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1、1二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质 第四节第四节一、二阶线性微分方程的一般形式一、二阶线性微分方程的一般形式二、二阶齐次线性方程解的性质二、二阶齐次线性方程解的性质三、二阶非齐次线性方程解的性质三、二阶非齐次线性方程解的性质2为为二阶线性微分方程二阶线性微分方程. , )()()(xfyxqyxpy 时时, 称为非齐次方程称为非齐次方程 ; 0)(xf时时, 称为齐次方程称为齐次方程.复习复习: 一阶线性方程一阶线性方程)()(xQyxPy通解通解:xexQexxPxxPd)(d)(d)(xxPeCyd)(非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Yy0)(xf其中其
2、中p(x) , q(x) ,f (x) 均为均为 连续函数连续函数一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程的一般形式的一般形式形如：形如： 3 )(11yCxP )(11yCxQ0证毕证毕二、线性齐次方程解的性质二、线性齐次方程解的性质)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程是二阶线性齐次方程0)()( yxQyxPy的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:)()(2211xyCxyCy将代入方程左边代入方程左边, 得得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (叠加原理叠加原理) )()(2211xyCxyC
3、y则),(21为任意常数CC定理定理1.4说明说明:不一定不一定是所给二阶方程的通解是所给二阶方程的通解.例如例如,)(1xy是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,)(2)(12xyxy也是齐次方程的解也是齐次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解并不是通解但是：但是：)()(2211xyCxyCy则：则：5定义：定义： 设函数设函数如果存在不全为如果存在不全为0得常数得常数12,k k1122( )( )0k y xk yx使得：使得：成立，则称函数成立，则称函数线性相关线性相关；否则称函数线性无关。否则称函数线性无关。例例2：判断下列函数组线性相关性：
4、判断下列函数组线性相关性：（1）（2）（3）12( ),( ),y xyx相关相关无关无关无关无关,xxe esin ,cosxx,7xx6两个函数在区间两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:)(),(21xyxy线性相关线性相关1221( )( )y xkCyxk ( 无妨设无妨设)01k)(),(21xyxy线性无关线性无关)()(21xyxy常数常数思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为中有一个恒为 0, 则则)(),(21xyxy必线性必线性 相关相关7定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程
5、的两个线性无关特解性无关特解, 则则)()(2211xyCxyCy数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解有特解,cos1xy ,sin2xy 且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为xCxCysincos21推论推论. nyyy,21若是是 n 阶齐次方程阶齐次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的的 n 个线性无关解个线性无关解, 则方程的通解为则方程的通解为)(11为任意常数knnCyCyCyxytan21y为任意常21,(CC8例例1：已知方程已知方程023 yyy1、验证、验证xey 1xey32xey23是方程的特解。是
6、方程的特解。2、问、问xxececy321xxececy221是否是方程的解，是否是方程的解，解解 1、三个函数分别代入方程可知均为方程的特解。三个函数分别代入方程可知均为方程的特解。 2、xxececy321是方程的解，是方程的解，xeccy)3(21xec3xxececy221其含有两个独立的任意常数，则是其含有两个独立的任意常数，则是方程的通解。方程的通解。特点：特点：312yy（常数）（常数）xeyy13（函数）（函数）若是、是否是通解。若是、是否是通解。但：但：不是通解。不是通解。9.2)0(, 0)0(,0)24(422212的特解求该方程满足解有两个特已知 yyxeyeyyxyx
7、yxx:解,2221是两线性无关的解xxxeyey方程的通解2221xxxeCeCy2)0(, 0)0(yy由特解22xxey 例例210三、线性非齐次方程解的性质三、线性非齐次方程解的性质 )(* xy设是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解 .证证: 将将)(*)(xyxYy代入方程代入方程左端左端, 得得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)
8、*( )(yYxQ11)(*)(xyxYy故是非齐次方程的解是非齐次方程的解, 又又Y 中含有中含有两个独立任意常数两个独立任意常数,例如例如, 方程方程xyy 有特解有特解xy *xCxCYsincos21对应齐次方程对应齐次方程0 yy有通解：有通解：因此该方程的通解为因此该方程的通解为xxCxCysincos21证毕证毕因而因而 也是通解也是通解 .定理定理4 若若 xyxy21,是非齐次微分方程两个相异的特是非齐次微分方程两个相异的特解，则：解，则： xyxyxy21是对应齐次微分方程的解。是对应齐次微分方程的解。12定理定理 5. xyxy*21)(设分别是方程分别是方程的特解的特解
9、,是方程是方程)()()(1xfyxQyxPy *2*1yyy则 xfxfyxQyxPy21)()()( 的特解的特解. (非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理) 定理定理3, 定理定理5 均可推广到均可推广到 n 阶线性非齐次方程阶线性非齐次方程. xfyxQyxPy2)()( 13定理定理6.)(,),(),(21xyxyxyn设是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn无关特解无关特解, 给定给定 n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非
10、齐次方程的特解是非齐次方程的特解, 则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解14例例3. 已知微分方程已知微分方程)()()(xfyxqyxpy 个解个解,2321xxeyeyxy求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件3)0(, 1)0(yy的特解的特解 .解解:1312yyyy与是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解, 且且xexeyyyyxx21312常数常数因而线性无关因而线性无关, 故原方程通解为故原方程通解为)()(221xeCxeCyxxx代入初始条件代入初始条件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解为故所求特解为有三有三