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1、解析几何的基本思想是用代数的方法来研究解决几何问题，其主要内容可示意如下：,点,坐标,轨迹,第一章,第二章,方程,曲线,曲面,平面,与直线,一般曲面,一般曲线,普通,参数,方程与关系,第三章,第四章,常见曲面和二次曲面,第五章,二次曲线的一般理论,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,研究空间曲面有两个基本问题：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面,图形 方程,方程 图形,曲面直纹性.,知识结构:,根据图形的几何特征建立它
2、们的方程，和从方程出发讨论它们的图形的几何特性，是学习本课程所应掌握的基本技能,看看书 想一想,第一节 柱面,目标：通过本节的学习，了解柱面的有 关概念，掌握柱面方程的求法. 空间曲线在坐标面上投影 重点难点：柱面方程的求法. 空间曲线在坐标面上投影,引例. 分析方程,表示怎样的曲面 .,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上，,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z ,平行 z 轴的直线 l ,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,一. 概念,观察柱面的形成过程:,定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与一条
3、定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面叫做柱面.,这条定曲线叫柱面的准线，那族平行直线中的每一直线，都叫做叫柱面的母线.,母线,准线,注,显然，柱面被它的准线和直母线方向完全确定但是对于一个柱面，它的准线并不是唯一的,例如，任何个与直母线不平行曲平面和柱面的交线部可以作为它的准线 准线不一定是平面曲线,二. 求柱面方程,设柱面的准线为,母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为,且有,F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3),从（2）（3）中消去x1,y1,z1得,F(x,y,z)=0,这就是以（1）为准线，母线的方向数
4、为X，Y，Z的 柱面的方程。,例1、柱面的准线方程为,而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。,例2 已知圆柱面的轴为,点 （1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面 的方程,例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,o,x,z,y,y2 =2x,它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x,该柱面叫做抛物柱面.,三. 特殊柱面(母线平行于坐标轴),例2: 方程 xy = 0表示.,母线平行于 z 轴的柱面,它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴 的平面.,一般地,在三维空间,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz
5、面上的曲线 l3.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2.,母线,3、 母线平行于坐标轴的柱面方程.,例3、下列方程各表示什么曲面？,（母线平行于z轴的椭圆柱面）,（母线平行于x轴的双曲柱面）,（母线平行于y轴的抛物柱面）,注：上述柱面的方程都是二次的，都称为二次柱面。,1. 椭圆柱面,2. 双曲柱面,四、空间曲线在坐标面上投影,设空间曲线C的一般方程,F (x, y, z) = 0 G (x, y, z) = 0,(3),由方程组(3)消去z后得方程,H (x, y) = 0 (4),方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线C 一定在曲面
6、上.,以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影曲线, 或简称投影.,所以方程所表示的曲线必定包含了空间曲线C在xOy面上的投影.,H (x, y) = 0 z = 0,注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.,例1: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z2 = 1 和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程.,解: 联立两个方程消去 z ,得,这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的交线C在xOy面上的投影
7、曲线方程为,解: 半球面与锥面的交线为,由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1,这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为,x2 + y2 = 1 z = 0,这是xoy面上的一个圆.,所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,作业: 第145页1,2题; 论文 预习 类比法,Thank you!,How beautiful the sea is!,Lets have a rest!,建立曲面方程的两种方法: 一是看成点的轨迹， 二是看成曲线产生的。,1、已知柱面的准线为：,且（1）母线平行于,轴；（2）母线平行于直线,，试求这些柱面的方程。,3、求过三条平行直线,的圆柱面方程。,4、已知柱面的准线为,母线的方向平行于矢量,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数 方程分别为：,与,式中的,为参数。,1. 缺某一坐标变元的方程表示 的曲面为柱面。 2. 柱面方程的特点,