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1、精选优质文档-倾情为你奉上第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲线教学目的:1.掌握消去参数法，能运用此法熟练地求出一般柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.能识别母线平行于坐标轴的柱面方程,顶点在坐标原点的锥面方程,旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程.掌握求这些特殊位置的特殊曲面方程的方法,并能识别曲面的大致形状.3.掌握平行截线法,能运用此法讨论二次曲面的方程,认识曲面的形状.4.掌握椭球面、双曲面与抛物面的标准方程与主要性质. 5.了解单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性,并能掌握求直母线的方法.6.能根据给定条件,较准确地作出空间区域的简图.重点难点: 1.柱面、锥面、旋转曲面的定义和一般方程的求法是重点,
2、寻找柱面、锥面、 旋转曲面的准线是难点. 2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程、性质与形状是重点,一般二次曲面方程的灵活多样是难点. 3.二次直纹面的性质及直母线方程求法是重点,证明单叶双曲面与双曲抛物面的一些性质难点. 4.空间区域的作图是重点,其中在作空间区域时,分析并作出几个曲面的交线是难点. 4.1 柱 面一. 柱面的定义空间中由平行于定方向且与定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫柱面.柱面的方向:定方向;准线:定曲线;母线:一族平行线中的每一条直线.柱面由其准线和定方向唯一确定,但对于一柱面,准线不唯一.二.柱面的方程 在空间直角坐标系下,柱面准线方程 (1) 母线的方向数X,Y
3、,Z.即 (2) 任取柱面准线上一点则过此点的母线方程为 且有,.从而消去参数最后得到一个三元方程 ，这就是以为准线, 母线的方向数X,Y,Z的柱面方程.三.例题讲解 例1.柱面的准线方程为母线的方向数为1,0,1.求这柱面的方程. 解 设是准线上的点,那么过的母线为, 且 (1)设 ,那么 ,代入(1)得 可得 ,即 求得柱面方程为 .例 2. 已知圆柱面的轴为 ,点(1,2,1)在此圆柱上, 求这柱面的方程.解法一 因为圆柱面的母线平行于其轴,所以母线的方向数即为轴的方向数1,2,2.若能求出圆柱面的准线圆,问题即解决了.空间的圆总可以看成是某一球面与一平面的交线, 此圆柱面的准线圆可以看
4、成是以轴上的点(0,1,1)为中心, 点(0,1,1)到已知点(1,2,1)的距离为半径的球面与过知点(1,2,1)且垂直于轴的平面的交线,即准线圆的方程为设为准线圆上的点,那么,且过的母线为.消去参数即得所求的圆柱面方程 . 解法二 将圆柱面看成是动点到轴线等距离的点的轨迹,这里的距离就是圆柱面的半径. 轴的方向矢量为,轴上的定点为,而圆柱面上的点为,所以,因此到轴的距离为 再设 为圆柱上任意点,那么有 即 化简整理得 .定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含两个元（坐标）的三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行于所缺元(坐标)的同名坐标轴。 (即证方程 （11）表示的曲面是一个柱面
5、，而且它的母线平行与z轴)证 取曲面（11）与xOy坐标面的交线 （12）为准线，z轴的方向0：0：1为母线方向，来建立这样的柱面方程。设为准线(12)上的任意一点，那么过的母线为，即 （13）又因为在准线（12）上，所以有 （14）（13）代入（14）消去参数，就得所求的柱面方程为，这就是方程（11），所以方程（11）就是一个母线平行于z轴的柱面。常见柱面方程(1) 椭圆柱面 (2) 圆柱面 (3) 双曲柱面 (4) 抛物柱面 空间曲线的射影柱面通过空间曲线L作柱面,使其母线平行于坐标轴轴,设这样的柱面方程分别为 , 这三个柱面分别叫曲线L对坐标面的射影柱面. 作业 4.2 锥 面一.锥面定
