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1、 某教学模具厂要制面积某教学模具厂要制面积如下表所示的正方形模具，如下表所示的正方形模具，你能帮他们计算出这些正方你能帮他们计算出这些正方形模具的边长是多少吗？形模具的边长是多少吗？面积面积x2=a11.962.25916 2536边长边长x13 461.41.55这些正方形模具的边长和面积是什么这些正方形模具的边长和面积是什么关系呢？关系呢？新课导入新课导入1理解平方根和算术平方根的概念，了解平方理解平方根和算术平方根的概念，了解平方与开平方的关系；与开平方的关系；2学会平方根、算术平方根的表示方法；学会平方根、算术平方根的表示方法；3会用计算器求一个数的算术平方根会用计算器求一个数的算术平
2、方根；4理解无限不循环的含义，理解无限不循环的含义，能用夹值能用夹值法法估计一估计一个数的算术平方根的大小范围个数的算术平方根的大小范围；5理解被开方数越大，它的算术平方根也越大，理解被开方数越大，它的算术平方根也越大，被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律缩小）的规律教学目标教学目标知识与能力知识与能力1发展数感，经历认识平方根的概念，发展数感，经历认识平方根的概念，经历总结发现正数、负数、零的平方根的情经历总结发现正数、负数、零的平方根的情况；况；2会求一个数的平方根；会求一个数的平方根；3理解开平方与平方互为逆运算；理解开
3、平方与平方互为逆运算；4通过学习算数平方根，建立初步的数通过学习算数平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维；感和符号感，发展抽象思维；5通过探究通过探究 的大小，培养估算意识，的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想了解从两个方向无限逼近的数学思想过程与方法过程与方法1通过学习算术平方根，进一步建立数感和通过学习算术平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维符号感，发展抽象思维；2通过探究被开方数扩大（缩小）与它的算通过探究被开方数扩大（缩小）与它的算术平方根扩大（缩小）的规律，培养观察能力，术平方根扩大（缩小）的规律，培养观察能力，抽象概括能力抽象概括能力；3培养优算意
4、识，了解两个方向无限逼近的培养优算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想数学思想；情感态度与价值观情感态度与价值观4体验体验“无限不循环无限不循环”的含义，感受存在着不的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数同于有理数的一类新数；5通过用计算器求通过用计算器求值及近似值计算，提高运值及近似值计算，提高运算能力和动手能力；算能力和动手能力；6通过利用计算器通过利用计算器求值体验现代科技产品迅求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学速、精确的功能，激发学习知识的兴趣习知识的兴趣1平方根的概念、算术平方根的定平方根的概念、算术平方根的定义；义；2探索被开方数扩大（缩小）与算探索被开方数扩大（缩小）
5、与算术平方根扩大（缩小）的规律术平方根扩大（缩小）的规律；3用计算器求一个正数的平方根的用计算器求一个正数的平方根的程序程序；4体验体验“无限不循环无限不循环”的含义的含义教学重难点教学重难点重点重点1平方根的概念和平方根的表示方法；平方根的概念和平方根的表示方法；2利用平方根定义解决问题；利用平方根定义解决问题；3用用夹值法估计一个（无理）数的大夹值法估计一个（无理）数的大小小；4准确用计算器求解一个正数的平方准确用计算器求解一个正数的平方根根难点难点知识要知识要点点规定：规定：规定：规定：0 0的算术平方根是的算术平方根是的算术平方根是的算术平方根是0 0一般地，如果一个正数一般地，如果一
6、个正数一般地，如果一个正数一般地，如果一个正数x x的平方等于的平方等于的平方等于的平方等于a a，即，即，即，即x x2 2=a=a，那么这个正数，那么这个正数，那么这个正数，那么这个正数x x叫做叫做叫做叫做a a的算术的算术的算术的算术平方根平方根平方根平方根a a的算术平方根记为的算术平方根记为的算术平方根记为的算术平方根记为 ，读作，读作，读作，读作“根号根号根号根号a”a”，a a叫做被开方数叫做被开方数叫做被开方数叫做被开方数 是算术平方根的运算符号是算术平方根的运算符号是算术平方根的运算符号是算术平方根的运算符号a a的算术平方根也是非负数，即的算术平方根也是非负数，即的算术平
