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1、第七节二阶线性微分方程解的结构现在学习的是第1页，共20页二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程二阶线性微分方程的一般形式是的一般形式是其中其中丶丶及及是自变量是自变量 的已知函数的已知函数,函数函数称为方程称为方程(1)的的自由项自由项.当当时时,方程方程(1)成为成为这个方程称为这个方程称为二阶齐次线性微分方程二阶齐次线性微分方程,相应地相应地,方程方程(1)称为称为二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程.现在学习的是第2页，共20页二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的概念方程方程(1)称为称为二阶非齐次线性微分方程二阶非齐次线性微分方程.本节所讨论的二阶线
2、性微分方程的解的一些性质本节所讨论的二阶线性微分方程的解的一些性质,还可以推广到还可以推广到 阶线性微分方程阶线性微分方程现在学习的是第3页，共20页二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理定理定理1如果函数如果函数与与是方程是方程(1)的两个的两个解解,则则也是方程也是方程(1)的解的解,其中其中是任意常数是任意常数.现在学习的是第4页，共20页函数的线性相关与线性无关函数的线性相关与线性无关定义定义1设设是定义在区间是定义在区间 内内数数.如果存在两个不全为零的常数如果存在两个不全为零的常数使得在区使得在区间间 内恒有内恒有则称这两个函数则称这两个函数在区间在区间内内线性相关线性相
3、关.否则称否则称线性无关线性无关.的两个函的两个函现在学习的是第5页，共20页二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理定理定理 2若若与与是方程是方程(1)的两个线性无的两个线性无关的特解关的特解,则则就是方程就是方程(1)的通解的通解,其中其中是任意常数是任意常数.现在学习的是第6页，共20页二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理定理定理 3设设是方程是方程(1)的一个特解的一个特解,而而是其对应是其对应的齐次方程的齐次方程(2)的通解的通解,则则就是二阶非齐次线性微分方程就是二阶非齐次线性微分方程(1)的的通解通解.现在学习的是第7页，共20页二阶线性微分方程解的定理二阶
4、线性微分方程解的定理定理定理4设设与与分别是方程分别是方程与与的特解的特解,则则是方程是方程的特解的特解.现在学习的是第8页，共20页二阶线性微分方程解的定理二阶线性微分方程解的定理定理定理5设设是方程是方程的解的解,其中其中为实值函数为实值函数,为纯虚数为纯虚数.则则与与分别是方程分别是方程与与 的解的解.现在学习的是第9页，共20页例例1已知已知是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：求此方程的通解求此方程的通解;写出此微分方程写出此微分方程;求此微分方程满足求此微分方程满足的特解的特解.现在学习的是第10页，共20页齐次线性微分方程的解法齐次线性微分方
5、程的解法设设是方程是方程(1)的一个已知非零的一个已知非零特解特解,作变量替换作变量替换现在学习的是第11页，共20页解线性微分方程的降阶法解线性微分方程的降阶法把它们代入把它们代入(1)式式,得得再作变量替换再作变量替换得得现在学习的是第12页，共20页解线性微分方程的降阶法解线性微分方程的降阶法分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得为任意常数为任意常数).对对积分积分,得得为任意常数为任意常数).代回原变量代回原变量,就得到方程就得到方程(1)的通解的通解现在学习的是第13页，共20页解线性微分方程的降阶法解线性微分方程的降阶法为任意常数为任意常数).代回原变量代回原变量,就得到方程就得
6、到方程(1)的通解的通解这个公式称为二阶线性微分方程的这个公式称为二阶线性微分方程的刘维尔公式刘维尔公式.现在学习的是第14页，共20页例例2 已知已知是方程是方程个解个解,试求方程的通解试求方程的通解.的一的一现在学习的是第15页，共20页常数变易法常数变易法设有二阶非齐次线性方程设有二阶非齐次线性方程如果其对应的齐次方程的通解为如果其对应的齐次方程的通解为设非齐次方程设非齐次方程(1)的特解为的特解为其中其中是两个特定函数是两个特定函数,对对求导数求导数,得得现在学习的是第16页，共20页常数变易法常数变易法我们补充如下条件我们补充如下条件:得方程组得方程组现在学习的是第17页，共20页常数变易法常数变易法得方程组得方程组上述方程组有唯一解上述方程组有唯一解.解得解得现在学习的是第18页，共20页常数变易法常数变易法积分并取其一个原函数积分并取其一个原函数,得得于是于是,所求特解为所求特解为所求方程所求方程(1)的通解的通解现在学习的是第19页，共20页例例3求方程求方程的通解的通解.现在学习的是第20页，共20页