6、义 空间中由通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫锥面. 锥面的顶点:定点;母线:一族直线;准线:定曲线.二.锥面的方程 空间直角坐标系下,顶点为,准线方程:任取准线上一点,则过此点的母线方程为 且,.从而消去参数最后得到一个三元方程这就是以为准线,为顶点的锥面方程.例1、 锥面的顶点在原点，且准线为，求锥面的方程。解 设为准线上的任意一点，那么过的母线为 ， （1）且有 （2） （3）由（1）（3）的 （7）（7）代入（5）得所求的锥面方程为，或把它改写为 ，这个锥面叫做二次锥面。二. 锥面与齐次方程定理4.2.1 一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在原点的锥面.证 设有关于关
7、于x,y,z的齐次方程,那么根据齐次方程的定义有所以 曲面过原点.再设非原点满足方程,即有那么直线的方程为 代入,即有.所以整条直线都在曲面上,因此曲面是由通过坐标原点的直线组成,即他是以原点为顶点的锥面.虚锥面 推论 关于的齐次方程表示顶点在的锥面.作业 4.3 旋 转 曲 面一.旋转曲面的定义 空间一条曲线绕着定直线旋转一周所产生的曲面叫旋转曲面(回旋曲面) 母线: 曲线;旋转轴(轴): 定直线. 纬线: 旋转曲面母线上任一点在旋转时所形成的一个圆,称之为线圆(纬线).经线: 以轴为界的每个半平面与曲面交成一条曲线,称为经线.(平面曲线)二.旋转曲面的方程 1.一般情形下的曲面方程空间直角
8、坐标系下,旋转曲面母线方程 : 轴: 任取母线上一点,则过此点的线圆方程为: 且有,.消去参数最后得到一个三元方程,此即为以为准线, 为轴的旋转曲面的方程.例1 求直线绕直线旋转所得的旋转曲面的方程.解 设是母线上的任意点,因为旋转轴通过原点,所以过的纬圆方程是由于是母线上的点,所以又有,即.消去参数最后得到旋转曲面方程为2.以坐标面上的曲线为准线、坐标轴为轴的旋转曲面的方程 旋转曲面的经线可作为母线,通常把母线所在平面取作坐标面而旋转轴取作坐标轴,此时旋转曲面的方程具有特殊的形式. 设旋转曲面的母线为: ,旋转轴为轴, 若为母线上的任意点,那么过的纬圆为,且有 ,消去参数得所求的旋转曲面的方
9、程为. 同样若将曲线绕轴旋转所得的旋转曲面的方程是.因此,当坐标轴上的曲线绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时,为了求出这样的旋转曲面的方程,只要将曲线在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标,而以其它两个坐标平方和的分方根来代替方程中的另一根.例2 将椭圆:分别绕长轴(轴)与短轴(轴)旋转,求所得旋转曲面的方程.解 旋转轴是轴,同名坐标是,在方程中保留坐标不变,用代,便得到椭圆绕其长轴旋转的曲面方程为.同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为.上述二曲面分别叫长形旋转椭球面,扁形旋转椭球面.例 3 将双曲线: 绕虚轴(z轴)旋转的旋转曲面方程为; 绕实轴(y轴)旋转的旋转曲面方程为.分别称为单叶旋转双曲
10、面与双叶旋转双曲面.例4 将抛物线: 绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为 称之为旋转抛物面.例5 将圆 :绕z轴旋转,求所得旋转曲面的方程.解 绕z轴旋转,所以在方程中保留z不变,而y用代替就得到旋转曲面方程, 或作业 4.4 椭 球 面定义4.4.1: 在直角坐标系下,由方程 (1) 所表示的曲面叫椭球面,或称椭圆面.方程称为椭球面的标准方程,其中a,b,c(abc)为任意的正常数.一. 椭球面性质1.当(x,y,z)满足方程时,也一定满足.椭球面关于三坐标平面,三坐标轴,坐标原点都对称.2.椭球面的对称平面,对称轴与对称中心分别叫它的主平面,主轴与中心.3.椭球面与它的三对对称轴即坐标轴的交
