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1、微分方程组的留数解法摘要:本论文主要研究一阶和二阶常系数微分方程组以及变系数的微分方程，利用拉普拉斯变化以及其逆变换的性质及其留数定理得到他们的解。关键词:微分方程组;拉普拉斯变换;留数中图分类号:0172.2文献标识码:A文章编号:1673 6125(2019)02 0001 02Residue Solution To Differential EquationsZHAO Cheng-bing(School of mathematics and physic of Anhui Jianzhu University，AnHui HeFei 230022，China)Abstract:In th
2、e paper，we studied the first and second order linear constant coefficient differential equations and the dif-ferential equation of variable coefficient，used the property of Laplace transform and the theorem of residue to get the so-lutionKey words:Differential equation，Laplace transform，Residue在一般的微
3、分方程的著作中，如文献 1，对于一阶常系数的微分方程组一般是通过基解矩阵的方法求解，求解过程相对复杂。本文通过对一阶和二阶微分方程组以及变系数的微分方程通过拉普拉斯变换以及其逆变换，利用留数的理论给出他们的解。定义 12 4:设 f(t)是定义在(0，+)上的实值或(复值)函数，其拉普拉斯积分收敛，由积分F(s)=+0f(t)e stdt称为 f(t)的拉普拉斯变换，其中 s=+i 是复参数。定义 22，3，4:若 F(s)是的 f(t)拉普拉斯变换，由积分f(t)=12i+i iF(s)estdt称为 F(s)的拉普拉斯变换。引理12，4:若 s1，s2，.sm是函数 F(s)的所有奇点，重
4、数分别为 k1，k2，.km，且当 s 时，F(s)0 则有12i+i iF(s)estdt=mk=1Res(F(s)est，sk)现在考虑一阶线性常系数的微分方程组:dxdt=Ax+f(t)x(0)=0(1)这里 A 是方程组的系数矩阵，f(t)=(f1(t)，f2(t)，.fn(t)，x(0)=(x1(0)，x2(0)，.xn(0)定理 1:对于(1)形式的方程组有如下形式的解:x(t)=12i+i i(sE A)*sE AF(s)estds=mk=1Res(F(s)est，sk)证明:在方程组两边同时实现拉普拉斯变换，有sX(s)=AX(s)+F(s)其中 X(s)，F(s)分别是 x(
5、t)，f(t)的拉普拉斯变换，化简得:1收稿日期:2019 04 03基金项目:国家社科基金项目(项目编号:13BJY079);安徽省教育厅自然科学基金重点项目(项目编号:KJ2011A061)。作者简介:赵成兵(1970 )，男，安徽庐江人，教授、博士。主要研究方向:几何分析。DOI:10.16856/ki.52-1142/n.2019.02.001(sE A)X(s)=F(s)(2)行列式 sE A 是含变量 s 的 n 阶多项式，所以X(s)=(sE A)*sE AF(s)其中(sE A)*是(sE A)的伴随矩阵，所以:x(t)=12i+i i(sE A)*sE AF(s)estds=
6、mk=1Res(F(s)est，sk)对于二阶的常系数微分方程组:a11x(t)+a12y(t)+a13x(t)+a14y(t)+a15x(t)+a16y(t)=f1(t)b11x(t)+b12y(t)+b13x(t)+b14y(t)+b15x(t)+b16y(t)=f2(t)(3)满足:x(0)=y(0)=x(0)=y(0)=0定理 2:对于(3)式形式的方程组有和定理 1相同形式的解。证明:在(3)式两边同时实现拉普拉斯变换，得:a11s2X(s)+a12s2Y(s)+a13sX(s)+a14sY(s)+a15X(s)+a16Y(s)=F1(s)b11s2X(s)+b12s2Y(s)+b1
7、3sX(s)+b14sY(s)+b15X(s)+b16Y(s)=F2(s)(4)化简得:A11(s)X(s)+A12(s)Y(s)=F1(s)A21(s)X(s)+A22(s)Y(s)=F2(s)(5)即:A11(s)A12(s)A21(s)A22(s()X(s)Y(s()=F1(s)F2(s()则二阶常系数的微分方程组化成同(2)式类似的解情况。对于 n 阶微分方程组，在满足一定的初值条件下，它的解的情况类似与(5)的情况，这里不再一一讨论。下面讨论变系数的微分方程的情况，对于一阶的情况一般可用分离变量和一阶线性方程解等方法研究，现以二阶为主:a11tx(t)+a12x(t)+a13x(t)
