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1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第01期) 专题21图形的旋转(共50题)一、单选题1(2021湖南永州市中考真题)如图,在平面内将五角星绕其中心旋转后所得到的图案是( )ABCD【答案】C【分析】根据旋转的性质找出阴影部分三角形的位置即可得答案【详解】将五角星绕其中心旋转,图中阴影部分的三角形应竖直向下,故选:C【点睛】本题考查旋转的性质,图形旋转前后,对应边相等,对应角相等,前后两个图形全等;熟练掌握旋转的性质是解题关键2(2021四川广安市中考真题)如图,将绕点逆时针旋转得到,若且于点,则的度数为( )ABCD【答案】C【分析】由旋转的性质可得BAD=55,E=ACB=70,
2、由直角三角形的性质可得DAC=20,即可求解【详解】解:将ABC绕点A逆时针旋转55得ADE,BAD=55,E=ACB=70,ADBC,DAC=20,BAC=BAD+DAC=75故选C【点睛】本题考查了旋转的性质,掌握旋转的性质是本题的关键3(2021江苏苏州市中考真题)如图,在方格纸中,将绕点按顺时针方向旋转90后得到,则下列四个图形中正确的是( )ABCD【答案】B【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90逐项分析即可【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到,故A选项不符合题意;B、是由绕点按顺时针方向旋转90后得到,故B选项符合题意;C、与对应点发生了变化,故C选项不符合题意;D、是
3、由绕点按逆时针方向旋转90后得到,故D选项不符合题意故选:B【点睛】本题考查旋转变换解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数4(2021天津中考真题)如图,在中,将绕点C逆时针旋转得到,点A,B的对应点分别为D,E,连接当点A,D,E在同一条直线上时,下列结论一定正确的是( )ABCD【答案】D【分析】由旋转可知,即可求出,由于,则可判断,即A选项错误;由旋转可知,由于,即推出,即B选项错误;由三角形三边关系可知,即可推出,即C选项错误;由旋转可知,再由,即可证明为等边三角形,即推出即可求出,即证明,即D选项正确;【详解】由旋转可知,点A,D,E在同一条直线上,故A选项错误,不符合题意;由旋转可
4、知,为钝角,故B选项错误,不符合题意;,故C选项错误,不符合题意;由旋转可知,为等边三角形,故D选项正确,符合题意;故选D【点睛】本题考查旋转的性质,三角形三边关系,等边三角形的判定和性质以及平行线的判定利用数形结合的思想是解答本题的关键5(2021湖南邵阳市中考真题)如图,在中,将绕点逆时针方向旋转,得到,连接则线段的长为( )A1BCD【答案】B【分析】根据旋转性质可知,再由勾股定理即可求出线段的长【详解】解:旋转性质可知,故选:B【点睛】此题主要考查旋转的性质和勾股定理求出直角三角形边长,解题关键是根据旋转性质得出是等腰直角三角形6(2021四川达州市中考真题)在平面直角坐标系中,等边如
5、图放置,点的坐标为,每一次将绕着点逆时针方向旋转,同时每边扩大为原来的2倍,第一次旋转后得到,第二次旋转后得到,依次类推,则点的坐标为( )ABCD【答案】C【分析】由题意,点A每6次绕原点循环一周,利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题【详解】解:由题意,点A每6次绕原点循环一周,点在第四象限, ,点的横坐标为,纵坐标为,故选:C【点睛】本题考查坐标与图形变化旋转,规律型问题,解题的关键是理解题意,学会探究规律的方法,属于中考常考题型7(2021浙江衢州市中考真题)如图将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形,当AC平分时,与满足的数量关系是( )ABCD【答案】C【分析】根据菱形的性质可得AB