11、点分别为,这六个点叫做椭球面的顶点.4.同一对称轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a,2b,2c叫椭球面的轴.半轴,长(半)轴,中(半)轴,短(半)轴.5.任何两轴相等的椭球面一定是旋转椭球面,而三轴相等的椭球面就是球面.椭球面三轴不相等时,叫三轴椭球面.6.椭球面上任何一点的坐标总有(x,y,z),因此椭球面完全被封闭在一个长方体的内部.二.平行截线割法平行截割法是讨论二次曲面的基本方法,为了弄清楚曲面的大致形状,进而推出其性质,通常把曲面作为点的轨迹来研究,而分析其与一组平行平面的交线(截口)的形状与性质.1. 平行截割法:利用平行平面的截口来研究曲面图形的方法.2. 对曲面方程的讨论,
12、一般分以下几项:(1)对称性 (2)顶点(对称轴与曲面的交点) (3)存在范围 (4)主截线(曲面与坐标轴的交线) (5)平截线(曲面与平行平面的交线)3. 主截线: (1), (2), (3) (椭球面的主椭圆)4. 平截线: 不妨设一组平行于xOy坐标面的平行平面zh来截割椭球面,得截口: . 当时,无图形; 当时,表示一个点(0,0,c); 当时,代表一个椭圆:两轴的端点分别为 ()与.它们分别在主椭圆(2)和(3)上.综上:椭球面可视为由一个大小和位置都可改变的椭圆变动而产生的,它在变动过程中保持所在平面与xOy坐标面平行,且两轴的端点分别在另外两定椭圆(2)和(3)上滑动.椭圆有时也
13、用参数方程表示:例 已知椭球面的轴与坐标轴重合，且通过椭圆与点，求这个椭球面的方程。解 因为所求图球面的轴与三坐标轴重合，所以设所求椭球面的方程为，它与xOy面的交线为椭圆，与已知椭圆比较知。又因为椭球面通过点，所以又有所以 。因此所求椭球面方程为 作业 4.5 双 曲 面一. 单叶双曲面1.定义: 在直角坐标系下,由方程 所表示的曲面叫单叶双曲面.注: 10 当时, 单叶双曲面为旋转双曲面. 20 标准方程还有另外两种形式.2.图形讨论(1)对称性:关于三坐标面,三坐标轴,原点对称.(2)顶点: ,(3)存在范围:由及与轴无交点知曲面存在与椭圆柱面外部且沿轴上下伸沿到无穷远.(4)主截线:
14、(1) (2) (3) 腰椭圆 双曲线 双曲线(5)平截线:a. 用一组平行xOy坐标面的平面截割,截口为椭圆: 两轴的端点分别为与它们分别在双曲线(2)与(3)上.可见:单叶双曲面可视为一个大小位置都可改变的椭圆变动而产生的,变动中保持所在平面与xOy面平行,且两对顶点分别沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动.b. 用平行于xOz面的平面截割,截口为: (4)10 时,(4)为双曲线,实轴平行于轴,虚轴平行于轴,(4)的顶点在腰椭圆(1)上,顶点.20 时,(4)为双曲线, 实轴平行于z轴,虚轴平行于轴,它的顶点在双曲线(3)上,顶点.30 时,(5)为两条直线(相交) 或 可见:单叶双曲面上
15、有直线.二. 双叶双曲面1.定义:在直角坐标系下,由方程 所表示的曲面叫双叶双曲面.2. 图形讨论(1)对称性:关于三坐标面,三坐标轴,原点对称.(2)顶点:与,轴不相交,与轴交于点(3)存在范围:由知曲面分成两叶.(4)主截线:两双曲线: (1) (2) 有共同实轴、顶点.(5)平截线: 用平行平面截割,截口: (3) 10 时, (3)表示一点或. 20 时, (3)表示一椭圆:两轴的端点,分别在双曲线(1)与(2)上. 可见: 双叶双曲面可视为一个椭圆变动而产生的. 思考:用平行于xOz面的平面截割曲面的情况,截口: 取两条双曲线,使它们对应的叶所在平面互相垂直,顶点和轴都重合,且有相同
16、的开口方向,让一条双曲线平行于自己所在的平面,而使其顶点在另一条双曲线对应叶上滑动,则这条双曲线的运动轨迹便是一个双叶双曲面. 例题 用一组平行平面,截割双曲面得一族椭圆,求这些椭圆焦点的轨迹. 解 这一族椭圆为, 即因为,所以椭圆的长半轴为,短半轴为,从而椭圆的焦点的坐标为 ,消参即得.显然,这族椭圆焦点的轨迹是一条在坐标面xOz上的双曲线,双曲线的实轴为轴,虚轴为轴.作业 4.6 抛 物 面一. 椭圆抛物面1.定义:直角坐标系下,由方程( 为任意常数)所表示的曲面叫椭圆抛物面.2.图形讨论(1)对称性:关于yOz、xOz坐标面,z轴对称,无对称中心.(无心二次曲面)(2)顶点(0,0,0)