7、方根也是非负数，即的算术平方根也是非负数，即 其中：其中：表示表示表示表示a a的算术平方根的算术平方根的算术平方根的算术平方根被开方数被开方数被开方数被开方数a a是非负数，即是非负数，即是非负数，即是非负数，即a0a0下列各式中哪些有意下列各式中哪些有意义？哪些无意义？义？哪些无意义？答：有意义的是：答：有意义的是：无无意义的是：意义的是：想一想想一想例例1求下列各数的算术平方根：求下列各数的算术平方根：（1）400 （2）（3）0.0025解解：（：（1）因为）因为202=400，所以，所以400的算术平的算术平方根为方根为20，即，即 =20（3）因为）因为0.052=0.0025，所
8、以，所以0.0025的算术的算术平方根为平方根为0.05，即，即 =0.01（2）因为）因为 =，所以，所以 的算术平方根的算术平方根是是 ，即，即 =例例2填空填空（1）121 的算术平方根是的算术平方根是_；0.25 的算术平方根是的算术平方根是_；0 的算术平方根是的算术平方根是_ （2）100 的算术平方根是的算术平方根是_；25 的算术平方根是的算术平方根是_；0.81 的算术平方根是的算术平方根是_00.9510110.5比较结果：比较结果：1 4 9 16 2536，被开方数大的数算术平方根也大被开方数大的数算术平方根也大被开方数大的数算术平方根也大被开方数大的数算术平方根也大解
9、：解：例例3 求下列各数的算术平方根，并用求下列各数的算术平方根，并用“”分别把被开方数和算术平方根连接起来分别把被开方数和算术平方根连接起来1，4，9，16，2536结论结论解：设这个正方形原来的边长为解：设这个正方形原来的边长为a，则其原来，则其原来的面积为的面积为a2又设变大后的正方形的边长为又设变大后的正方形的边长为b，则，则b2=4a2=(2a)2所以，正方形的面积变为原来的所以，正方形的面积变为原来的4倍，则其边倍，则其边长变为原来的长变为原来的2倍倍 例例4 一个正方形的面积变为原来的一个正方形的面积变为原来的4倍，其边长变为原来的多少倍？倍，其边长变为原来的多少倍？正方形的面积
10、扩大正方形的面积扩大n倍，那么其边长倍，那么其边长对应扩大对应扩大 倍倍结论结论某气垫厂接到订单，要求把某气垫厂接到订单，要求把两块面积为两块面积为1的正方形材料，缝的正方形材料，缝成一块正方形的气垫面，你有没成一块正方形的气垫面，你有没有办法进行设计，帮助他们解决有办法进行设计，帮助他们解决这个问题？缝成的这个大正方形这个问题？缝成的这个大正方形的边长是多少呢？的边长是多少呢？想一想想一想如图，把两个小正方形材料沿对角线剪开，如图，把两个小正方形材料沿对角线剪开，将所得的将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为积为2的大正方形气垫面小正方形的对角线长
11、度的大正方形气垫面小正方形的对角线长度即为大正方形的边长即为大正方形的边长设大正方形的边长为设大正方形的边长为x，则，则 x2=2.由算术平方根的意义可知由算术平方根的意义可知 x=有多大呢？有多大呢？接着往下计算，可以发现接着往下计算，可以发现 =1.414 213 56，是一个无限不循环小数，是一个无限不循环小数想一想想一想12=1，22=4，1 2；1.42=1.96，1.52=2.25，1.4 1.5；1.412=1.999 396，1.4152=2.002 225，1.414 1.415第一个发现这样数的人是希伯索斯，但他却第一个发现这样数的人是希伯索斯，但他却被抛进了大海，你想知道
12、这其中的曲折离奇吗？被抛进了大海，你想知道这其中的曲折离奇吗？这得追溯到这得追溯到2500年前，有个叫毕达哥拉斯的年前，有个叫毕达哥拉斯的人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉人，他是一个伟大的数学家，他创立了毕达哥拉斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖斯学派，这是一个非常神秘的学派，他们以领袖毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚毕达哥拉斯为核心，认为毕达哥拉斯是至高无尚的，他所说的一切都是真理的，他所说的一切都是真理无限不循环小数的发现无限不循环小数的发现读一读读一读毕达哥拉斯认为毕达哥拉斯认为“宇宙间的一切现象都能宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描
