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1、DOI:10.14188/j.1671-8836.1978.03.001._,、.,、rl、_一_,二,甲。“l=以气下二全平2,”、拼久土(当;、t。),(1。3)则称甲(的关于刀在t。处有一n阶极点,并定义留数为:r e s甲(to)=口:=lim孟言分d”一1尸,万牙L 召一不。)甲 曰)Jt护(1。4)这和D内n阶极点留数的定义是一致的。我们有下面的推广的留数定理设f(的在D内解析,在刀 上有极点气,:N(其中有些可能在厂上),此外则在 石 上f(:)除去r上有限个点处有奇异性(1.3)外,处处连续,则lr,二、,共一万二二,IJ叹5)as=j乙aLs殆)r esJ叹s 殆)。“.叨矛
2、招一1(1。5)证由假设,可写“烈谧氛十+c 枯,外几(z一夺)”殆+f。(“),o。,。.沪o,其中n:为极点:。的 阶数,而f。(的在刀上已无 极点,其它性质同f(的.所以,由(1.1),立刻知道责二f()“川丫a(:)resf(。、)+命,。亡“但由较一般的Ca uohy定理(参看4,(1.5)得证。注当 f(的在D内有一些本性奇点时,第一章引理2.3),上式右边积分为零。于是(1.5)显然也成立。关于推广的留数定理(1.5)式可作如下的解释。对于任意一点:,我们“a(幻个点”在刀上,而另有“l一a(s)个点”在 其外。当”D或场刀时,通常一致;当。厂时,如厂在z处的内角为0,子:、。,
3、、,、r二“0人卜”牙 多1I J奋人7牙名阴一万二万l一沙只一乙日 可以认为有这一说法与在刀上,而卜去个点在“的补域 上。我们把留数e rs,()也分做两部分,。()e rs,()就称作 间“在刀上二处的留数。因此(5,式可解释为斋J,f()“恰好等于(j)“在刀上”的一切极点的留数之和。如对于刀上的一全 纯函数的零点(极点)的个数也作类似理解,即f(的的一个,重(阶)零点(极点)二。就认为“左刀上”占有。a(:。)个点,那 么复变函数论中有许多定理可得到相应的推广。例如,设在工上,f(。)有零点a,a.,其重数分别为凡,标,又有极点l),么,其阶数分别为拼L,热、,则 由推广的留数定理(1
4、.5),可得f,(二)j()z润 自几d。=习几.a、(a。)一艺拼Ja,(b,)。称一IJ一l(1一6)矛r.JJ土一们一O乙+.9角2,乙“五x遥4?(Zk+1)“怜工2件+1dx芝(一1)”一C盖竺鑫称一0(Zn)!(Zn+1)二4艺(一1)卜卜(Zk+1)么件(n一寿)!(n+k+1)!(Zn+1)二22”、一1)r书标答舟书令.-k 0.习此二式可以统一成一个式子:(2。5).几件、l了r丝竺e s,:二厂(弩-)r”、二二L息J一)r万一尹俨!(几一,)!例如,很容易算出,:=12二二,13令,“=普二,几=瓷凡I。=前。注意,几。不是单调下降的。.用推广的留数定理,也可对一些发散
5、积分在有限部分意义下互相换算,例如在(“”中把几理解为前述元盘在第一象限 的边界,就可进行这种换算,这里从略。(三)应用于求解奇异积分方程组我们将应用推广的留数定理,来求解一类具解析系数和核密度的奇异 积分方程组,也就是把1玉7中的工作,推广到更一般的情形。设要求解奇异 积分方程组1f“、,甲L少十而二K(r,二)丁一t切(:)d二=f(t),苦。L,(3。1)其中L为一光滑封闭曲线,围成区域马a(s),K(:,勃是刀上 的Nx万阶矩 阵,a(幻的各分 量在D内全 纯,在刀上连续,K(。,豹 的 元 当如刀时对”D全 纯,当 二D时对乙eD全纯,它们也都在 石 上连续,此外并设所涉及的函数当变
6、元 在L上变动时(包括 已知函数f(t)在内)都有足够高阶的e万(H61der条件)的导数,未知函数中(t)e汀。令奴s)=K(:,幻,并记 矩阵泞(召)二a(召)+b(召),D(s)=a(召)一b(召),而det刀(:)在D内有零点a,a.,在L上有零点a.十:,、十,它们的重数依次为几:,几.+洲detD(。)在D内有零点刀:,刀。,在L上有零点刀。十:,刀,+。,它们的重数依次为“;,拜。+q;这里裕,门都是正整数,且电笋刀,.我们并采用下列记号:det夕(。)=(召一a、)盆几刀、(公),泞.(a:)子0,无=1,n t+,detD(:)=(。一夕,).,Dl(。),D,(刀,)笋。,
