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1、沪科版八年级数学上册沪科版八年级数学上册15.4 角的平分线角的平分线桐城市吕亭初级中学 谢双燕2018年4月3日15.4 角的平分线角的平分线主讲：吕亭初级中学 谢双燕旧知回顾角的平分线的定义是什么？旧知回顾 已知一个角你会将它平分吗?ABO尺规作角的平分线尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：观察领悟作法，探索思考证明方法：观察领悟作法，探索思考证明方法：观察领悟作法，探索思考证明方法：A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，长为半径作弧，分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线射线
2、即为所求射线即为所求交交于于交交B于于N思考：角是轴对称图形，它的对称轴是思考：角是轴对称图形，它的对称轴是_.角的平分线除了角的平分线除了平分这个角以外，还有其他的性质吗？平分这个角以外，还有其他的性质吗？ACBO角的平分线所在的直线角的平分线所在的直线 操作：操作：（1）画）画AOB.（2）作）作AOB的平分线的平分线OC.（3）在）在OC上任取一点上任取一点P，过点，过点P作边作边OA、OB的的 垂线段垂线段.那么这两条垂线段那么这两条垂线段PE、PF有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？探究角平分线的性质探究角平分线的性质证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的
3、定义）（角平分线的定义）PF OA，PE OB（已知）（已知）PFO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PFO和和PEO中中 PFO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PFO PEO（AAS）PF=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EF F12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PEPEOAOA于点于点E E，PFOBPFOB于点于点F F求证求证:PE=PFPE=PF(3)验证验证猜想猜想:定理定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线
4、上的点到角的两边的距离相等.格式：格式：op是是AOB的平分线的平分线，PE OA，PF OB（已知）（已知）_（_）APFBOEC12角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线上的点到角两边的距离相等PE=PF角平分线的性质定理角平分线的性质定理定理定理 角的平分线上的点到这个角的两边角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的距离相等。定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。应用定理的书写格式：应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平
5、分线 PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离角平分线上的点到角两边的距离相等。相等。）推理的理由有推理的理由有三个，必须写三个，必须写完全，不能少完全，不能少了任何一个。了任何一个。A AO OB BD DP PE E例题例题1 已知：如图，点已知：如图，点P、D在在AOB的平分线上，的平分线上，OA=OB，PM BD，PN AD，垂足分别是点，垂足分别是点M、N.求证：求证：PM=PN.APNBOMD12相等吗相等吗?例例2 如图所示，如图所示，AC平分平分DAB,且且DC=BC,CE AB于点于点,求证求证:2AE=AB+ADFDABCEDABCEF四四.练习练习 ABC中中,C=90,
6、AD平分平分CAB,BC=6cm,BD=4cm,则点则点D到到AB的距离是的距离是_CABDE请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容？请同学们谈谈本堂课都学习了什么内容？角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.格式：格式：op是是AOB的平分线的平分线，PE OA，PF OB（已知）（已知）PE=PF（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）角平分线的性质定理多用于证明角平分线的性质定理多用于证明线段相等线段相等角的平分线角的平分线 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相交于点相交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：过点证明：过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、F BM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN作业:课本