6、=AC,根据等腰三角形的性质可得BAC=BCA=,根据旋转的性质可得CAC=BAB=,根据AC平分可得BAC=CAC=,即可得出,可得答案【详解】四边形ABCD是菱形,AB=AC,BAC=BCA=,将菱形ABCD绕点A逆时针旋转得到菱形,CAC=BAB=,AC平分,BAC=CAC=,BAC=BAC+BAB=2=,故选;C【点睛】本题考查旋转的性质及菱形的性质,熟练掌握相关性质并正确找出旋转角是解题关键8(2021山东聊城市中考真题)如图,在直角坐标系中,点A,B的坐标为A(0,2),B(1,0),将ABO绕点O按顺时针旋转得到A1B1O,若ABOB1,则点A1的坐标为( )A()B()C()D
7、()【答案】A【分析】先求出AB,OA1,再作辅助线构造相似三角形,如图所示,得到对应边成比例,求出OC和A1C,即可求解【详解】解:如图所示,点A,B的坐标分别为A(0,2),B(1,0),OB=1,OA=2,AOB=90,A1OB1=90,O A1OB1,又ABOB1,O A1AB,1=2,过A1点作A1Cx轴,A1CO=AOB,O A1=OA=2,故选:A【点睛】本题综合考查了勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定和性质等内容,解决本题的关键是理解并掌握相关概念,能通过作辅助线构造相似三角形等,本题蕴含了数形结合的思想方法等9(2021河南中考真题)如图,的顶点,点在轴的正半轴上,延长交
8、轴于点将绕点顺时针旋转得到,当点的对应点落在上时,的延长线恰好经过点,则点的坐标为( )ABCD【答案】B【分析】连接,由题意可证明,利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长,即得点的坐标【详解】如图,连接,因为轴,绕点顺时针旋转得到,所以,故答案为B【点睛】本题考查了旋转的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,找到是解题的关键10(2021黑龙江大庆市中考真题)如图,是线段上除端点外的一点,将绕正方形的顶点顺时针旋转,得到连接交于点下列结论正确的是( )ABCD【答案】D【分析】根据旋转的性质可以得到EAF是等腰直角三角形,然后根据相似三角形的判定和性质,以及平行线分线段成比例定理即可作出
9、判断【详解】解:根据旋转的性质知:EAF=90,故A选项错误;根据旋转的性质知:EAF=90,EA=AF,则EAF是等腰直角三角形,EF=AE,即AE:EF=1:,故B选项错误;若C选项正确,则,即,AEF=HEA=45,EAFEHA,EAHEFA,而EFA=45,EAH45,EAHEFA,假设不成立,故C选项错误;四边形ABCD是正方形,CDAB,即BHCF,AD=BC,EB:BC=EH:HF,即EB:AD=EH:HF,故D选项正确;故选:D【点睛】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理,正确运用反证法是解题的关键11(2021湖北黄石市中考真题)
10、如图,的三个顶点都在方格纸的格点上,其中点的坐标是,现将绕点按逆时针方向旋转,则旋转后点的坐标是( )ABCD【答案】B【分析】在网格中绘制出CA旋转后的图形,得到点C旋转后对应点【详解】如图,绘制出CA绕点A逆时针旋转90的图形,由图可得:点C对应点的坐标为(-2,3) 故选B【点睛】本题考查旋转,需要注意题干中要求顺时针旋转还是逆时针旋转12(2021山东泰安市中考真题)如图,在矩形中,点P在线段上运动(含B、C两点),连接,以点A为中心,将线段逆时针旋转60到,连接,则线段的最小值为( )ABCD3【答案】A【分析】根据题中条件确定出点的轨迹是线段,则线段的最小值就转化为定点到点的轨迹线
11、段的距离问题【详解】解:与固定夹角是,点的轨迹是线段,的轨迹也是一条线段 两点确定一条直线,取点分别与重合时,所对应两个点Q,来确定点的轨迹,得到如下标注信息后的图形:求的最小值,转化为点到点的轨迹线段的距离问题,在中,将逆时针绕点转动后得到,为等边三角形,为的中点,根据三线合一知,过点作的垂线交于点,在中,对应的边等于斜边的一半,的最小值为,故选:A【点睛】本题考查了动点问题中,两点间距离的最小值问题,解题的关键是:需要确定动点的轨迹,才能方便找到解决问题的突破口13(2021山东东营市中考真题)如图,是边长为1的等边三角形,D、E为线段AC上两动点,且,过点D、E分别作AB、BC的平行线相
