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1、1.4 1.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 2021/8/9 星期一1问题提出问题提出 1.1.在什么条件下，函数在什么条件下，函数f(x)f(x)在闭区间在闭区间aa，bb上一定存在最大值和最小值？上一定存在最大值和最小值？函数函数y yf(x)f(x)的图象是一条连续不断的曲线的图象是一条连续不断的曲线 2.2.如果在闭区间如果在闭区间aa，bb上函数上函数y yf(x)f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么如的图象是一条连续不断的曲线，那么如何求出函数何求出函数f(x)f(x)在区间在区间aa，bb上的最大上的最大值和最小值？值和最小值？将函数将函数f(x)f(x)在开区
2、间（在开区间（a a，b b）上的所有极值）上的所有极值与区间端点函数值进行比较，其中最大者为与区间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值，最小者为最小值最大值，最小者为最小值.2021/8/9 星期一23.3.生活中经常遇到求利润最高，产量最生活中经常遇到求利润最高，产量最大，成本最低，用料最省等实际问题，大，成本最低，用料最省等实际问题，这些问题通常称为这些问题通常称为优化问题优化问题.解决优化问解决优化问题的本质就是求函数的最值，因此，以题的本质就是求函数的最值，因此，以函数为载体导数为工具，解决生活中的函数为载体导数为工具，解决生活中的优化问题，是数学应用领域的一个重要优化问题，是数学
3、应用领域的一个重要课题课题.2021/8/9 星期一3生活中的优2021/8/9 星期一4探究（一）：探究（一）：海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计【背景材料】【背景材料】学校或班级举行活动，通学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为心面积为128dm128dm2 2，上、下两边各空，上、下两边各空2dm2dm，左、右两边各空左、右两边各空1dm.1dm.2021/8/9 星期一5思考思考1 1：版心面积为定值版心面积为定值128dm128dm2 2，海报，海报的面
4、积是否也为定值？的面积是否也为定值？思考思考2 2：设版心的高为设版心的高为x x，则海报的面积，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？为多少？海报四周空白的面积为多少？2021/8/9 星期一6思考思考3 3：设海报四周空白的面积为设海报四周空白的面积为S(x)S(x)，则则S(x)S(x)的最简表达式如何？其定义域是的最简表达式如何？其定义域是什么？什么？2021/8/9 星期一7思考思考4 4：海报四周空白的面积海报四周空白的面积S(x)S(x)是否存是否存在最值？若存在，如何求其最值？在最值？若存在，如何求其最值？思考思考5 5：如何设计海报的尺寸，才能使四如何设计海报的尺寸，
5、才能使四周空白面积最小？周空白面积最小？版心高为版心高为16dm16dm，宽为宽为8dm8dm时，时，2021/8/9 星期一8探究（二）：探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利饮料瓶大小对饮料公司利润的影响润的影响【背景材料】【背景材料】某制造商制造并出售球形某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8r20.8r2分，其中分，其中r(r(单位：单位：cm)cm)是瓶子的是瓶子的半径半径.已知每出售已知每出售1mL1mL的饮料，制造商可的饮料，制造商可获利获利0.20.2分，且制造商能制作的瓶子的最分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为大半径为6cm
6、.6cm.2021/8/9 星期一9思考思考1 1：1mL1mL饮料所占的体积是多少饮料所占的体积是多少cmcm3 3？半径为半径为r r的瓶子最多能装多少的瓶子最多能装多少mLmL的饮料？的饮料？思考思考2 2：每瓶满装的饮料的利润每瓶满装的饮料的利润(单位：单位：分分)是多少？是多少？思考思考3 3：设每瓶满装饮料的利润为设每瓶满装饮料的利润为f(r)f(r)，则函数则函数f(r)f(r)的定义域是什么？的定义域是什么？（0 0，6 6 2021/8/9 星期一10思考思考4 4：函数函数是否存在最值？若存在，如何求其最值是否存在最值？若存在，如何求其最值？2021/8/9 星期一11思考
7、思考5 5：函数函数的大致图象是什么？据图象分析，瓶子的大致图象是什么？据图象分析，瓶子半径的大小对制造商的利润产生什么影半径的大小对制造商的利润产生什么影响？响？O Ox xy y2 23 36 6当当0 0r r3 3时，利润为负时，利润为负值；当值；当r r3 3时，利润为时，利润为零；当零；当r r3 3时，利润为时，利润为正值，并随着瓶子半径正值，并随着瓶子半径的增大利润也相应增大的增大利润也相应增大.2021/8/9 星期一12思考思考6 6：市场上等量的小包装的物品一般市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均
8、价格要高），在数学一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？上有什么道理？将包装盒捏成球状，因为小包装的半径将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润来平衡与大包装的利润.2021/8/9 星期一13探究（三）：探究（三）：磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题【背景材料】【背景材料】计算机把信息存储在磁盘计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇是指不同半
