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1、对泰勒定理证明的讨论 摘要：对泰勒定理的一种证明提出了疑问，通过分析有关数学家的成就和相关数学发展史，对提出的疑问做出了回答，并从中得出一些重要启示 关键词：泰勒定理；柯西；复变函数 中图分类号：O13 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2012.04.014 Discussion on the proof of Taylor theorem MAO Jun-chao，ZHANG Hui，DAI Xiu-liang （Department of No.1，Navy Submarine Academy，Qingdao 266071，China）Abstra
2、ct：Abstract：It cast doubt on the proof of Taylor theorem，and then through the analysis of the mathematics achievement and mathematics history，answered the questions，and deduced some important enlightenment.Key wordsKey words：Taylor theorem；Cauchy；complex variable function 1 问题的提出 文献1中在第 4 章讲述解析函数的泰勒
3、展式时，首先给出了泰勒定理：设函数)(zf在区域D 内解析，Da，只要圆RazK含于D，则)(zf在K内能展成幂级数0)()(nnnazczf，其中：!)(d)(i21)(1nafafcnCnn（aC，R0，,2 ,1 ,0n），且展式是唯一的然后证明了该定理证明过程中用到了几何级数公式和柯西积分公式，通过查阅其他教材2-3发现都是采用这种证明方法，而泰勒是 18 世纪的数学家，柯西是 19 世纪的数学家，这里就出现了逻辑上的问题：怎么能用后人的结果去证明前人的结论呢在教学中，不论是教师还是学生产生了这样的疑问，都有必要对该疑问给出正面的回答 要回答该疑问需要对该问题作详细的分析，关键要了解有
4、关数学家的具体成就以及复变函数的发展史 2 问题的分析 2.1 泰勒与泰勒定理 英国数学家泰勒（Taylor Brook，1685-1731）4392以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世 无穷级数几乎是和微积分同时产生的，早在 17 世纪微积分初创时期，无穷级数就是牛顿研究问题的一个重要辅助手段，他把较为复杂的代数函数和超越函数展开为无穷级数，再进行逐项微分或积分，实际情 收稿日期：2012-03-10 作者简介：毛俊超（1976-），男，山东平邑人，讲师，硕士，从事组合数学研究E-mail： 44 高 师 理 科 学 刊 第 32 卷 况表明，用级数来研究这些函数是卓有成效的17
5、世纪后期和 18 世纪，摆在数学家面前的问题之一是函数表的插值1712 年，在研究函数表的插值问题过程中，泰勒在牛顿-格里哥利内插公式的基础上，提出了函数展开为无穷级数的一般方法，于 1715 年将该展开式（泰勒展式）发表在 增量法及其逆 一书中4394，泰勒展式中的级数就是泰勒级数，泰勒的这一发现就是著名的泰勒定理这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，18 世纪末，他在研究泰勒级数时给出了所谓的（实函数）泰勒定理5，即 nnnRnaxa
6、faxafaxafafxf!)()(!2)()()()()()(2 其中：)!1()()(1)1(naxfRnnn（ba），称为拉格朗日余项在此之前，1742 年，马克劳林得到了上述展开式在0 x时的特殊情况，即马克劳林定理5，但其中的展式都是带余项的，不是无穷级数的形式 泰勒当时证明他的结论即泰勒定理时并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，泰勒定理的严格证明是在定理诞生一个世纪之后，直至 19 世纪 20 年代才由柯西给出的 2.2 柯西与复变函数论 复变函数论6是实数函数论的推广和发展，产生于 18 世纪，瑞士数学家欧拉于 1777 年系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定
7、理，并开始应用于水力学和地图制图上，首创虚数单位“i”，此后复数才被广泛承认和使用19 世纪，经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的努力，复变函数形成了非常系统的理论，不仅渗透到其他数学分支，同时在热力学、流体力学和电学方面有很多的应用 法国数学家柯西（Cauchy Augustin Louis）最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论18 世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分但没有给出明确的定义，柯西首先阐明了有关概念，并且用这种积分来研究多种多样的问题，如实定积分的计算，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点 自 1821 年起的 25 年左右的时间里，几乎是柯西独自一人