12、交于点F,分别交BC、AB于点H、G现有以下结论:;当点D与点C重合时,;当时,四边形BHFG为菱形,其中正确结论为( )ABCD【答案】B【分析】过A作AIBC垂足为I,然后计算ABC的面积即可判定;先画出图形,然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定;如图将BCD绕B点逆时针旋转60得到ABN,求证NE=DE;再延长EA到P使AP=CD=AN,证得P=60,NP=AP=CD,然后讨论即可判定;如图1,当AE=CD时,根据题意求得CH=CD、AG=CH,再证明四边形BHFG为平行四边形,最后再说明是否为菱形【详解】解:如图1, 过A作AIBC垂足为I是边长为1的等边三角形BAC=A
13、BC=C=60,CI= AI=SABC=,故正确;如图2,当D与C重合时DBE=30,是等边三角形DBE=ABE=30DE=AE=GE/BD BG=GF/BD,BG/DFHF=BG=,故正确;如图3,将BCD绕B点逆时针旋转60得到ABN1=2,5=6=60,AN=CD,BD=BN3=302+4=1+4=30NBE=3=30又BD=BN,BE=BENBEDBE(SAS)NE=DE延长EA到P使AP=CD=ANNAP=180-60-60=60ANP为等边三角形P=60,NP=AP=CD如果AE+CD=DE成立,则PE=NE,需NEP=90,但NEP不一定为90,故不成立;如图1,当AE=CD时,
14、GE/BCAGE=ABC=60,GEA=C=60AGE=AEG=60,AG=AE同理:CH=CDAG=CHBG/FH,GF/BH四边形BHFG是平行四边形BG=BH四边形BHFG为菱形,故正确故选B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识点,灵活运用相关知识成为解答本题的关键二、填空题14(2021贵州铜仁市中考真题)如图,将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置,则阴影部分的面积是_;【答案】【分析】交于点,连接;根据全等三角形性质,通过证明,得;结合旋转的性质,得;根据三角函数的性质计算,得,结合正方形和三角形面积关系计算,即可得到答案【
15、详解】解:如图,交于点,连接 根据题意,得:, 正方形绕点顺时针旋转到, 阴影部分的面积故答案为:【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识;解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质,从而完成求解15(2021湖北鄂州市中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点的坐标为,将点绕点顺时针旋转得到点,则点的坐标为_【答案】【分析】根据题意画出图形,易证明,求出OE、BE的长即可求出B的坐标【详解】解:如图所示,点绕点顺时针旋转得到点,过点A作x轴垂线,垂足为D,过点B作x轴垂线,垂足为E,点的坐标为,点的坐标为,CD=2,AD=3,根据旋转的性质,AC=
16、BC,AD=CE=3,CD=BE=2,OE=2,BE=2,故答案为:【点睛】本题主要考查旋转变换和三角形全等的判定与性质,证明是解题关键16(2021湖南中考真题)如图,中,将绕A点顺时针方向旋转角得到,连接,则与的面积之比等于_【答案】【分析】先根据正切三角函数的定义可得,再根据旋转的性质可得,从而可得,然后根据相似三角形的判定可得,最后根据相似三角形的性质即可得【详解】解:在中,由旋转的性质得:,在和中,即与的面积之比等于,故答案为:【点睛】本题考查了正切三角函数、旋转的性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键17(2021江苏苏州市中考真题)如图,射线、互相
17、垂直,点位于射线的上方,且在线段的垂直平分线上,连接,将线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段,若点恰好落在射线上,则点到射线的距离_【答案】【分析】添加辅助线,连接,过点作交ON与点P根据旋转的性质,得到,在和中,根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离【详解】如图所示,连接,过点作交ON与点P线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段,即点在线段的垂直平分线上, 【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角,旋转前、后的图形全等18(2021广西玉林市中考真题)如图、在正六边形中,连接线,与交于点,与交于点为,与交于点,分别延
