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1、解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值一元复合函数：一元复合函数：求导法则：求导法则：微分法则：微分法则：解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增
2、值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1.中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形证证解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公
3、式中的导数 称为称为全导数全导数.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值若定理中若定理中 在点在点说明说明:例如例如:易知易知:但复合函数但复合函数偏导数连续减弱为偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在,则定理结论则定理结论不一定成立不一定成立.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值偏导数不连
4、续偏导数不连续解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：2.中间变量均为多元函数的情形中间变量均为多元函数的情形解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值链式法则链式法则如图示如图示解放
5、军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 类似地，设类似地，设u=(x,y)、v=(x,y)、w=(x,y)都在点都在点(x,y)具有对具有对x和和y的偏导数，函数的偏导数，函数z=f(u,v,w)在对应点在对应点(u,v,w)具有连续偏导数具有连续偏导数,则复合函则复合函数数z=f(x,y),(x,y),(x,y)在点在点(x,y)的两个偏的两个偏导数存在导数存在,且可用下列公式计算：且可用下列公式计算：解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理
6、学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值3.中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 定理定理3 若若u=(x,y)在点在点(x,y)可导可导，v=(y)在点在点y可导，函数可导，函数z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)具有连续偏导，具有连续偏导，则复合函数则复合函数z=f(x,y),(y)在点在点(x,y)可导，且可导，且 解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的
7、，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解解解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价
8、值例例2.解解:解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例3.设设 求全导数求全导数解解:注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化
9、而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值为简便起见为简便起见 ,引入记号引入记号例例4.设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,求求解解:令令则则解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值(当 在二、三象限时,)二阶偏导数连续二阶偏导数连续,求下列表达式在求下列表达式在解解:已知已知极坐标极坐标系下的形式系下的形式(1),则则例例5.5.设设解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高
10、等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 已知注意利用注意利用已有公式已有公式解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值同理可得同理可得解放军理工大学理学院数理
11、系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值设函数设函数的全微分为：的全微分为：可见无论可见无论 u,v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,则复合函数则复合函数都可微都可微,其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值例例1.利
12、用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1.1.解解:所以所以例例 6.6.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 思考题思考题1.已知已知求求解解:由由两边对两边对x 求导求导,得得解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值求求在点在点处可微处可微,且且设函数设函数解解:由题设由题设(2001考研考研)2.解放军理工大学理学院数理系解放军理工大学理学院数理系高等数学高等数学资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值内容小结内容小结1.复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉路偏导”例如例如,2.全微分形式不变性全微分形式不变性对对 不论不论 u,v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,