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1、 14生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例1解决实际应用问题的基本步骤一般地，高考中的数学应用往往是以现实生活为原型设计的，其目的在于考查学生对数学语言的阅读、理解、表达与转化能力，求解时一般按以下几步进行：(1)阅读理解，认真审题就是读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟实际背景中的数学本质，写出题中的数量关系，实现应用问题向数学问题转化(2)引引入入数数学学符符号号，建建立立数数学学模模型型一一般般地地，设设自自变变量量为为x，函函数数为为y，并并用用x表表示示相相关关的的量量，运运用用已已掌掌握握的的数数学学知知识识、物物理理知知识识及及其其他他相相关关的的知知识识，将将
2、问问题题中中的的数数量量关关系系表表示示为为一一个个数数学学关关系系式式，实实现现问问题题的的数数学学化化，即即建建立立数数学模型学模型(3)运用数学知识和方法解决上述问题运用数学知识和方法解决上述问题(4)检验结果的实际意义并给出答案检验结果的实际意义并给出答案2求最优化问题的步骤求最优化问题的步骤求实际问题中的最大求实际问题中的最大(小小)值，主要步骤如下：值，主要步骤如下：(1)抽抽象象出出实实际际问问题题的的数数学学模模型型，列列出出变变量量之之间间的的函函数数关关系式系式yf(x)；(2)求出函数的导数求出函数的导数f(x)，解方程，解方程f(x)0；(3)比比较较函函数数在在区区间
3、间端端点点和和使使f(x)0的的点点的的取取值值大大小小，最最大者为最大值，最小者为最小值大者为最大值，最小者为最小值1解解决决实实际际应应用用问问题题时时，要要把把问问题题中中所所涉涉及及的的几几个个变变量量转转化化成成函函数数关关系系式式，这这需需要要通通过过分分析析、联联想想、抽抽象象和和转转化完成，函数的最值要由化完成，函数的最值要由 和和 确确定定，当定义域是当定义域是且函数只有一个且函数只有一个时，这个时，这个 也也就就是它的是它的 2生生活活中中经经常常遇遇到到求求利利润润最最大大、用用料料最最省省、效效率率最最高高等等问题，这些问题通常称为问题，这些问题通常称为通通过过前前面面
4、的的学学习习，我我们知道们知道 是求函数最大是求函数最大(小小)值的有力工具，运用值的有力工具，运用 可可以以解决一些生活中的解决一些生活中的 极值极值端点的函数值端点的函数值开区间开区间极值极值极值极值最值最值优化问题优化问题导数导数导数导数优化问题优化问题例1在在边边长长为为60cm的的正正方方形形铁铁片片的的四四角角上上切切去去相相等等的的正正方方形形，再再把把它它的的边边沿沿虚虚线线折折起起，做做成成一一个个无无盖盖的的方方底底箱箱子子，箱箱底底的的边边长长是是多多少少时时，箱箱子子的的容容积积最最大大？最最大大容容积是多少？积是多少？分析分析根据所给几何体的体积公式建模根据所给几何体
5、的体积公式建模解析设设箱箱高高为为xcm，则则箱箱底底边边长长为为(602x)cm，则则得得箱子容积箱子容积V是是x的函数，的函数，V(x)(602x)2x(0 x30)4x3240 x23600 x.V(x)12x2480 x3600，令令V(x)0，得，得x10，或，或x30(舍去舍去)当当0 x0，当当10 x30时，时，V(x)0.当当x10时时，V(x)取取极极大大值值，这这个个极极大大值值就就是是V(x)的的最最大大值值答答：当当箱箱子子的的高高为为10cm，底底面面边边长长为为40cm时时，箱箱子子的的体体积最大积最大点评在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么
6、只需根据实际意义判定是最大值还是最小值不必再与端点的函数值进行比较已已知知圆圆柱柱的的表表面面积积为为定定值值S，求求当当圆圆柱柱的的容容积积V最最大大时时圆圆柱的高柱的高h的值的值解析设圆柱的底面半径为设圆柱的底面半径为r，高为，高为h，则则S圆柱底圆柱底2r2，S圆柱侧圆柱侧2rh，例例2有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的的B处，乙厂到河岸的垂足处，乙厂到河岸的垂足D与与A相距相距50km，两厂在此岸边合，两厂在此岸边合建一个供水站建一个供水站C，从
7、供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米为每千米3a元和元和5a元，问供水站元，问供水站C建在岸边何处才能使水建在岸边何处才能使水管费用最省？管费用最省？分析根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置解析根根据据题题意意知知，只只有有点点C在在线线段段AD上上某某一一适适当当位位置置，才才能能使总运费最省，设使总运费最省，设C点距点距D点点xkm，则，则BD40，AC50 x，令令y0，解得，解得x30.当当0 x3
8、0时，时，y0；当；当30 x0.因因此此函函数数在在x30(km)处处取取得得最最小小值值，此此时时AC50 x20(km)供供水水站站建建在在A，D之之间间距距甲甲厂厂20km处处，可可使使水水管管费费用用最最省省点评解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解对于这类问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大思维障碍运算不过关，得不到正确的答案，对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不到正确的解题思路，在此需要
9、我们依据问题本身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进行一番选择分析分析根据题意，月收入月产量根据题意，月收入月产量单价单价px，月利润月收入，月利润月收入成本成本px(50000200 x)(x0)，列出函数关系式建立数学模型，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值后再利用导数求最大值答答：每每月月生生产产200吨吨产产品品时时利利润润达达到到最最大大，最最大大利利润润为为315万万元元点点评评建建立立数数学学模模型型后后，注注意意找找准准函函数数的的定定义义域域，这这是是此此类类题题解解答答过程中极易出错的地方过程中极易出错的地方一、选择题1曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30的最短距离为()2以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A10 B15 C25 D503用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为34，那么容器容积最大时，高为()A0.5m B1m C0.8m D1.5mw答案答案A