9、径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据据其磁化与否可分别记录数据0 0或或1 1，这，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图所示如图所示.2021/8/9 星期一14为了保障磁盘的分辨率，磁道之间为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于的宽度必须大于m m，每比特所占用的磁道，每比特所占用的磁道长度不得小于长度不得小于n.n.为了数据检索的方便，为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的磁盘格式
10、化时要求所有磁道具有相同的比特数比特数.R Rr r2021/8/9 星期一15思考思考1 1：现有一张半径为现有一张半径为R R的磁盘，它的的磁盘，它的存储区是半径介于存储区是半径介于r r与与R R的环形区域，且的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？张磁盘的磁道数最多可达多少？R Rr r思考思考2 2：由于每条磁道上的比特数相同，由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？磁道上的比特数？最内一条磁道最内一条磁道.2021/8/9 星期一16思考思考
11、3 3：要使磁盘的存储量达到最大，那要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？么最内一条磁道上的比特数为多少？R Rr r思考思考4 4：这张磁盘的存储量最大可达到多这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？少比特？2021/8/9 星期一17思考思考5 5：若若R R为定值，为定值，r r为变量，那么这张为变量，那么这张磁盘的存储量磁盘的存储量如何变化？有何最值？如何变化？有何最值？时，存储量最大时，存储量最大.R Rr r2021/8/9 星期一18思考思考6 6：如果每条磁道存储的信息与磁道如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存的长度成正比，那么如何计
12、算磁盘的存储量？此时，是不是储量？此时，是不是r r越小，磁盘的存储越小，磁盘的存储量越大？量越大？R Rr r时，存储量最大时，存储量最大.2021/8/9 星期一19理论迁移理论迁移例例 某汽车制造厂有一条价值为某汽车制造厂有一条价值为6060万元万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入已知投入x x万元用于技术改造，所获得的万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为产品的增加值为(60(60 x)xx)x2 2万元，并且技万元，并且技改投入比率改投入比率 .求当技改投入求当技改投入
13、多少万元时，所获得的产品的增加值为多少万元时，所获得的产品的增加值为最大？最大？技改投入技改投入4040万元万元 2021/8/9 星期一20小结作业小结作业1.1.解决优化问题的基本思路：解决优化问题的基本思路：优化问题优化问题用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题的答案优化问题的答案用导数解决数学问题用导数解决数学问题2021/8/9 星期一212.2.解决优化问题的实质是将实际问题解决优化问题的实质是将实际问题化归为函数的最值问题来处理，其探究化归为函数的最值问题来处理，其探究过程是一个典型的数学建模过程过程是一个典型的数学建模过程.对目标对目标函数的最值，要根据函数式的特点，
14、用函数的最值，要根据函数式的特点，用适当的方法求解，有时用基本不等式或适当的方法求解，有时用基本不等式或二次函数图象求最值比用导数更方便二次函数图象求最值比用导数更方便.3.3.对优化问题中的函数关系，要注意对优化问题中的函数关系，要注意根据实际背景确定函数的定义域，如果根据实际背景确定函数的定义域，如果目标函数在定义域内只有一个极值点，目标函数在定义域内只有一个极值点，则这个极值点一般就是最值点则这个极值点一般就是最值点.2021/8/9 星期一22例例1 1 一艘轮船在航行中每小时的燃料一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小
15、时度为每小时10km10km时，燃料费是每小时时，燃料费是每小时6 6元，元，其它与速度无关的费用是每小时其它与速度无关的费用是每小时9696元，元，问此轮船以何种速度航行时，能使每行问此轮船以何种速度航行时，能使每行驶驶1km1km的总费用最小？的总费用最小？20km/h 20km/h 2021/8/9 星期一23例例2 2 用总长为用总长为14.8m14.8m的钢条制作一个长的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长底面的一边比另一边长0.5m0.5m，那么当容，那么当容器的高为多少时，其容积最大？最大容器的高为多少时，其容积最大？最大容积为多少？积为多少？高为高为1.2m1.2m，最大容积为，最大容积为1.8m1.8m3 3.2021/8/9 星期一24例例3 3如图所示，一条宽为如图所示，一条宽为1m1m的走廊与的走廊与另一条走廊垂直相连，要使一条长为另一条走廊垂直相连，要使一条长为8m8m的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的细杆能水平通过拐角，问另一条走廊的宽度至少为多少的宽度至少为多少m m？细杆细杆走廊走廊走廊走廊1m1m2021/8/9 星期一25作业：作业：P37P37习题习题1.4A1.4A组：组：1 1，2 2，3.3.2021/8/9 星期一26