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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性微分方程解的结构第五节（第五节（1 1）二、二阶线性微分方程解的结构二、二阶线性微分方程解的结构 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.机动 目录
2、 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶线性微分方程时,称为二阶非齐次线性微分方程;时,称为二阶齐次线性微分方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 证毕二、二阶线性微分方程解的结构是二阶齐次线性方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无
3、关概念.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义定义定义是定义在区间 I 上的 两个函数,使得则称这 两个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关线性相关;又如，若在某区间 I 上必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性相关线性无关const机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.2.是二阶齐次线性方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 是二阶非齐次线性方程的一个特解,是其对应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得复习 目录 上页 下页 返回 结束