18、长,于点,设有以下结论:;的重心、内心及外心均是点;四边形绕点逆时针旋转与四边形重合则所有正确结论的序号是_【答案】【分析】由题意易得,则有,进而可得,则有四边形是矩形,然后可得,为等边三角形,最后可得答案【详解】解:六边形是正六边形,在DEF中,同理可得,四边形是矩形,同理可证四边形是矩形,四边形是平行四边形,(ASA),四边形是菱形,NAM=60,NAM是等边三角形,AM=MN,AB=3,MAB=30,ACG=90,G=60,ADG是等边三角形,AC与BD交于点M,由等边三角形的性质及重心、内心、外心可得:的重心、内心及外心均是点,连接OF,如图所示:易得FOA=60,四边形绕点逆时针旋转
19、与四边形重合,综上所述:正确结论的序号是;故答案为【点睛】本题主要考查正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数,熟练掌握正多边形的性质、矩形及菱形的判定与性质、等边三角形的性质与判定、三角形的重心、内心、外心及三角函数是解题的关键19(2021上海中考真题)定义:在平面内,一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离,在平面内有一个正方形,边长为2,中心为O,在正方形外有一点,当正方形绕着点O旋转时,则点P到正方形的最短距离d的取值范围为_【答案】【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值,然后结合旋转的
20、条件即可求解【详解】解:如图1,设的中点为E,连接OA,OE,则AE=OE=1,AEO=90,点O与正方形边上的所有点的连线中,最小,等于1,最大,等于,点P与正方形边上的所有点的连线中,如图2所示,当点E落在上时,最大值PE=PO-EO=2-1=1;如图3所示,当点A落在上时,最小值当正方形ABCD绕中心O旋转时,点P到正方形的距离d的取值范围是故答案为:【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点,准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键20(2021江苏南京市中考真题)如图,将绕点A逆时针旋转到的位置,使点落在上,与交于点E,若,则的长为_【答案】【分析】过点C作C
21、M/交于点M,证明求得,根据AAS证明可求出CM=1,再由CM/证明,由相似三角形的性质查得结论【详解】解:过点C作CM/交于点M,平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形 , ,在和中, 故答案为:【点睛】此题主要考查了旋转的性质,平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键21(2021新疆中考真题)如图,已知正方形ABCD边长为1,E为AB边上一点,以点D为中心,将按逆时针方向旋转得,连接EF,分別交BD,CD于点M,N若,则_【答案】【分析】过点E作EPBD于P,将EDM构造在直角三角形DEP中,设
22、法求出EP和DE的长,然后用三角函数的定义即可解决【详解】解:四边形ABCD是正方形,ABDC,A=BCD=ADC=90,AB=BC= CD=DA=1,DAE绕点D逆时针旋转得到DCF,CF=AE,DF=DE,EDF=ADC=90设AE=CF=2x,DN=5x,则BE=1-2x,CN=1-5x,BF=1+2xABDC,整理得,解得,(不合题意,舍去)过点E作EPBD于点P,如图所示,设DP=y,则,解得,在RtDEP中,即 故答案为:【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数、方程的数学思想等知识点,熟知各类图形的性质与判定是解题的基础,构造直角
23、三角形,利用锐角三角函数的定义是解题的关键22(2021湖北随州市中考真题)如图,在中,将绕点逆时针旋转角()得到,并使点落在边上,则点所经过的路径长为_(结果保留)【答案】【分析】利用勾股定理求出AB=2,根据旋转的性质得到旋转角为=60,再由弧长计算公式,计算出结果【详解】解:,AB=2AC,设AC=x,则AB=2x,由勾股定理得:,解得:x=1,则:AC=1,AB=2,将绕点逆时针旋转角()得到,且点落在边上,旋转角为60,=60,点所经过的路径长为: ,故答案为:【点睛】本题主要考查了勾股定理、旋转的性质和弧长的计算公式,解题关键在于找到旋转角,根据弧长公式进行计算23(2021湖南怀