13、归结为整数或整数之比，即都可用有理数来描述述但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯但后来，这学派的一位年轻成员希伯索斯发现边长为发现边长为1的正方形的对角线的长不能用有理的正方形的对角线的长不能用有理数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，数来表示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信条，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现，引起了信徒们的恐慌，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为然而希伯索斯偷偷将这一发现传播出去，这为他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到他招来了杀身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕氏成员的围捕，被投入大海毕氏成员的围捕，被投入大海无限不循环小数的计算：
14、借助于计算器无限不循环小数的计算：借助于计算器无限不循环小数的计算：借助于计算器无限不循环小数的计算：借助于计算器无限不循环小数：即无理数，是指小无限不循环小数：即无理数，是指小无限不循环小数：即无理数，是指小无限不循环小数：即无理数，是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数数位数无限，且小数部分不循环的小数数位数无限，且小数部分不循环的小数数位数无限，且小数部分不循环的小数 无限不循环小数是不能转化为分数的无限不循环小数是不能转化为分数的无限不循环小数是不能转化为分数的无限不循环小数是不能转化为分数的常见无限不循环小数：圆周率常见无限不循环小数：圆周率常见无限不循环小数：圆周率常见无限不循环
15、小数：圆周率，自然对，自然对，自然对，自然对数的底数数的底数数的底数数的底数e e，知识要知识要点点例例5 用计算器求下列各式的值（精确用计算器求下列各式的值（精确到到0.01）：）：解：解：例例6 用计算器计算下列各数的用计算器计算下列各数的值，有什么规律？值，有什么规律？规律：被开方数规律：被开方数规律：被开方数规律：被开方数扩大（缩小）扩大（缩小）扩大（缩小）扩大（缩小）100100倍，倍，倍，倍，它的算术平方根扩大它的算术平方根扩大它的算术平方根扩大它的算术平方根扩大（缩小）（缩小）（缩小）（缩小）1010倍倍倍倍解：解：结论结论能用一块面积为能用一块面积为100cm的正方的正方形纸片
16、沿着边的方向裁出一块面积形纸片沿着边的方向裁出一块面积为为90cm的长方形纸片，使它的长的长方形纸片，使它的长宽之比为宽之比为3：2吗？吗？想一想想一想 解：设长方形纸片的长为解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为，宽为2x cm根据边长与面积的关系得根据边长与面积的关系得答：不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长答：不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片方形纸片因此长方形的长应为因此长方形的长应为 cm因为因为1512.25，所以，所以 3.5所以所以 10.5，所以长方形纸片的长大于原，所以长方形纸片的长大于原正方形的长（正方形的长（10cm）宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的宇宙飞船
17、离开地球进入轨道正常运行的速度速度v（米（米/秒）要大于第一宇宙速度秒）要大于第一宇宙速度v1（米（米/秒），小于第二宇宙速度秒），小于第二宇宙速度v2（米（米/秒），其中秒），其中v12=gR，v22=2gR，g9.8米米/秒秒2，R6400000米（地球半径），求米（地球半径），求v的范围的范围练一练一练练所以所以7900 v 11200答：答：要使宇宙飞船离开地球进入轨道正常要使宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行，必须使它的速度大于运行，必须使它的速度大于7900米米/秒，小于秒，小于11200米米/秒秒4cm 要做一张边长是要做一张边长是4cm的方桌面，它的面积是多的方桌面，它的面积是多