7、j=1,n+夕,月一(:)=,9带(:)/det夕(:),D一(:)=D平(:)/detD(:),其中召辛。),D气名)分别为召(习,D(习 的伴随矩阵。、用7中类似 的方法,令,、lr*、,=厄元 J二K(z,动丁一之甲(动d几(3.2)于是由Plemelj公式,代入(3.1),可得切(t)=D一(才)f(才)一2少+(t)。为要中(t)在L上有意义,必须而且只须D,(t)f(t)荟二3一2D.(t)巾(t)荟二二,=0,1,拼J一1,j=n+1,n+q.以(3.3)代入(3.2),根据推广的留数定理(对向量 函数而言),得(3.3)(3。4),、If哄声吸仑).一蕊二二一l乙“不J石K(二
8、,二)D一(:)f(:)丁一2dr一2乙(召)D一l(召)小(活)一2艺r es万匹立口旦二互劝鱼丝丝了(r一z),caJK(二,:)D一(二)少+(:)r一之,.口J,tSr e.叼,-.,枯,一,一 n十1化简后,可得二,、二,、。_,、Ifq少又名夕=Z尸日夕通,“(仑)亏丁丁一下一!(乙汀名JLK(二,动D一(动f(OJ_以T一之一2艺K(z,)r D*(动少+(口(:一z)(:一刀,)必jD一(二),=a,广.Ser,口、J.+一、子l了件rd一J一 n+!一卜之聚叠采粤男豁计,一,如记BJ,(仑)=10肠j一r一1r!(拌,一r一i)!ar,一卜-葬互五华恤攀1LLT一之)刀J吸r
9、)J,”,尹=0一1,群J一1,夕二1-,n+q,(3。5)并令C一,=巾(,)(刀,),=0,l,拼,一1,j二1,”s击则上式可写成少(仑)=D(日)刀一,、lr气多少气二 蔺二二一It乙兀忿JLK(:,:)D一(二)f(:)r一Z,B夕,_、。1气二,七j r一万省过B,(。)f(r,(刀,)(3。6)J一,奋+!r一0i-,Jr-。J.艺-)l,自一弓其中最 后一项是这样得来的:当 jn时,求潇J口口,胜.沙)一劝K(之,丁、D*(r)小+(r(r一习(二一刀,)夕D,时只牵涉到D辛(动少火)r在:二刀,处直到拼,一1阶的导数,而由(3.4),在T=刀,处相应导数相同。它与粤D,(:)
10、j(:)乙为要沪(t)确实是(3.1)的解(甲(t)由(3.6)取边值代入(3.2)而得),以下 三个要求应该满足:1“把:二刀八了二1,n)代入(3.6)及 其直到“,一1阶导数时,两边必须不相矛盾;2。在(3.6)中令。,口,(。eD,了=。+1,。+q)时,必须保证(3.4)成立,3“(3.6)右边必须确实是D内的全纯函数,且在刀上。H.为使1“满足,以。=刀l(n)代入(3.6)及其直到脚一1阶导数,可得。1rap“,=厄五丁。万牙LD(之)S一(2)K(z,r)T一Z一:D一(),()、一“三,织,少,。,、。一,、。,、,。高一J乏声Ll,叹“。“p夕r叹吕“卜“七夕,一音,军:,
11、l 5 0 r斋D(,s一,B,一“,P=0,1,s拌J一1,l,1,n-(3。7)不过右边第二项的和式中j二l的那一项,由于B介(。)在。=几 处可能出现极点,这时:=刀:要理解为。,刀:,而如这一极限为o c时,就应要求 G,的相应元为零。为要讨论要求2”,首先注意(3.6)中的积分卫-r2兀fJ石K(z,:)D一(二)f(:)下一之J_1rK(z,动D.(灼f(约J _U.一石丁 二丁.一牙一一一万一又石二二厂一一气丫屯“-乙几:J石气T一P夕)一J气T一z)其中1r一刀,)一了(:一二)1(z一刀,),J(:一二)1(z一刀,).了(二一夕,)1(z一刀夕)“,一(:一刀,)21.一(
