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1、，（）：数学物理学报：关于整函数零点和周期性的研究摘要：该文证明如果是超越整函数，且满足对某个正整数使得（）是周期函数，那么也是周期函数这一结果与最近提出的一个猜想有密切联系？关键词：整函数；零点；周期性（）主埋分类：中围分类号，文献标识码：文章编号：（）引言本文主要研究了近期提出的一个问题猜想如果是超越整函数，且满足对某个正整数使得（）是周期函数，那么也是周期函数这类问题可以追溯到上世纪年代，和，其中证明 了如果是任意一个非常值整函数，是次数大于的任意多项式，则（）不是周期函数随后，和进一步证明 了如果是超越的，那么（）模任意多项式后不是周期函数三年后，如【仑证了当级小于的任意超越整函数替代
2、时，取邮取取鉀和的结果仍是成立的另外，在一类增长性条件下，和把和的结果推广到形式为叫（）内的整函数上这里当时，我们证实了猜想事实上，本文得到了如下更一般性的结果？定理如果是超越整函数，且满足对某个正整数使得（）是周期函数，那么也是周期函数在文献中，作者定义了复数序列？是周期为（）的周期点集当且仅当序列重新排列后与致，并且证明了如果是整函数，且满足（，）；收稿日期：；修订日期：士：；基金项目：国家自然科学基金（，）和教育部长江学者和创新团队发展计划项目（）（，）（）通讯作者数学物理学报这里（，）（），那么存在一个常数和一个周期为的周期整函数使得具有以下形式（）（）当且仅当，广的零点集合心，今是周
3、期同为的周期点集同时可参见文献间，其中作者得到了由代替的更一般的结果本文，我们参照文献和中的方法，得到了有限级整函数与零点相关的周期性结论定理令，：，为正整数，设为有限级超越整函数，且满足（）是周期为（一）的周期函数如果和（）都存在零点，且所有零点重级分别为和，并且使得（）的零点重级大于叩，则存在一个常数满足，使得对任意复数都有（）（，且是周期为（）的周期函数？引理为了证明本文的结果，我们需要下面两个引理引理，令整数，假设除之外，凡，都是非常值的亚纯函数，且满足这里？如果存在一个常数和一个正实数子集满足，使得对任意的和：，有（：）（）（）（）（，）乂成立，那么这里我们使用理论中的标准记号更多细
4、节，请参考文献或引理如果是周期为（）的非 常数整函数，那么的零点集合是周期为的周期点集同时的每个零点重级相同证如果的零点集合之二，结论显然成立下面我们假设，由于是周期为的非常数整函数，很容易得到是周期为的周期点集取勿，记其重级为以（勿），则我们可以记（）（），其中？）是满足咖）一的整函数因此有（）（），这意味着的零点的重级（）满足）（）另一方面，我们也可以记（）（）（），（）（）王琼等：关于整函数零点和周期性的研究其中分是满足）的整函数因此有（）（之）（之），这立刻推导出由（）和（）式可得到类似地，我们有付（之）幺）（）（），（）再由是周期为的周期点集，所以的每个零点重级都相同引理证毕有定理的
5、证明由于（）（）是周期函数，不妨假设其周期为）则对复平面中的任意，我 们（）（）（）（）（）对（）式积分后得（）（）（），其中（）是次数小于；的多项式则有（）（）（）（）（）（）下面根据是否恒为零，我们分成两种情况来证明情形三我们有（）（）或（）前者意味着的周期为？，后者意味着的周期为这就完成了此情形下定理的证明情形存在一个整函数和两个非零多项式和满足，使得（）（）（）（：）（）和（）（）（）（）（）由（）和（）式，我们容易得到（）（）（），（）数学物理学报（）（）（）（）因为是超越的，所以整函数显然不是常数用替代（）式中的那么结合（）式可得（）（）（）（）（）（），整理上式得，二，其中（）（
6、）（）（）（）（，风？（）及，（之）（）（）（）？我们 可知是超越的，且和至少有一个是超越的？如果是超越的，”，时，我们有（，）（）（）（，）利用引理，即得因此（）式就变成利用（）和（）式，我们有）（）（）（）三）（），（）（）（）（）（：）（之）（）也就是（）（）因此得到一个矛盾如果是超越的，相似的方法可得到，因此有（）（）这又出现矛盾定理证毕（）（）注意当（）（）王琼等：关于整函数零点和周期性的研究定理的证明假设（）的周期为）？首先，我们来论证知是周期同为？的周期点集为此，我们分如下两种情形情形心进一步，如果，结论是显然成立的如果，注意到（）广（之土）（）（土），那么勿当且仅当：巧（），也
7、就是说，（是周期为的周期点集，因此这种情形下结论也是成立的情形特别地，如果，根据 情形的证明方法可类似的得到是周期为？的周期点集，所以在这种情况下，定理成立下面假设取勿，记的重级为（）注意由假设可知设（）（）（）（）（）（）（）？（）；（），（）（）（）从（）式和引理中发现（）（）由于，利用（）式我们进一步得（），（）也就是说，勿和勿（）类似地，我们可以证明和功？因此，和是周期同为的周期点集由文献，定理中的一个结论可知，存在常数和周期为的周期整函数使得具有下面形式（）（），这可以进一步推出（）（）（）另一方面，由于广（）是周期为的周期函数，那么我们也有（）（）然而，从（）式中可以看出（）（）（）（）（）数学物理学报综合（）和（）式可得（）二从而定理证明完毕（）（）（）注记注在定理的证明中，我们发现如果（）（）的周期为，那么的周期可能为这种情形很容易发生例如，（）如的周期为，但是（）的周期为注形式（）？中的指数不能去除例如，？并不是周期函数，而尸（；）却是周期函数致谢本文作者感谢教授提出的宝贵建议和注记参考文献 （），：，？，：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，：？，（，）：，（），：；（）：