18、少？少？这个问题实际上就是这个问题实际上就是求：求：42=？的问题？的问题根据乘方运算，可知根据乘方运算，可知42=16cm2想一想想一想？cm16cm2我们知道，我们知道，(4)2=16，但但4不符合题意不符合题意所以，方桌面的边长应所以，方桌面的边长应是是4cm 反过来，要做一张面积是反过来，要做一张面积是16cm2的的桌面，它的边长是多少桌面，它的边长是多少cm？知识要知识要点点一般地，如果一个数的平方等于一般地，如果一个数的平方等于一般地，如果一个数的平方等于一般地，如果一个数的平方等于a a，那，那，那，那么这个数叫做么这个数叫做么这个数叫做么这个数叫做a a的平方根或二次方根，即如
19、的平方根或二次方根，即如的平方根或二次方根，即如的平方根或二次方根，即如果果果果x x2 2=a=a，那么，那么，那么，那么x x叫做叫做叫做叫做a a的平方根的平方根的平方根的平方根求一个数的平方根（二次方根）的运求一个数的平方根（二次方根）的运求一个数的平方根（二次方根）的运求一个数的平方根（二次方根）的运算，叫做开平方，开平方运算的结果就是算，叫做开平方，开平方运算的结果就是算，叫做开平方，开平方运算的结果就是算，叫做开平方，开平方运算的结果就是平方根平方根平方根平方根平方与开平方互为逆运算平方与开平方互为逆运算平方与开平方互为逆运算平方与开平方互为逆运算平方根的表示法：平方根的表示法：
20、平方根的表示法：平方根的表示法：一个非负数一个非负数一个非负数一个非负数a a的平方根用符号表示为：的平方根用符号表示为：的平方根用符号表示为：的平方根用符号表示为：，读作：读作：读作：读作：“正、负根号正、负根号正、负根号正、负根号a”a”，其中，其中，其中，其中a a叫做被叫做被叫做被叫做被开方数开方数开方数开方数即：如果即：如果即：如果即：如果x x2 2=a=a，则，则，则，则x=x=注注意意（1 1）表示非负数表示非负数表示非负数表示非负数a a的正的平方根，即算的正的平方根，即算的正的平方根，即算的正的平方根，即算数平方根，数平方根，数平方根，数平方根，表示非负数表示非负数表示非负
21、数表示非负数a a的负的平方根；的负的平方根；的负的平方根；的负的平方根；（2 2）表示非负数表示非负数表示非负数表示非负数a a的平方根，的平方根，的平方根，的平方根，与与与与 互为相反数；互为相反数；互为相反数；互为相反数；（3 3）在在在在 中，中，中，中，a0a0（4 4）()()2 2a a(a a0)0)，a a00a a0 0（5 5）一个正数有两个平方根，它们互为）一个正数有两个平方根，它们互为）一个正数有两个平方根，它们互为）一个正数有两个平方根，它们互为相反数相反数相反数相反数零的平方根是零零的平方根是零零的平方根是零零的平方根是零负数没有平方根负数没有平方根负数没有平方根
22、负数没有平方根区别：区别：1 1定义不同；定义不同；定义不同；定义不同；2 2个数不同；个数不同；个数不同；个数不同；3 3表示法不同；表示法不同；表示法不同；表示法不同；4 4取值范围不同取值范围不同取值范围不同取值范围不同平方根与算术平方根的平方根与算术平方根的联系与区别：联系与区别：联系：联系：1 1算术平方根是平方根的一种；算术平方根是平方根的一种；算术平方根是平方根的一种；算术平方根是平方根的一种；2 2只有非负数才有算术平方根和平方根；只有非负数才有算术平方根和平方根；只有非负数才有算术平方根和平方根；只有非负数才有算术平方根和平方根；3 30 0的算术平方根和平方根都是的算术平方
23、根和平方根都是的算术平方根和平方根都是的算术平方根和平方根都是0 0例例7 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根：（1）25；（；（2）81；（；（3）0.16；（；（4）121解：解：（1）因为因为(5)2=25，所以，所以25的平方的平方根是根是5；（2）因为因为(9)2=81，所以，所以81的平方根是的平方根是9；（3）因为因为(0.4)2=0.16，所以，所以0.16的平的平方根是方根是0.4；（4）因为因为(11)2=121，所以，所以121的平方的平方根是根是11已知一个自然数的算术已知一个自然数的算术平方根是平方根是n，则与这个自然数，则与这个自然数相邻的下一个自然数的平方相邻