12、二一刀,)(r一刀,).,于是(3.6)可改写为。,、,、。,、c y_,_、lrL I甲L日)甲气多)=L,JL另少。气另夕下二丁lJ.子J石K(z,二)刀.(,)f(,)D夕(r)一zr一刀,二一刀,(z一刀,).广,)J _一下一一一一-万下二1厂一.-一一 一二 尸一一一下可一二石 lr一,“气r一p夕)(T一口夕)一J)一2(,一刀s)“,D,(,)刀一(,)艺一,.1艺B,r(,)C,r一音D,“一“省,一件+盆,.1一,.1艺r-.(卜刀,).JB,(。)/r,(刀,),令二,刀袱了)n时,得D。刀,)必(“,)二音“一(“,)乙(“,D,(“,)l(“,一扣,(”,“一(“,l
13、 5 0 r:l,(一“,一B,(,一(3.8).、.夕月心J月勺J,几了、,l.J但由于lin tt心a,=lim岛,口,(:一刀J)“,BJ,(:)(。一刀,)“;r!(户J一r一1)!-理夕 二全生笙业旦2望位工1dr“J一r一LD,(:)(:一“)J*一,了=1im一口,。、“.1火多一尸J夕J二丁一-;万l气“j一i)!七K(二,:)D.(二)D,(:),票,JO户李一11a下拼J一IT一2五互 旦 些2(旦D_D夕(刀,)以此代入(3.8),所以D.(日j)巾+(日,)=8一(日,)石(日,)D.(日。、f(日。).因此要求2。就是要求下式成立:2了一(刀,)乙(刀,)一ED.(刀
14、,)f(夕,)=o,j=n+1,月+q,(3。9)津中E为 N阶单位矩阵。现在再来看要求3”.当而。时,要求巾(的在。“a、处全纯,由(3.6),就是要求一,一i习d.d2.D(名)刀.(名)B少,(吕).喻CJr.三十艺协,一1习J一协+1,一 0d口d尹D(,)召.(,)B,(,)加介f护)(刀s)巴一互 r一里一一;r泣J石O之.LD(z)5.(z)K(z,二)T一Z工一、D一,“,d一a=O,1,一,肠一l,而=l,二,柳。(3。10)当石m时,为要保证巾(幻在:二.a处连续,就应要求D(z)5.(二)S几(二)万-上,f之2汀名J石K(二,习D一(r)j(劝J,一J.丁一Z一2艺夕一
15、1一,一1名B,(,)C,1护一万省爹。,(),(“,.肠+1r.o当:一a、(;。)时至少要有*、阶零点,亦。要,在:一。、处上式及、直到、一、阶导数都l等于零。由于Da(。)为满秩矩阵,几(崛)笋。,所以上述要求又可写为斋.S()【命二-K(二,动D一(价f(动J_-一一一-一口丁一Z一2艺一J一1艺B,r(:)Cj,了.If一0省书=”十1r.oB,“r,”,:一。、=。,P=0,1-,久。一1,无=阴+1,m+夕.(3。11)条件(3.9)成立以及(3.7),(3.1 0),(3.11)相容就是方程 组(3.1)可解的条件(条件的充分性证明以及下面甲(t)在L上。厅的证 明,与1中类似
16、,均从略)。当这些条件满足时,方程组(3.1)的解可在(3.6)中令。,t求极限后代入(3.3)而获得,经化简后,最后得(3.1)的解,(,卜s一(才)la(,)。一(,),(才)一令fK(t,:)D一(二)f(:)T一tl月,盛,!;,.1!BJ,(t)C夕,+省才一 n+l爹。,(,),(、(,)(3。12)日J气,=卜,r协,+4习了,工这里C,就是 由(3.7),(3.10),(3.1 1)求得的一般解组。这样,就完全解决了方程组(3.1)的求解问题。12345仁67参考文献路见可,高阶奇异积分及其在求解奇异积分方程中的应用,武大科技,1 9 77年第2期,106122-H.H.Myc
17、 x e 二,ma。“,奇异积分方程,上海,196 6.L.Sehwar z,The6riedesdistributio ne s,T.1,Str a sbou rg,195 0.H.以.而x6epr,H.只.Kpy几H HK,Bae及eHHeBTe opH HO皿Ho抽epH曰xCHHry刀只pH 目xHaTerPa 刀bH“xonePa拍Poa,KHmHae a,1 9 73.H.n.HaTa,c oH,函数柏造论,上册,北京,19 5 8。L。Sehwarz,Coursd,Analyse,下。2,Paris,19 67。路见可,奇异积分方程的直接解法(l),本学报,19了5年第4期,4 45 7.