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1、关于柱面锥面旋转曲面与二次曲面第1页，讲稿共41张，创作于星期二第一节 柱面第2页，讲稿共41张，创作于星期二定义定义平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线C叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线L叫柱面的叫柱面的母线母线.设柱面的准线为设柱面的准线为母线的方向数为母线的方向数为X,Y,Z。如果。如果M1(x1,y1,z1)为准线为准线上一点，则过点上一点，则过点M1的母线方程为的母线方程为第3页，讲稿共41张，创作于星期二且有且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)从（
2、从（2）（）（3）中消去）中消去x1,y1,z1得得F(x,y,z)=0这就是以这就是以（1 1）为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X，Y，Z的的柱面的方程。柱面的方程。第4页，讲稿共41张，创作于星期二柱面举例柱面举例抛物柱面抛物柱面平面平面第5页，讲稿共41张，创作于星期二从柱面方程看柱面的从柱面方程看柱面的特征特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面母线椭圆柱面母线/轴轴双曲柱面母线双曲柱面母线/轴轴抛物柱面母线抛物柱面母线/轴轴 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),(=yxF，在，在空间直角坐标系中表示母线平行于空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱轴的柱面，其
3、准线为面，其准线为xoy面上曲线面上曲线C.第6页，讲稿共41张，创作于星期二定理定理 一个关于一个关于x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。原点的锥面。齐次方程齐次方程：设设为实数，对于函数为实数，对于函数f(x,y,z)f(x,y,z)，如果有，如果有f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)则称则称f(x,y,z)为为的的齐次函数，齐次函数，f(x,y,z)=0称为齐次称为齐次方程。方程。例如，方程例如，方程 x2+y2-z2=0圆锥面圆锥面又如，方程又如，方程 x2+y2+z2=0原点（虚锥面）原点（虚锥面）第7页，讲稿共41张，创作于星期二第二节
4、锥面第8页，讲稿共41张，创作于星期二锥面锥面1、定义、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。2 2、锥面的方程、锥面的方程设锥面的准线为设锥面的准线为顶点为顶点为A(x0,y0,z0)，如果，如果M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，为准线上任一点，则锥面过点则锥面过点M1的母线为：的母线为：第9页，讲稿共41张，创作于星期二且有且有F1(x1,y1,z1)=0
5、F2(x1,y1,z1)=0 （3）从（从（2）（）（3）中消去参数）中消去参数x1,y1,z1得三元方程得三元方程F(x,y,z)=0这就是以（这就是以（1）为准线，以）为准线，以A为顶点的锥面方程。为顶点的锥面方程。例例1、求顶点在原点，准线为、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。的锥面的方程。答：答：（二次锥面）（二次锥面）第10页，讲稿共41张，创作于星期二第三节 旋转曲面第11页，讲稿共41张，创作于星期二 旋转曲面旋转曲面一一、定定义义:以以一一条条平平面面曲曲线线C绕绕其其平平面面上上的的一一条条直直线线旋旋转转一一周周所所成成的的曲曲面面叫叫做做旋旋转转曲曲面面,这条定直线叫旋转
6、曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.曲线曲线C称为放置曲面的称为放置曲面的母线母线oC纬线纬线经线经线第12页，讲稿共41张，创作于星期二Logo所以过M1的纬圆的方程为：当点M1跑遍整个母线C时，就得到所有的纬圆，这些纬圆就生成旋转曲面。又由于M1在母线上，所以又有：从（3）（4）的四个等式中消去参数x1,y1,z1,得到一个三元方程：F(x,y,z)=0这就是以C为母线，L为旋转轴的旋转曲面的方程。第13页，讲稿共41张，创作于星期二二、旋转曲面的方程二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：旋转直线为：其中P0(x0,y0,z0)为轴L上一定点，X，Y，Z为旋转轴L的方向数。设
7、M1(x1,y1,z1)为母线C上的任意点，则M1的纬圆总可以看成是过M1且垂直于旋转轴L的平面与以P0为中心，|P0M1|为半径的球面的交线。第14页，讲稿共41张，创作于星期二例1、求直线绕直线x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。解：设M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过M1的纬圆方程是：又由于M1在母线上，所以又有：即 x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。第15页，讲稿共41张，创作于星期二三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：三、母线在坐标面而旋转