24、化市中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知,将先向右平移3个单位长度得到,再绕顺时针方向旋转得到,则的坐标是_【答案】(2,2)【分析】直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点位置,然后作图,进而得出答案【详解】解:如图示:,为所求,根据图像可知,的坐标是(2,2),故答案是:(2,2)【点睛】本题主要考查了平移作图和旋转作图,熟悉相关性质是解题关键24(2021浙江温州市中考真题)如图,与的边相切,切点为将绕点按顺时针方向旋转得到,使点落在上,边交线段于点若,则_度【答案】85【分析】连结OO,先证BOO为等边三角形,求出AOB=OBO=60,由与的边相切,可求CBO=30,利用三角形内角
25、和公式即可求解【详解】解:连结OO,将绕点按顺时针方向旋转得到,BO=BO=OO,BOO为等边三角形,OBO=60,与的边相切,OBA=OBA=90,CBO=90-OBO=90-60=30,A=25AOB=90-A=90-25=65AOB=AOB=65,OCB=180-COB-OBC=180-65-30=85故答案为85【点睛】本题考查图形旋转性质,切线性质,等边三角形判定与性质,直角三角形性质,掌握图形旋转性质,切线性质,等边三角形判定与性质,直角三角形性质是解题关键25(2021四川广安市中考真题)如图,在平面直角坐标系中,轴,垂足为,将绕点逆时针旋转到的位置,使点的对应点落在直线上,再将
26、绕点逆时针旋转到的位置,使点的对应点也落在直线上,以此进行下去若点的坐标为,则点的纵坐标为_【答案】【分析】计算出AOB的各边,根据旋转的性质,求出OB1,B1B3,.,得出规律,求出OB21,再根据一次函数图像上的点求出点B21的纵坐标即可【详解】解:ABy轴,点B(0,3),OB=3,则点A的纵坐标为3,代入,得:,得:x=-4,即A(-4,3),OB=3,AB=4,OA=5,由旋转可知:OB=O1B1=O2B1=O2B2=3,OA=O1A=O2A1=5,AB=AB1=A1B1=A2B2=4,OB1=OA+AB1=4+5=9,B1B3=3+4+5=12,OB21=OB1+B1B21=9+(
27、21-1)212=129,设B21(a,),则OB21=,解得:或(舍),则,即点B21的纵坐标为,故答案为:【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,旋转以及直角三角形的性质,求出OAB的各边,计算出OB21的长度是解题的关键26(2021青海中考真题)如图所示的图案由三个叶片组成,绕点O旋转120后可以和自身重合,若每个叶片的面积为4cm2,AOB=120,则图中阴影部分的面积为_【答案】4 cm2【分析】根据旋转的性质和图形的特点解答【详解】每个叶片的面积为4cm2,因而图形的面积是12cm2图案绕点O旋转120后可以和自身重合,AOB为120,图形中阴影部分的面积是图形的面积的,因
28、而图中阴影部分的面积之和为4cm2故答案为4cm2【点睛】本题考查了图形的旋转与重合,理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键注:旋转对称图形的概念:把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后,与初始图形重合,这种图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转对称中心,旋转的角度叫做旋转角27(2021山东枣庄市中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,ABC由ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为_【答案】P(1,-1)【详解】试题分析:连接AA、CC,作线段AA的垂直平分线MN,作线段CC的垂直平分线EF,直线MN和直线EF的交点为P,点P就是旋转中心直线MN为:x=1,设直线CC为y=kx+b,由题意:,
