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1、第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（1 1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 图形图形 方程方程 方程方程 图形图形曲面直纹性.知识结构知识结构:根据图形的几何特征建立它们的方程，和从方程出发讨论它们的图形的几何特性，是学习本课
2、程所应掌握的基本技能 看看书看看书 想一想想一想第一节第一节 柱面柱面目标：目标：通过本节的学习，了解柱面的有 关概念，掌握柱面方程的求法.空间曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影重点难点：重点难点：柱面方程的求法.空间曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影空间曲线在坐标面上投影引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解解:在 xoy 面上，表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标
3、都满足此方程,一一.概念概念观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:定义定义4.1.14.1.1在空间，由平行于定方向且与在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做叫做柱面柱面.这条定曲线叫柱这条定曲线叫柱面的面的准线准线，那族那族平行直线中的每平行直线中的每一直线，都叫做一直线，都叫做叫柱面的叫柱面的母线母线.母线母线准线准线注 显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定但是对于一个柱面，它的准线并不是唯一的 例如，任何个与直母线不平行曲平面和柱面的交线部可以作为它的准线 准线不一定是平面曲线二二.求柱面方程求柱面方程设柱面的准
4、线为设柱面的准线为母线的方向数为母线的方向数为X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)为准线为准线上一点，则过点上一点，则过点M1的母线方程为的母线方程为且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)从（从（2）（）（3）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（1 1）为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。例例1、柱面的准线方程为、柱面的准线方程为而母线的方向数为而母线的方向数为-1-1，0 0，1 1，求这柱面的方程。，求这柱面的方程。例例2 已知圆柱面的轴为已知圆柱面的轴为点点 （
5、1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程的方程 MM0v定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。v(即证方程（11）表示的曲面是一个柱面，而且它的母线平行与z轴)v证 取曲面（11）与xOy坐标面的交线 （12）为准线，z轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。v设为准线(12)上的任意一点，那么过的母线为v，即 （13）v又因为在准线（12）上，所以有 （14）v（13）代入（14）消去参数，就得所求的柱面方程为，这就是方程（11），所以方程（11）就是一个
6、母线平行于z轴的柱面。例例1:方程方程 y2=2x 表示表示.母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面,oxzyy2=2x它的准线是它的准线是xoy面上的抛物线面上的抛物线y2=2x,该柱面叫做该柱面叫做抛物柱面抛物柱面.三三.特殊柱面特殊柱面(母线平行于坐标轴母线平行于坐标轴)例例2:方程 xy=0表示.母线平行于 z 轴的柱面,xxy=0zyo它的准线是xoy面上的直线xy=0,所以它是过z轴的平面.一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母
7、线3 3、母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程.例3、下列方程各表示什么曲面？（母线平行于z轴的椭圆柱面）（母线平行于x轴的双曲柱面）（母线平行于y轴的抛物柱面）注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面二次柱面。1.椭圆柱面椭圆柱面xyzO2.双曲柱面双曲柱面四、空间曲线在坐标面上投影四、空间曲线在坐标面上投影设空间曲线C的一般方程F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0(3)由方程组(3)消去z后得方程H(x,y)=0 (4)方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面,曲线C 一定在曲面上.以曲线C为准线,母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影
8、柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线,或简称投影.所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.H(x,y)=0z=0注:同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.例1:已知两个球面的方程分别为:x2+y2+z2 =1和 x2+(y 1)2+(z1)2 =1求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.解:联立两个方程消去 z,得这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影曲线方程为例2:设一个立体由上半球面 和锥面所围成,求它在xoy面上的投影.解:半球面与锥面的交线为由方程消去 z,得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为x2+y2=1z=0这是xoy面上的一个圆.所以,所求立体在xoy面上的投影为:x2+y2 1补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面一一作业作业:第第14147 7页页1,21,2题题;