《2022年高中数学正弦函数、余弦函数的性质教案新人教版必修.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学正弦函数、余弦函数的性质教案新人教版必修.docx（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1.4.2正弦函数、余弦函数的性质整体设计教学分析对于函数性质的争论, 在高一必修中已经争论了幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质 . 因此作为高中最终一个基本初等函数的性质的争论, 同学已经有些体会了. 其中 , 通过观看函数的图象, 从图象的特点获得函数的性质是一个基本方法, 这也是数形结合思想方法 的应用 .由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型, 这也是三角函数不同于其他类型函 数的最重要的的方, 而且对于周期函数, 我们只要熟识清晰它在一个周期区间上的性质, 那么就完全清晰它在整个定义域
2、内的性质.正弦、余弦函数性质的难点, 在于对函数周期性的正确懂得与运用, 以下的奇偶性, 无论是由图象观看 , 仍是由诱导公式进行证明, 都很简洁 . 单调性只要求由图象观看, 不要求证明 ,而正弦、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论, 只要留意引导同学利用周 期进行正确归纳即可.三维目标1. 通过创设情境, 如单摆运动、波浪、四季变化等, 让同学感知周期现象; 懂得周期函数的概念; 能娴熟的求出简洁三角函数的周期, 并能依据周期函数的定义进行简洁的拓展运用.2. 通过本节的学习, 使同学们对周期现象有一个初步的熟识, 感受生活中到处有数学, 从而激发同学的学习积极性, 培育同学
3、学好数学的信心, 学会运用联系的观点熟识事物.重点难点教学重点 : 正弦、余弦、正切函数的主要性质 包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域;深化争论函数性质的思想方法.教学难点 : 正弦函数和余弦函数图象间的关系、图象变换, 以及周期函数概念的懂得, 最小正周期的意义及简洁的应用.课时支配2 课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导入新课教学过程第 1 课时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路1. 人的心情、体力、智力都有周期性的变化现象, 在日常生活和工作中, 人们经常有这样的自我感觉, 有的时候体力充足, 心情开心 , 思维灵敏 ; 有的时候却疲惫乏力, 心灰
4、意冷 ,反应迟钝 ; 也有的时候思绪不稳, 喜怒无常 , 烦躁担心 , 糊涂健忘 , 这些感觉呈周期性发生, 贯穿人的一生 , 这就是人体节律. 这种有规律性的重复, 我们称之为周期性现象. 请同学们举出 生活中存在周期现象的例子, 在同学热闹的争辩中引入新课.思路2. 取出一个钟表 , 实际操作 , 我们发觉钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复 , 这是一种周期现象 . 我们这节课要争论的主要内容就是周期现象与周期函数 . 那么我们怎样从数学的角度争论周期现象了 .在图形上让同学观看正弦线“周而复始”的变化规律 , 在代数式上让同学摸索诱导公式 :sinx+2k =sinx 又是怎样反
5、映函数值的“周而复始”的变化规律的 . 要求同学用日常语言表达这个公式 , 通过对图象、函数解析式的特点的描述 , 使同学建立在比较坚固的懂得周期性的认知基础上 , 来懂得“周而复始”变化的代数刻画 , 由此引出周期函数的概念 .推动新课新知探究可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -提出问题问题正弦函数、余弦函数是周期函数吗.假如是 , 又是怎
6、样周期性变化的.问题阅读教材并摸索: 怎样从代数的角度定义周期函数.活动 : 老师可先引导同学查阅摸索上节学过的正弦函数图象, 让同学观看正弦线的变化 规律 , 有什么新的发觉.再让同学描述这种规律是如何表达在正弦函数的图象上的, 即描述正弦函数图象是如何表达“周而复始”的变化规律的. 通过争论图象, 同学很简洁看出正弦函数、余弦函数是周期函数. 怎样变化了 .从图 1 中也能看出是每隔2 就重复一次 .对问题 , 同学对正弦函数是周期函数是没有疑问的, 至于怎样描述, 同学一时很难回答. 老师可引导同学摸索争论, 正弦函数图象是怎样重复显现的.对于回答对的同学赐予确定, 勉励连续探究 . 对
7、于找不到思路的同学赐予提示, 指导其正确的探究思路.图 1问题 , 从图象上能够看出 , 但关键是怎样对“周而复始”的变化规律作出代数描述 , 这对同学有肯定的难度 . 在引入正式定义之前 , 可以引导同学先从不同角度进行描述 . 例如 : 对于函数 fx 自变量每增加或削减一个定值 这样的定值可以有许多个 , 函数值就重复显现 , 那么这个函数就叫做周期函数 . 老师也可以引导点拨同学从诱导公式进行描述 . 例如 :sin+2k =sin ,cos +2k =cos ,k Z.这说明 , 正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加k0 时 或削减 k0,x R 的周期为 T=.可以依据如下的方