8、轴为坐标轴的旋转曲面：已知yoz面上一条曲线C,方程为f(y,z)=0,曲线C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面.设M1(0,y1,z1)是C上任意一点,则有f(y1,z1)=0当C绕 z 轴旋转而M1随之转到M(x,y,z)时,有将z1=z,代入方程F(y1,z1)=0,第16页，讲稿共41张，创作于星期二得旋转曲面的方程:即第17页，讲稿共41张，创作于星期二规律：规律：当坐标平面上的曲线C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。第18页，讲稿共41张，创作于星期二解解 圆
9、锥面方程圆锥面方程第19页，讲稿共41张，创作于星期二例2:求直线 z=ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程.zxyz=ay解:将 y 用 代入直线方程,得平方得:z2=a2(x2+y2)该旋转曲面叫做圆锥面,其顶点在原点.第20页，讲稿共41张，创作于星期二例例3 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面（单叶）（单叶）（双叶）（双叶）第21页，讲稿共41张，创作于星期二例4、将圆绕Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
10、该曲面称为圆环面。第22页，讲稿共41张，创作于星期二旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面（长形）（长形）（短形）（短形）第23页，讲稿共41张，创作于星期二第四节 二次曲面第24页，讲稿共41张，创作于星期二二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程三元二次方程相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的平面截痕法平面截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊
11、的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容所表示的曲面称之为二次曲面所表示的曲面称之为二次曲面ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0第25页，讲稿共41张，创作于星期二Company LogozoxyO2 用平面z=k去截割(要求|k|c),得椭圆当|k|c 时,|k|越大,椭圆越小;当|k|=c 时,椭圆退缩成点.二二.几种常见二次曲面几种常见二次曲面.（一）椭球面1 用平面z=0去截割,得椭圆第26页，讲稿共41张，创作于星期二Company LogoCompany Logo3 类似地,依次用平面x=0,平面y=0截割,得椭圆:特别:当a=b
12、=c时,方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点o,半径为a的球面.第27页，讲稿共41张，创作于星期二（二）双曲面（二）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.第28页，讲稿共41张，创作于星期二Company Logo与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭圆变动时，这种椭圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.第29页，讲稿共41张，创作于星期二双曲
13、线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.第30页，讲稿共41张，创作于星期二截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.第31页，讲稿共41张，创作于星期二单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.第32页，讲稿共41张，创作于星期二双叶双曲面双叶双曲面xyo第
14、33页，讲稿共41张，创作于星期二（三）抛物面（三）抛物面（与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.第34页，讲稿共41张，创作于星期二与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭圆变动时，这种椭圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线第35页，讲稿共41张，创作于星期二与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它
15、的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ，与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.第36页，讲稿共41张，创作于星期二zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：第37页，讲稿共41张，创作于星期二特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆的变动时，这种圆的中心中心都在都在 轴上轴上.第38页，讲稿共41张，创作于星期二（与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo第39页，讲稿共41张，创作于星期二总结总结从以上介绍的曲面中可以看出，一些曲面可以由一条曲线按照某种规律运动所生成。例如柱面是由平行于定方向且沿着准线运动的直线所产生，它是空间一族平行直线所生成的曲面；锥面是由通过定点且沿着准线运动的直线所产生，这是空间一族共点直线所生成的曲面；而旋转曲面是由一曲线绕其轴旋转一周而产生，它又可以看成是一族纬圆所生成的曲面。在导出这种由曲线运动所产生的曲面方程时，它们的方法是统一的。第40页，讲稿共41张，创作于星期二感感谢谢大大家家观观看看第41页，讲稿共41张，创作于星期二