8、=f1(t)(6)满足 x(0)=x(0)=0为解决(6)这种变系数的微分方程，需要用到拉普拉斯变换的微分性质:性质 12，4:若 F(s)是的 f(t)拉普拉斯变换，则:d(n)dsnF(s)=(t)nf(t)是表示拉普拉斯变换。定理 3:对于(6)形式的变系数微分方程可以化成一阶线性微分方程。证明:在(6)两边实现拉普拉斯变换得:a11dds(s2X(s)+a12sX(s)+a13X(s)=F1(s)a112sX(s)a11s2X(s)+a12sX(s)+a13X(s)=F1(s)整理得:A1(s)X(s)+A2(s)X(s)=F1(s)再利用一阶线性微分方程组的解法即可以解决。对于 n
9、阶常系数的微分方程的解除了利用特征多项式方法，在文献 5 中介绍也可以通过构造如下的复多项式来解决。a0+a1z+.+anzn=Pn(z)考虑积分u(t)=Cezf(z)Pn(z)dzC 是包含 Pn(z)零点且不经过 Pn(z)零点的闭曲线。则有:nk=0aku(k)(t)=0(7)即 u(t)是(7)的解。下面举例来说明拉普拉斯变换以及留数的应用。例子:解微分方程组x(t)+y(t)+z(t)=1x(t)+y(t)+z(t)=0y(t)+4z(t)=0满足 x(0)=y(0)=z(0)=0解:在方程组两边同时实行拉普拉斯变换:得sX(s)+Y(s)+sZ(s)=1sX(s)+sY(s)+Z
10、(s)=0Y(s)+4sZ(s)=0利用线性代数的线性方程组解的理论可得:X(s)Y(s)Z(s)=4s21s2(s21)1s(s21)14s2(s21)(下转第 11 页)2贵 阳 学 院 学 报(自 然 科 学 版)(季 刊)14 卷解形成相互协作的关系，以期更好地实现企业间市场信息的共享、基础设施的共建、区域资源的共用、供应链网络的互补。在智慧会展过程中，会展主办方、会展参展商与受众媒体都能在会展中通过“互联网+”各取所需，联动共赢，携手营造良性互动的智慧会展生态圈。(三)利用大数据分析智慧会展各方需求智慧会展最基本的功能实现是要满足供需双方的需求。智慧会展是注重数据分析的行业，会展数据
11、不仅能够较好地提升观众参展体验，而且在会展立项、营销与管理方面都能对参展企业产生积极影响，为企业带来更多商业市场价值。智慧会展正是通过数据收集提升企业参展的投资回报的，会展数据收集和挖掘是会展业打造核心竞争力的关键所在。将参展企业与客户需求有关的服务价值有形化、数字化，通过可感知的方式让参展商全方位地了解参会观众的数量，潜在客户结构与购买动机等，可以直接让其及时作出关于商品服务供给的理性判断。由此可知，对参展商、观众、潜在客户等各类会展参与者而言，信息资料的收集显得非常重要。通过构建存储庞大参会者信息数据库，再经过海量数据库的统计分析，筛选特定会展的有效数据进行挖掘利用是大数据处理的重点，其最
12、终目的无非是在分析各方需求的基础上做出决策。(四)打造智能展馆，提升参与者的智慧依照智慧会展的要求对会展场馆进行“互联网+”的技术升级改造、打造智能展馆是非常重要的。这不仅需要场馆在自动售票设施、定位导航等项目上综合利用传统互联网技术，更要引入智慧人工智能、3D 环视导览等新兴智能管控项目。要通过会展期间无线网络的高效覆盖运行确保客户和商家能够安全免费的接入无线网络，随时随地依靠智能移动终端设备中的 APP 实现主题展会的一站式服务，让观众通过 APP 的定位导航了解观展的线路，增强参展商同客户间的互动。此外，基于各方共享会展大数据平台提供的信息资源能够在信息透明对称的情况下作出智慧决策。具体
13、来说，主办方能够通过智能会展管理系统提升会展的主题宣传力度，提高会展管理效率，降低会展的综合管理成本，为参展客户提供更多便捷高效的信息服务。参展商借助互联网大数据平台提供的信息能够做好展台设计、商品呈现、物流运输等一系列服务。而观众则能依托移动互联网实现智能会展的网络购票、网络参观、现场预约、网络洽谈。总之，智慧会展借助“互联网+”的深度融合能够让智慧参与者变得更为智慧。参考文献:1 王文姬，李洁“互联网+”时代对会展业转型升级的思考 J 今传媒，2015，23(12):121 122 2 刘松萍，蔡伊乐，湛冬燕 广州会展业发展的现状与对策研究 J 城市观察，2015(3):36 38 3 沙
14、克仲“会展互联网+”到底怎么加N 中国贸易报，2015 11 24 4 李 阳 插上“互联网+”翅膀起航智慧会展 N 重庆商报，2015 07 09 5 任 宁，陈思宇 我国智慧会展的发展现状与对策研究 J 现代经济信息，2015(18):333 335 6 卓嘉 体验式展示设计 M 重庆:西南师范大学出版社，2013(上接第 2 页)对于 X(s)有三个极点，分别是 s=0，s=1，s=1x(t)=3k=1Res(4s21s2(s21)est，sk)=14(3sht+t)同理可得另外二个，即:x(t)y(t)z(t )=14(3sht+t)1 cht14(sht t)总之利用拉普拉斯变换以及留数定理在解决常系数以及变系数的微分方程或微分方程组中有着重要的作用，这里不再赘述，有兴趣的读者可以参阅复变函数的相关书籍。参考文献:1 王高雄等 常微分方程(第二版)M 北京:高等教育出版社，1983 2 余家荣，路见可 复变函数专题选讲 M 北京:高等教育出版社，1993 3 李高翔 求解拉普拉斯逆变换的一般方法及其应用 J 高等函授学报(自然科学版)，2006，20(3):2628 4 苏变萍，陈东立 复变函数与积分变换 M 北京:高等教育出版社，2003 5华罗庚，高等数学引论M 北京:高等教育出版社，2009112 期杜妍妍“互联网+”时代下智慧会展业发展研究