8、法求它的周期:y=Asin x+ +2 =Asin x+ 2+ =Asin x+ .2于是有 fx+=fx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以其周期为2. 例如 , 在第 3 小题 ,y=2sin1 x-2,x R 中 , = 1 , 所以其周期62可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 4 . 由上述解法可以看到, 摸索的基本依据仍是y=sinx的周期为2 .依据这个结论, 我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期. 如例 3 中的第 3 小题:T= 2=4 . 这是求简洁三角函数周期的最基本方法, 即公式法 .变式训练1. 已知 fx是周期为5 的周期函数
9、 , 且 f1=2 007,求 f11.解: 由于 5 是函数 fx在 R 上的周期 ,所以 f11=f6+5=f6=f1+5=f1=2 007.2. 已知奇函数fx是 R 上的函数 , 且 f1=2,fx+3=fx,求 f8.解: 由题意知 ,3 是函数 fx的周期 , 且 f-x=-fx,所以 f8=f2+23=f2=f-1+3=f-1=-f1=-2.思路 22例 1 判定函数fx=2sinx+ cosx ,x R的周期性 . 假如是周期函数, 最小正周期是多少.活动 : 本例的难度较大 , 老师可引导同学从定义动身 , 结合诱导公式 , 寻求使 fx+T=fx 成立的 T 的值 . 同学
10、可能会很简洁找出 4 ,2 , 这的确是原函数的周期 , 但是不是最小正周期了 .老师引导同学选其他几个值试试 . 假如同学很快求出 , 老师赐予夸奖勉励 ; 假如同学做不出 , 老师点拨同学的探究思路 , 主要让同学自己争论解决 .2解: 由于 fx+ =2sinx+ + cosx+ 2=2sin x+ cosx =fx.所以原函数是周期函数, 最小正周期是 .点评 : 此题能很简洁判定是周期函数, 但要求的是“最小正周期”, 那就要多加当心了.2虽然将 4 ,2 带入公式后也符合要求, 但仍必需进一步变形, 即 fx中的 x 以 x+ 代替后可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
11、看 看 函 数 值 变 不 变 . 为 此 需 将 ,等 都 代 入 试 一 试 . 实 际 上 , 在fx=2sin2x+ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx ,x R中, 同学应看到平方与确定值的作用是一样的, 与负号没有关系. 因而 确定是原函数的一个周期.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 求函数 y=2sin解: 由于 y=2sin1 -x 的周期 .31 -x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 13
12、页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=-2sin1x-,33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以周期T=6 .2. 证明正弦、余弦函数的最小正周期是2 .证明 : 反证法 先证正弦函数的最小正周期是2 .由于 2 是它的一个周期,所以只需证明任意一个小于2 的正数都不是它的周期.假设 T 是正弦函数的周期, 且 0T2 ,那么依据周期函数的定义, 当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 sinx+T=si
13、nx.令 x=,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入上式 , 得 sin+T=sin2=1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但 sin+T=cosT, 于是有 cosT=1.2依据余弦函数的定义, 当 T0,2 时,cosT0 的周期. 并摸索总结本节都用了哪些数学方法 . 观看与归纳 , 特殊到一般 , 定义法 , 数形结合 , 辩证的观点 作业1. 课本习题 A 组 3,B 组 3.2. 预习正弦函数、余弦函数的奇偶性 .设计感想1. 本节课的设计思想是: 在同学的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点. 因此一开头要让同学从图形、代数两方面深
14、化探究, 不要让开头的探究成为一种摆设. 假如同学一开头没有很好的懂得, 那么 , 以后有些题就会很难做. 通过探究让同学找出周期这个规律 性的东西 , 并明确学问依附于问题而存在, 方法为解决问题的需要而产生. 将周期性概念的形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -成过程自然的贯彻到教学活动中去, 由此把同学的思维推到更高的广度.2. 本节设