29、 , 直线CC为y=x+,直线EFCC,经过CC中点(,), 直线EF为y=3x+2,由得, P(1,1)考点:坐标与图形变化-旋转三、解答题28(2021四川成都市中考真题)在中,将绕点B顺时针旋转得到,其中点A,C的对应点分别为点,(1)如图1,当点落在的延长线上时,求的长;(2)如图2,当点落在的延长线上时,连接,交于点M,求的长;(3)如图3,连接,直线交于点D,点E为的中点,连接在旋转过程中,是否存在最小值?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由【答案】(1);(2);(3)存在,最小值为1【分析】(1)根据题意利用勾股定理可求出AC长为4再根据旋转的性质可知,最后由等腰三角形的
30、性质即可求出的长(2)作交于点D,作交于点E由旋转可得,再由平行线的性质可知,即可推出,从而间接求出,由三角形面积公式可求出再利用勾股定理即可求出,进而求出最后利用平行线分线段成比例即可求出的长(3)作且交延长线于点P,连接由题意易证明,即得出再由平行线性质可知,即得出,即可证明,由此即易证,得出,即点D为中点从而证明DE为的中位线,即即要使DE最小,最小即可根据三角形三边关系可得当点三点共线时最小,且最小值即为,由此即可求出DE的最小值【详解】(1)在中,根据旋转性质可知,即为等腰三角形,即,(2)如图,作交于点D,作交于点E由旋转可得,即,在中,即,(3)如图,作且交延长线于点P,连接,即
31、,又,在和中 ,即点D为中点点E为AC中点,DE为的中位线,即要使DE最小,最小即可根据图可知,即当点三点共线时最小,且最小值为此时,即DE最小值为1【点睛】本题为旋转综合题考查旋转的性质,勾股定理,等腰三角形的判定和性质,平行线的性质,平行线分线段成比例,全等三角形的判定和性质,中位线的判定和性质以及三角形三边关系,综合性强,为困难题正确的作出辅助线为难点也是解题关键29(2021广西贵港市中考真题)已知在ABC中,O为BC边的中点,连接AO,将AOC绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角),得到EOF,连接AE,CF(1)如图1,当BAC90且ABAC时,则AE与CF满足的数量关系是 ;(2)
32、如图2,当BAC90且ABAC时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由;(3)如图3,延长AO到点D,使ODOA,连接DE,当AOCF5,BC6时,求DE的长【答案】(1);(2)成立,证明见解析;(3)【分析】(1)结论证明,可得结论(2)结论成立证明方法类似(1)(3)首先证明,再利用相似三角形的性质求出,利用勾股定理求出即可【详解】解:(1)结论:理由:如图1中,(2)结论成立理由:如图2中,(3)如图3中,由旋转的性质可知,【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了旋转变换,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确
33、寻找全等三角形或相似三角形解决问题,属于中考压轴题30(2021黑龙江鹤岗市中考真题)如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,在平面直角坐标系内,的三个顶点坐标分别为 (1)画出关于x轴对称的,并写出点的坐标;(2)画出绕点O顺时针旋转后得到的,并写出点的坐标;(3)在(2)的条件下,求点A旋转到点所经过的路径长(结果保留)【答案】(1)见解析,;(2)见解析,;(3)【分析】(1)分别作出点A、B关于x轴的对称点,然后依次连接即可,最后通过图象可得点的坐标;(2)根据旋转的性质分别作出点A、B绕点O旋转90的点,然后依次连接,最后根据图象可得点的坐标;(3)由(2)可先根据勾
34、股定理求出OA的长,然后根据弧长计算公式进行求解【详解】解:(1)如图所示:即为所求,由图象可得;(2)如图所示:即为所求,由图象可得;(3)由(2)的图象可得:点A旋转到点所经过的路径为圆弧,点A旋转到点所经过的路径长为【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式,熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式是解题的关键31(2021内蒙古通辽市中考真题)已知和都是等腰直角三角形,(1)如图1,连接,求证:;(2)将绕点O顺时针旋转如图2,当点M恰好在边上时,求证:;当点A,M,N在同一条直线上时,若,请直接写出线段的长【答案】(1)见解析;(2)见解析;或【分析】(1)证明