17、(3)存在范围:由, 知曲面全部位于xOy坐标面的一侧.(4)主截线:（主抛物线） (1) (2)（有共同的轴、开口方向、顶点）(5)平截线:a. 用平行xOy坐标面的平面截割,截口为椭圆: （3）椭圆的两对称点，分别在主抛物面(1)与(2)上.可见:椭圆抛物面可视为椭圆的轨迹.b. 用平行于xOz面的平面截割,截口为抛物线： （4）(4)与抛物线(1)有相同的焦参数与开口方向,且其顶点在主抛物线(2)上.可见:椭圆抛物面可视为由两个抛物线中的一条的轨迹.二. 双叶抛物面1.定义:直角坐标系下,由方程 所表示的曲面叫双叶抛物面.2.图形讨论(1)对称性:关于yOz、xOz坐标面,z轴对称,无对
18、称中心.(无心二次曲面)(2)顶点(0,0,0)(3)存在范围:无界.(4)主截线: （1） （2） （3） 过原点两条相交直线 主抛物线(5)平截线:a. 用平行xOy坐标面的平面截割,截口为双曲线: （4）1.h0时,双曲线(4)实轴与x轴平行,虚轴与y轴平行,顶点在主抛物线(2)上2.h0时, 双曲线(4)顶点在主抛物线(3)上.可见:曲面被xOy坐标面分割为上下两部分,上部分沿x轴的两个方向逐渐上升;下半部分沿y轴的两个方向逐渐下降. b. 用平行于xOz面的平面截割,截口为抛物线： 抛物线(5)与主抛物线(2)有相同的焦参数与开口方向,且所在平面与(2)所在平面平行,其顶点在主抛物线
19、(3)上. 椭圆抛物面与双曲抛物面统称为抛物面，它们都没有对称中心，所以又叫无心二次曲线.三空间区域简图从是实例出发,研究常见的曲面与平面(包含常用的坐标面)所围成的空间区域问题.例 1.作出球面与旋转抛物面的交线.解 两曲面的交线为（2）代入（1）得即所以，由（2）知所以取，因此交线方程可以改为或这是平面上的一个圆，圆心为，半径为2。作业 4.7 单叶双曲面与双叶抛物面的直母线柱面与锥面都可以由一族直线所构成,这种由一族直线所构成的曲面叫直纹曲面,而构成曲面的那族曲线叫这曲面的一族直母线.柱面与锥面都是直纹曲面.在前两节看到单叶双曲面与双曲抛物面上都包含有直线.实际上,这两曲面不仅包含有直线
20、,而且可以有一组直线构成,因而它们都是直纹曲面.一. 族直母线与族直母线 1. 族直母线将单叶双曲面 (1) 改写成或者(2) 现引进不等于零的参数,并考察上式得来的方程组 (3) 与两方程组 (4) 与( 4)当(3)式中参数和时的两种极限情形,显然不论取何值,(3)以及(4),( 4)都表示直线,我们把(3) ,(4),( 4)合起来组成的一族直线叫族直线. 现证明由这族直线可以构成曲面,从而它是单叶双曲面(1)的一族直母线.容易知道,族直线中的任何一条直线上的点都可以在曲面(1)上:当时,由(3)边边相乘即得(1),所以(3)所表示的直线上的点都在曲面(1)上;而满足(4)与( 4)上的
21、点显然满足(2),从而满足(1)因此直线(4)与 ( 4)上的点也都在曲面(1)上.反之,设是曲面上的点,从而有显然不能同时为零,因此不失一般性,假设. 如果那么取的值,使得,由(5)便得 ,所以点在直线上.如果那么由(5)知必有,所以点在直线(4)上.因此曲面(1)上的任一点,一定在族直线中的某一条直线上.因此证明了曲面(1)是族直线直母线构成,因此单叶双曲面(1)是直纹曲面,而族直线是单叶双曲面(1)的一族直母线,称为族直母线.2.族直母线由(为不等于零的任意实数) 与合在一起组成的直线族是单叶双曲面(1)的另一族直母线,我们称它为单叶双曲面(1)的族直母线.推论 对于单叶双曲面上的点,两
22、族直母线中各有一条直母线通过这一点.为了避免取极限,我们常把单叶双曲面(1)的族直母线写成. (4.7.1)当时,各式除以,就化为(3);当便化为(4);当时便化成( 4).而族直母线写成.(4.7.2)直线(4.7.1), (4.7.2)分别只依赖于与的值.对于双曲抛物面同样地可以证明它也有两族直母线,它们的方程分别是 与 推论 对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条直母线通过这一点.定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上一族的任意两直母线必相交.定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.作业 专心-专注-专业