辑推理、直观想象、数学
9、抽象、数学运算等核心素养；通过对典型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养；三、当堂达标1以下对于正弦函数ysin x的图象描述不正确的是()A在x2k，2k2，kZ上的图象形状相同，只是位置不同B关于x轴对称C介于直线y1和y1之间D与y轴仅有一个交点【解析】观察ysin x的图象可知A，C，D正确，且关于原点中心对称，故选B.【答案】B2用“五点法”作函数ycos 2x，xR的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是() A0，2B0，C0，2，3，4 D0，【解析】令2x0，和2，得x0，故选B.【答案】B3点M在函数ysin x的图象上，则m等于
10、()A0 B1C1 D2【解析】由题意msin ，m1，m1. 【答案】C4函数ycos x与函数ycos x的图象()A关于直线x1对称 B关于原点对称C关于x轴对称 D关于y轴对称【解析】作出函数ycos x与函数ycos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选C.【答案】C5方程x2cos x0的实数解的个数是_【解析】作函数ycos x与yx2的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解【答案】26用“五点法”画出ycos，x0,2的简图【解】由诱导公式得ycossin x，(1)列表：x02sin x01010(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，(，0)，(2，0)(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来通过练习巩固本节所学知识，巩固对正余弦函图像的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结1.正、余弦函数的图象每相隔2个单位重复出现，因此，只要记住它们在0，2内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.五、作业1. 课时练 2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；