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1、收稿日期:2004-03-26求 复 数 的 轨 迹 复变函数值域初探摘要:通过一系列例子,揭示了求复数轨迹的本质问题,并给出了求轨迹的基本方法 “转移法”。关键词:复数;复变函数;轨迹;定义域;值域;转移法中图分类号:O174.5 文献标识码:A文章编号:1671-0436(2004)04-0030-03设复变数 w 与z 之间存在一种对应关系:w=f(z),若复变数 z 的对应点在曲线c 上运动,则相应的复数 w 的对应点按一定的规律运动,并形成一条轨迹曲线 l,这就是求一定条件下复数的轨迹问题。其本质就是已知一个复变函数的定义域曲线和对应法则,求函数的值域曲线问题。例1:在复平面上,已知
2、复数 z 的对应点在圆 z+1-i=2运动,求复数 w=1z的对应点的轨迹。解:设 z=x1+y1i(x1,y1R)z+1-i=2 (x1+1)2+(y1-1)2=2(1)又设 w=x+yi(x,y R)w=1z z=1w则 x1+y1i=1x+yi=xx2+y2+-yx2+y2i x1=xx2+y2,y1=yx2+y2代入(1)得(xx2+y2+1)2+(-yx2+y2-1)2=2整理得(x2+y2)(2x+2y+1)=0又 w=1zw 0 即 x2+y2 0 2x+2y+1=0即复数 w 所对应的点的轨迹是直线2x+2y+1=0该例中,复变数 w 是复变数z 的倒数函数,w=f(z)=1z
3、,其定义域曲线是圆 z+1-i=2,值域曲线是直线2x+2y+1=0,复变函数 w=f(z)=1z,由两个二元实数函数 x1=xx2+y2,y1=-yx2+y2来确定。例2:设复数 z 满足 z=2,求复数 w=z+1z的对应点的轨迹。30解:设 z=2(cos+i sin),0,2)则1z=12(cos-isin)又设 w=x+yi(x,y R)w=z+1z x+yi=2(cos+isin)+12(cos-isin)=52cos+i32sinx=52cos,y=32sin消去 得4x225+4y29=1,即复数 w 对应点的轨迹为椭圆。该例的解法中,复变数 z 用三角形式给出,其本质是用一个
4、实变数 来表示z 的虚部和实部,从而用两个一元实变函数 x=52cos,y=32sin 来确定变函数w=z+1z。例3:设复数 z 满足 z-i=1 且 z 0,z 2i,又复数 w 使得ww-2iz-2iz为实数,问复数 w 在复平面上的对应点w 的集合是什么图形?图 1解:设 z0=2i,z0,z,w 对应的点为Z0,Z,W,则 Z 在圆 z-i=1(除原点 0和 Z0)如图 1 易知 OZZ0=2 argz-2iz=2或32,z-2iz为纯虚数又设 OWZ0=,则 argww-2i=或 2-已知ww-2iz-2iz为实数ww-2i是纯虚数或 0且 w 2i当ww-2i是纯虚数时,argw
5、w-2i=2或32,=2OWZ0=2点 w 在圆上 z-i=1 上当ww-2i=0 时,w=0,点 w 是原点,也在圆上 z-i =1上,点 w 的集合是圆 z-i =1(除 Z0)。该例也是求复变函数的值域问题,z 是自变量,w 是z 的函数关系,w=f(z)隐含在“ww-2iz-2iz是实数”这样一个约束条件中。例4:在复平面上,原点为 O,已知复数 1 和 1+i 对应的点为A 和B,设复数 z 的对应点在 OAB 上运动,求复数 w=z2+z+1 的对应点的轨迹。解:设 z=x+yi(x,y,R)w=u+vi(u,v R),复数 z、w 在复平面上对应的点分别为Z、W31第4 期 高
6、波求复数的轨迹 复变函数值域初探图2图 3 w=z2+z+1u+vi=(x+yi)2+(x+yi)+1=(x2+x-y2+1)+(3xy+y)iu=x2-y2+x+1,v=2xy+y见图 2:(1)当 Z 在OA 上运动时,y=0,0 x 1有 u=x2+x+1,v=0,1 u 3点 W 的轨迹是v=0,(1 u 3)为线段(2)当 Z 在AB 上运动时,x=1,0 y 1有 u=3-y2,v=3y,u=3-(v3)2(0 v 3)点 W 的轨迹是抛物线段v2=-9(u-3)(0 v 3)(3)当 Z 在BO 上运动时,y=0,0 x 1有 u=x+1,v=2x2+x,v=2(u-1)2+(u
7、-1)(1u 2)点 W 的轨迹是抛物线段v=2u2-3u+1(1 u 2)即 w=z2+z+1对应点的轨迹为如图 3 所示的曲边三角形 EFG。通过以上例可以看到,解决此类轨迹问题的基本方法是“转移法”,即用函数复数 w 的式子表示自变量复数z,z=f-1(w),然后代入定义域曲线的方程,从而得到值域曲线的方程。To Evaluate the Locus of Complex Numbers A Probe into the Value Domain of Function of Complex FlexibilityGAO Bo(School of Science,Changzhou In
8、stitute of Technology,Changzhou 213002)Abstract:This thesis has explored the essential issue and provided a fundamental approach to evaluate locus bymeans of a series of examples.Key words:complex number;function of complex flexibility;locus;definitive domain;value domain;transfer-ring approach常州工学院学报2004 年