35、AMOBNO即可;(2)连接BN,证明AMOBNO,得到A=OBN=45,进而得到MBN=90,且OMN为等腰直角三角形,再在BNM中使用勾股定理即可证明;分两种情况分别画出图形即可求解【详解】解:(1)和都是等腰直角三角形,又,;(2)连接BN,如下图所示:,且,且为等腰直角三角形,在中,由勾股定理可知:,且;分类讨论:情况一:如下图2所示,设AO与NB交于点C,过O点作OHAM于H点,为等腰直角三角形,在中,;情况二:如下图3所示,过O点作OHAM于H点,为等腰直角三角形,在中,;故或【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理等知识,解题的
36、关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型32(2021辽宁本溪市中考真题)在中,平分,交对角线于点G,交射线于点E,将线段绕点E顺时针旋转得线段(1)如图1,当时,连接,请直接写出线段和线段的数量关系;(2)如图2,当时,过点B作于点,连接,请写出线段,之间的数量关系,并说明理由;(3)当时,连接,若,请直接写出与面积的比值【答案】(1);(2),理由见解析;(3)【分析】(1)延长,交于点,根据已知条件证明即可;(2)连接,过F作交的延长线于点,由,得,在由 三边关系利用勾股定理可得;(3)证明,得值,与的面积分别与的面积成比例,可得与面积的比值【详解】(1)如图,延长,交于点,由
37、题意,将线段绕点E顺时针旋转,四边形是平行四边形四边形是平行四边形平分四边形是菱形是等边三角形,四边形是平行四边形=在和中(2)连接,过F作交的延长线于点四边形是矩形,平分四边形是矩形在和中设则在中即整理得:(3)如图由(1)可知平分四边形是平行四边形【点睛】本题考查了轴对称的性质,旋转的性质,三角形全等的性质与判定,三角形相似,勾股定理,锐角三角函数,相似比的概念,平行四边形的性质与判定,菱形的性质与判定,矩形的性质与判定,知识点比较多,熟练掌握以上知识点是解题的关键33(2021黑龙江齐齐哈尔市中考真题)综合与实践数学实践活动,是一种非常有效的学习方式通过活动可以激发我们的学习兴趣,提高动
38、手动脑能力,拓展思推空间,丰富数学体验让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪,体会活动带给我们的乐趣折一折:将正方形纸片ABCD折叠,使边AB、AD都落在对角线AC上,展开得折痕AE、AF,连接EF,如图1(1)_,写出图中两个等腰三角形:_(不需要添加字母);转一转:将图1中的绕点A旋转,使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q,连接PQ,如图2(2)线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为_;(3)连接正方形对角线BD,若图2中的的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N如图3,则_;剪一剪:将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开,如图4(4)求证:【答案】(1)45,;(2);(3);(4)见解
39、析【分析】(1)由翻折的性质可知:,根据正方形的性质:, ,则,为等腰三角形;(2)如图:将顺时针旋转,证明全等,即可得出结论;(3)证明即可得出结论;(4)根据半角模型,将顺时针旋转,连接,可得,通过得出,为直角三角形,结合勾股定理即可得出结论【详解】(1)由翻折的性质可知:为正方形,为等腰三角形(2)如图:将顺时针旋转, 由旋转的性质可得:,由(1)中结论可得为正方形,在和中(3)为正方形对角线,(4)如图:将顺时针旋转,连接,由(2)中的结论可证根据旋转的性质可得:,在中有【点睛】本题是四边形的综合题,考查了正方形的性质,折叠的性质,旋转变换的性质,全等三角形的判定和性质,以及相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,