15、计的特点是从形到数、 由特殊到一般、 由易到难 , 这符合同学的认知规律 . 让同学在探究中积存学问 , 进展才能 , 对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导 . 但由于同学学问水平的限制 , 本节不能扩展太多 , 建议让学有余力的同学连续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法.3. 依据本节课的特点可考虑分层推动、照料全体. 对优等生 , 重在引导他们进行一题多解, 多题合一 , 变式摸索的训练, 培育他们求同思维、求异思维才能, 以及思维的敏捷性、深刻性与 制造性 , 勉励他们独立摸索, 勇于探究 , 敢于创新 , 对正确的要予以确定, 对暴露出来的问题要 准时引导、剖
16、析订正, 使课堂学习成为再发觉再制造的过程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_导入新课第 2 课时 设计者 : 郑吉星 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路 1. 类比导入 我们在争论一个函数的性质时 , 如幂函数、指数函数、 对数函数的性质, 往往通过它们的图象来争论 . 先让同学画出正弦函数、余弦函数的图象 , 从同学画图象、观看图象入手 , 由此绽开正弦函数、余弦函数性质的探究 .思路2. 直接导入 争论函数就是要争论函数的一些性质,y=sinx,y=cosx是函数 , 我们当然也要探讨它们的一些性质. 本节课 , 我们就来争论正弦函数、余弦函数最基本的几条
17、性质. 请同学们回想一下, 一般来说 , 我们是从哪些方面去争论一个函数的性质的了 定义域、值域、奇偶性、单调性、最值. 然后逐一进行探究.推动新课新知探究提出问题回忆并画出正弦曲线和余弦曲线, 观看它们的外形及在坐标系中的位置;观看正弦曲线和余弦曲线, 说出正弦函数、余弦函数的定义域各是什么观看正弦曲线和余弦曲线, 说出正弦函数、余弦函数的值域各是什么;由值域又能得到什么;观看正弦曲线和余弦曲线 , 函数值的变化有什么特点 .观看正弦曲线和余弦曲线 , 它们都有哪些对称 .12图 2活动 : 先让同学充分摸索、争论后再回答. 对回答正确的同学, 老师可勉励他们按自己的 思路连续探究 , 对找
18、不到摸索方向的同学, 老师可参加到他们中去, 并适时的赐予点拨、 指导 .在上一节中 , 要求同学不仅会画图, 仍要识图 , 这也是同学必需娴熟把握的基本功. 因此 , 在研可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -究正弦、余弦函数性质时, 老师要引导同学充分挖掘正弦、余弦函数曲线或单位圆中的三角 函数线 , 当然用多媒体课件来争论三角函数性质是最
19、抱负的, 由于单位圆中的三角函数线更直观的表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系, 是争论三角函数性质的好工具. 用三角函数线争论三角函数的性质, 表达了数形结合的思想方法, 有利于我们从整体上把握有 关性质 .对问题 , 同学不肯定画精确, 老师要求同学尽量画精确, 能画出它们的变化趋势.对问题 , 同学很简洁看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R或 - ,+ . 对问题 , 同学很简洁观看出正弦曲线和余弦曲线上、下都有界 , 得出正弦函数、 余弦函数的值域都是 -1,1.老师要引导同学从代数的角度摸索并给出证明.正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度, sinx 1, c
20、osx 1, 即 - 1sinx 1, - 1cosx1.也就是说 , 正弦函数、余弦函数的值域都是-1,1 . 对于正弦函数y=sinxx R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当且仅当x=2(2) 当且仅当x=-+2k ,k Z 时 , 取得最大值1.+2k ,k Z 时, 取得最小值 -1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2对于余弦函数y=cosxx R,(1) 当且仅当x=2k ,k Z 时, 取得最大值1.(2) 当且仅当x=2k+1 ,k Z 时, 取得最小值 -1.对问题 , 老师可引导、点拨同学先截取一段来看, 选哪一段了 .如图 3, 通
21、过同学充分争论后3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定 , 选图象上的 -,2道理 , 其他类似 . 如图 4 这段 . 老师仍要强调为什么选这段, 而不选 0,2 的2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图 3图 4这个变化情形也可从下表中显示出来:3x-0222sinx-1010-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就是说 , 函数 y=sinx,x -, 3 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 13 页 -