24、的下一个自然数的平方根是多少？根是多少？解：因为这个数的算术平方根是解：因为这个数的算术平方根是n，所以，所以这个自然数为这个自然数为n2，那么与它相邻的下一个自然，那么与它相邻的下一个自然数为数为n2+1 所以下一个自然数的平方根是所以下一个自然数的平方根是 想一想想一想已知已知a6与与2a9是是m的平方根，试求的平方根，试求m的值的值解：因为解：因为a6与与2a9是是m的平方根，则的平方根，则a6与与2a9相等或互为相反数相等或互为相反数 当当 a6=2a9时，得时，得a=15 所以所以m=152=225 当当a62a9=0时，得时，得a=1，所以，所以m=1 所以，所以，m的值为的值为2
25、25或或1练一练一练练一个正数一个正数x的平方等于的平方等于a，那么这个正数，那么这个正数x叫做叫做a的算术平方根的算术平方根正数正数a的算术平方根记作：的算术平方根记作：1算数平方根算数平方根0的的算术平方根还是算术平方根还是0课堂小结课堂小结2平方根平方根一个数的平方等于一个数的平方等于a，这个数叫做，这个数叫做a的平的平方根方根性质：性质：一个正数的平方根有两个，它们互为相一个正数的平方根有两个，它们互为相反数反数0的的平方根还是平方根还是0负数没有平方根负数没有平方根平方根的表示法：平方根的表示法：3无理数无理数即无限不循环小数无理数不能写成即无限不循环小数无理数不能写成分数的形式分数
26、的形式a，a00，a=0a，a0=aaaaaa22;)(;00时，1(8)2的平方根是的平方根是_，算术平方根是，算术平方根是_；888 82 的平方根是的平方根是_，算术平方，算术平方 根是根是_；333 33若若x2=49，则，则 x=_，若，若 =9，则，则x=_；774若若(x-2)2=36，则，则x=_；998 8或或或或4 4随堂练习随堂练习5对于正数对于正数a，等于等于_；a a7下列各数中，不一定有平方根的是（下列各数中，不一定有平方根的是（）A2x2+5 B|x|+2 C D|a|-26对于任意数对于任意数a，等于等于_ _ _ 若若若若a a是正数，则是正数，则是正数，则是
27、正数，则等于等于等于等于a a；若；若；若；若a a是负数，则等于是负数，则等于是负数，则等于是负数，则等于a a；若；若；若；若a a是是是是0 0，则等于，则等于，则等于，则等于0 0DD8已知已知 有意义，则下列说法正确的是有意义，则下列说法正确的是()A一定是正数一定是正数 Bx一定是负数一定是负数 Cx一定是非负数一定是非负数 Dx一定是非正数一定是非正数9已知已知(2x)2=36，y是是(-5)2的正的平方根，求代的正的平方根，求代数数 式式5x-3y的值的值解：由题知，解：由题知，解：由题知，解：由题知，x=3x=3，y=5y=5所以所以所以所以5x-3y=55x-3y=5（33
28、）3535 =15 =1515150 03030=10一个数的两个平方根分别是一个数的两个平方根分别是 3a+2 与与 5a-10，求这个数，求这个数解：因为一个数的平方根互为相反数，解：因为一个数的平方根互为相反数，解：因为一个数的平方根互为相反数，解：因为一个数的平方根互为相反数，所以，所以，所以，所以，（3a+23a+2）(5a-10)=0(5a-10)=0 所以所以所以所以 a=1a=1习题答案习题答案1（1）14；（；（2）；（；（3）0.2；（；（4）102（1）有意义；（）有意义；（2）无意义；）无意义；（3）有意）有意 义；义；（4）有意义）有意义3（1）15；（；（2）；（；
29、（3）；（4）4（1）正确；（）正确；（2）正确；（）正确；（3）错误；）错误；（4）正确）正确5（1）29.44；（；（2）0.68；（；（3）0.57；（4）49.0166和和77（1）16.4；（；（2）16.9；（；（3）在）在16.4与与 16.5之间；（之间；（4）16.18（1）5；（；（2）9；（；（3）95s102倍，倍，3倍，倍，倍倍11（1）2，3，5，6，7，0；a(a0)，a（a0）（2）4，9，25，36，49，0；a121不断开平方的结果仍为不断开平方的结果仍为1；对于小于；对于小于1的的 正数，每次开平方的结果逐渐增大，并正数，每次开平方的结果逐渐增大，并 趋近于趋近于1；对于大于；对于大于1的数，每次开平方的数，每次开平方 的结果逐渐减小，并趋近于的结果逐渐减小，并趋近于1