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1、6 6 二阶线性微分方程解的性质与通解结构二阶线性微分方程解的性质与通解结构n二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的概念n二阶线性齐次微分方程解的性质与通解的结构二阶线性齐次微分方程解的性质与通解的结构n二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构n常数变易法常数变易法一一.二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的概念定义定义1：二二.二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质 与通解的结构与通解的结构设有二阶线性齐次微分方程设有二阶线性齐次微分方程(2)关于关于(2)的解，我们有：的解，我们有：定理定理1 1 都是方程都是方程(2)(2)的解，的解
2、，线性齐次方程的解具有可叠加性。线性齐次方程的解具有可叠加性。说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,是是某二阶齐次方程的解某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解并不是通解但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与下面引入函数的线性相关与 线性无关概念线性无关概念.定义定义2 2 成立，则称此成立，则称此 n n 个函数在个函数在 I I 内内线性相关线性相关，否则否则线性无关线性无关。例如，例如，在在(,)上都上都有有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，若在
3、某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为必需全为 0,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.特别地特别地:两个函数在区间两个函数在区间 I上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关线性相关存在不全为存在不全为 0 的的使使(无妨设无妨设线性无关线性无关常数常数思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0,则则必线性必线性相关相关(证明略证明略)线性无关线性无关定理定理2 2 对高阶线性齐次方程，有类似定理：对高阶线性齐次方程，有类似定理：定理定理3 3 若若是是n阶线性齐次方程阶线性齐次方
4、程其中其中为任意常数。为任意常数。的的n个线性无关的特解，则它的通解为：个线性无关的特解，则它的通解为：三三.二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程 解的性质与通解的结构解的性质与通解的结构定理定理4 4 设设 是非齐次方程是非齐次方程的一个特解，的一个特解，为对应的齐次方程的通解，则为对应的齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解。为非齐次方程的通解。证明：证明：由假设知：由假设知：例例已知已知是对应齐次方程的通解是对应齐次方程的通解，容易验证：容易验证：故该方程的通解为故该方程的通解为，为该方程的一个特解为该方程的一个特解.例例1 1 证明：如果证明：如果 和和 是是 的两个线性无关解，
5、则的两个线性无关解，则 是对应齐次方程是对应齐次方程的解。已知二阶线性非齐次方程的的解。已知二阶线性非齐次方程的3 3个特解为个特解为 求该方程满足初始条件求该方程满足初始条件 的特解。的特解。证明：证明：要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次方程的通解方程的通解.只有零解。只有零解。故得齐次方程的两个线性无关的特解，故得齐次方程的两个线性无关的特解，非齐方程的通解为：非齐方程的通解为：例例2.2.已知微分方程已知微分方程个解个解求此求此方程满足初始条件方程满足初始条件的的特解特解.解解:是是对应齐次方程的解对应齐次方程的解,且且常数常数因而线性无关因而线性无
6、关,故原故原方程通解为方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为有有三三 解的叠加原理解的叠加原理定理定理 5.5.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解四、常数变易法四、常数变易法复习复习:常数变易法常数变易法:对应齐次方程的通解对应齐次方程的通解:设设非齐次方程的解为非齐次方程的解为 代入原方程确定代入原方程确定 对对二阶非齐次方程二阶非齐次方程 情形情形1.已知对应齐次
7、方程通解已知对应齐次方程通解:设设的解为的解为 由于有两个待定函数由于有两个待定函数,所以要建立两个方程所以要建立两个方程:令令于是于是将将以上结果代入方程以上结果代入方程 :得得故故,的系数行列式的系数行列式是对应是对应齐次方程的解齐次方程的解积分得积分得:代入代入 即得非齐次方程的通解即得非齐次方程的通解:于是得于是得 说明说明:将将的解设为的解设为 只有一个必须满足的条件即方程只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一因此必需再附加一 个个条件条件,方程方程的引入是为了简化计算的引入是为了简化计算.情形情形2.2.仅知仅知的齐次方程的一个非零特解的齐次方程的一个非零特解 代入代入 化
8、简得化简得设其设其通解为通解为 积分得积分得(一阶线性方程一阶线性方程)由此得原方程由此得原方程的通解的通解:例例5.5.的通解为的通解为 的通解的通解.解解:将所给方程化为将所给方程化为:已知齐次方程已知齐次方程求求利用利用,建立方程组建立方程组:积分得积分得故所求故所求通解为通解为例例6.6.的通解的通解.解解:对应齐次方程为对应齐次方程为已知对应的齐次方程有特解已知对应的齐次方程有特解:令令代入非齐次方程后化简得代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换此题不需再作变换.特征根特征根:设设的特解为的特解为于是得于是得的通解的通解:故原方程通解为故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程二阶常系数非齐次方程)代入代入可得可得:解：解：Hw:p301 1(2,4,6,8)5,8.