22、- - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x -,2时 , 曲线逐步上升 , 是增函数 ,sinx的值由 -1 增大到 1;2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x, 3时 , 曲线逐步下降 , 是减函数 ,sinx的值由 1 减小到 -1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_类似的 , 同样可得y=cosx,x - , 的单调变化情形. 老师要适时点拨、引导同学先如何恰当的选取余弦曲线的一段来争论
23、, 如图 5, 为什么选 - , , 而不是选 0,2 .图 5引导同学列出下表:22cosx-1010-1x- -0结合正弦函数、余弦函数的周期性可知:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦函数在每一个闭区间-+2k ,2+2k k Z 上都是增函数, 其值从 -1增大2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到 1; 在每一个闭区间+2k ,23+2k k Z 上都是减函数 , 其值从 1 减小到 -1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_余弦函数在每一个闭区间2k-1,2k k Z 上都是增函数 , 其值从 -1 增加到 1;在每一个闭区间2k ,2k
24、+1 k Z 上都是减函数 , 其值从 1 减小到 -1.对问题 , 同学能直观的得出: 正弦曲线关于原点O 对称 , 余弦曲线关于y 轴对称 . 在 R上,y=sinx为奇函数 ,y=cosx为偶函数 . 老师要恰时恰点的引导, 怎样用学过的学问方法赐予 证明 .由诱导公式 : sin-x=-sinx,cos-x=cosx,y=sinx为奇函数 ,y=cosx为偶函数 .至此 , 一部分同学已经看出来了, 在正弦曲线、余弦曲线上仍有其他的对称点和对称轴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如正弦曲线仍关于直线x=对称 , 余弦曲线仍关于点2,0 对称 , 等等 , 这是由它的周期
25、性2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而来的 . 老师可就此引导同学进一步探讨, 为今后的学习打下伏笔.争论结果 : 略 .定义域为R.值域为 -1,1,最大值都是1, 最小值都是 -1.单调性 略 .奇偶性 略 .当我们认真对比正弦函数、余弦函数性质后, 会发觉它们有许多共同之处. 我们不妨把两 个图象中的直角坐标系都去掉, 会发觉它们其实都是同样外形的曲线, 所以它们的定义域相 同, 都为 R, 值域也相同 , 都是 -1,1 , 最大值都是1, 最小值都是 -1, 只不过由于y 轴放置的位置不同 , 使取得最大 或最小 值的时刻不同; 它们的周期相同, 最小正周期都是2 ;
26、 它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形, 且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心, 以过最值点且垂直于x 轴的直线为对称轴. 但是由于 y 轴的位置不同, 对称中心及对称轴与x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -轴交点的横坐标也不同. 它们都不具备单调性, 但都有单调区间, 且都是增、减区间间隔显现,也是由于y 轴的位置转变, 使增减
27、区间的位置有所不同, 也使奇偶性发生了转变.应用示例思路 1例 1 数有最大值、最小值吗.假如有 , 请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合 , 并说出最大值、最小值分别是什么.1y=cosx+1,x R;2y=-3sin2x,x R.活动 : 通过这道例题直接巩固所学的正弦、余弦的性质. 简洁知道 , 这两个函数都有最大值、最小值 . 课堂上可放手让同学自己去探究, 老师适时的指导、点拨、纠错, 并体会对应取得最大 小 值的自变量为什么会有无穷多个.解: 1 使函数 y=cosx+1,x R 取得最大值的x 的集合 , 就是使函数y=cosx,x R 取得最大值的 x 的集合 x|x=2
28、k ,k Z;使函数 y=cosx+1,x R 取得最小值的x 的集合 , 就是使函数y=cosx,x R取得最小值的x 的集合 x|x=2k+1 ,k Z.函数 y=cosx+1,x R 的最大值是1+1=2, 最小值是 -1+1=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 令 Z=2x, 使函数 y=-3sinZ, ZR取得最大值的Z 的集合是 Z| Z=-+2k ,k Z,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 2x=Z=-+2k , 得 x=-2+k .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_因此使函数y=- 3sin2x,x R 取得最大值的x 的集合是 x|x