8、在开发复变函数理论，为复变函数论的发展奠定了基础他研究复平面上的积分及留数计算，并应用有关结果研究数学物理中的偏微分方程等他还研究了复变函数的级数展开，指出一个复变函数)(zf可以按照马克劳林公式展开为一个幂级数，且幂级数对所有能展开为马克劳林公式的点z都收敛，同时推出了著名的柯西积分公式，从而在复数范围内使用柯西积分公式证明得到了相应的（复变函数）泰勒定理 3 结论及问题的解答 3.1 最终总结 泰勒最早（1715 年）提出了将函数展开为无穷级数的一般方法，得到了泰勒定理，但其证明不够严谨，后来（18 世纪末）经过拉格朗日的另一等价阐述及证明，给出我们常说的泰勒定理，这些都是在实数范围内的研
9、究成果，随着复变函数论的产生与发展（19 世纪），柯西在复数范围内也就推广出了相应的（复变函数）泰勒定理 3.2 问题解答 复变函数论中的泰勒定理不是泰勒本人得到的直接结果，是后人在复数领域中推广了的泰勒定理，其证明依据也就相应在复变函数论中选取，即柯西积分公式，因此不存在“用后人的结果去证明前人的结论”的逻辑矛盾 3.3 重要启示 泰勒定理从发现至今已经 300 多年了，该定理不仅具有重大的理论意义，更重要的是在应用上的重大价值，但在几百年前发现该定理时并没有认识到的它的重要性，经过一代又一代数学研究者的不懈努力，泰勒定理有了它的勃勃生机，其中给我们的重要启示是：作为研究者，只要潜心研究，不
10、计功名利禄，自己的发现即使生前得不到承认，也必将为后代谋福利；作为工作者，只有不断地汲取前人的研究成果，勇于开拓新领域，才能创造更大的价值 第 4 期 毛俊超，等：对泰勒定理证明的讨论 45 参考文献：1 钟玉泉复变函数论M北京：高等教育出版社，1988：152-154 2 吴崇试数学物理方法M北京：北京大学出版社，2003：50-51 3 姚端正数学物理方法M北京：科学出版社，2010：52-53 4 中外数学简史编写组外国数学简史M济南：山东教育出版社，1987：392-395 5 华东师范大学数学系数学分析M北京：高等教育出版社，1991：173-176 6 王树禾数学思想史M北京：北京
11、国防工业出版社，2003：273-282 体操教学中对消除学生恐惧心理的探讨 王刚，姜冰 体操运动难度高、惊险、动作衔接快，有些动作要在高器械上完成，因此对身体各种素质要求较高在体操教学和训练中可能出现下跌、摔倒和脱手等事故，不但会伤害练习者的身体，而且在心理上易埋下恐惧的阴影，从而影响教学训练的进程和质量的提高，通过有效的手段来增强学生学习的信心，克服恐惧心理，对体育教学具有重大和深远的意义 1 恐惧心理形成的原因 1.1 主观原因 体操动作具有危险性和复杂性，学生接触少，且缺乏练习基础，认为自己的体能水平或完成技术动作的能力与技术相差太大，担心出现伤害事故，产生畏惧心理首先，一些学生的心理
12、素质较差，练习时遇到较难的动作就胆怯、躲避，没有意识努力克服由于某次练习过程中不小心失误，再进行练习时感到恐惧，夸大动作的难度，做动作不果断、不勇敢等心理方面的因素其次，神经方面过于激动，对自己的行为掌控能力降低，急于完成练习情绪低落，使得本可以完成的动作由于自信心不足，总是认为自己完不成或做不好规定的技术练习，久之便形成恐惧心理 1.2 客观因素 教学是在特定环境中的双边活动过程，其效果决定于人与人之间以及与教学环境之间的协调度首先，某些学生的体态使他们完成不了动作而引起的恐慌其次，教师在教学教学过程中没有遵循循序渐进原则；练习的方法不符合学生的具体情况，手段单一，缺乏趣味性；在教学中没讲清
13、动作要领，示范不标准，示范过程本身就带有危险性 2 消除恐惧心理的方法 2.1 加强学生意志品质的培养 在教学中，教师首先要利用学生的独立性探索解决困难的途径其次注重体育骨干的培养，开展一帮一活动，体育骨干帮助有恐惧感的学生首先，培养有一定运动技术水平、学习态度端正的学生作为骨干，容易成功；其次，培养身体条件受限的学生成为骨干，则更能激发其他学生的学习兴趣学生在一帮一中，相互保护与帮助、总结分析、寻找错误，产生了积极的效应，个个争先恐后、跃跃欲试，保证了教学任务的完成 2.2 加强学生自信心的培养 激励信任学生，运用丰富的语言对学生进行评价，使学生在示范中得到肯定预测学生的需要和情景的性质，及
14、时表扬学生，使其在表扬和肯定中提高自信心，体会成功的喜悦 2.3 充分运用直观教学法，做好教学示范 体育教学过程中采用的一个重要方法就是教师的教学示范，这可以使学生详细地观察动作要领、构成和完成顺序教师在示范时不但要做到动作到位，还要给人享受和美的感觉，使学生看过之后产生想试一试的心理但是做示范动作时需要注意许多问题，假如第一次示范时动作强度太大，便会使学生产生害怕心理，学生也许会被动作中的“不安全性”所吸引，分散对整个示范动作完成的注意程度，影响后面的学习在教学过程中应抓住学生的心理特点，随着教学的深入和学生掌握动作水平的提高，逐步加大示范动作的幅度，以达到教学效果 2.4 用好保护与帮助
15、保护与帮助是体操教学中一种重要的教学手段，能消除学生顾虑，增强信心，防止伤害事故的发生，对建立动作概念和支配肌肉的感觉产生良好的作用动作初学时，教师应以帮助为主，直接与学生产生身体接触，使学生有足够的安全感；动作学习中后期，以保护为主，同时教会学生自我保护的技巧和常见的保护帮助方法，培养学生在练习中能够摆脱险情以及课外练习时相互帮助的能力学生之间的保护帮助会使他们更加放松，有利于消除恐惧感，避免紧张过度而出现伤害事故，圆满地完成教学任务 恐惧心理是一种客观存在的心理特征，虽然消除恐惧心理主要靠学生自身，但教师应根据学生恐惧心理产生的原因，制定相应的调整方法，建立学生学习动作的信心，帮助学生有效地消除和减轻恐惧心理 参考文献：1 李美玉体育教学中学生恐惧心理浅析J体育世界：学术版，2007（12）：64-66 2 吕吉勇，邱艳怀体操教学中学生害怕心理的产生及消除方法J哈尔滨体育学院学报，2001（3）：72-74 3 马永明消除女生在支撑跳跃学习过程中的恐惧心理初探J体育教学，2000，5（6）：74-75 4 金伟华把握体育恐惧心理成因 优化消除恐惧心理对策J新课程学习（上），2011（3）：133