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1、2、求最大（最小）值应用题的一般方法、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实际，结合实际，确定最值或最值点确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质首先
2、，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题将应用问题转化为数学问题,再解再解.3.4生活中的优化问题生活中的优化问题2021/8/9 星期一1例例1、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？子容积最大？最大容积是多少？2021/8/9 星期一2解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)
3、/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大(接近接近60)时时,箱箱子的容积很小子的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.2021/8/9 星期一3 2、若函数、若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最
4、小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际意义2021/8/9 星期一4hr例例2、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？2021/8/9 星期一5解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+
5、2r2.由由V=r2h,得得 ,则则令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底直径相等时当罐的高与底直径相等时,所用的材料最省所用的材料最省.2021/8/9 星期一6xy例例3:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的
6、面的面积积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).令令 ,得得所以当所以当 时时,因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是2021/8/9 星期一7应用问题要引起重视应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大存在最大(小小)值值,而且函数在这个定义域内又只有而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点唯一的极值点,那么立即可以判定那么立即可以判定,这个极值点的函这个极值点的函 数值就是最大数值就是最大(小小)值值,这一点在解决实际问题时很这一点在解决实际问题时很 有用有用.课堂小结课堂小结2021/8/9 星期一8