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1、实分析中函数惟一性定理和零点的孤立性 摘要：摘要：解析函数论中，函数具有惟一性定理、零点具有孤立性，这两个结论在实分析中一般是不成立的。在本文中首先定义了实分析中的解析函数，然后把复分析函数论中的两个结论推广到实分析中，从而完善了函数的唯一性定理和零点的孤立性。关键词关键词：复解析函数；实解析函数；惟一性；孤立性 中图分类号：O174.1；O174.5 文献标志码：A 文章编号：1007-984X(2013)03-0091-04 1 准备知识 众所周知，由解析函数的幂级数展开，可讨论解析函数的零点的孤立性和解析函数的唯一性定理，这二个结论是相互等价的，下面我们简要地回顾一下。定义 1 设函数(
2、)f z 在a处解析，若()0f a，则称a为()f z 的零点；若()()()f afafa (1)()()0,()0mmfafa但，则a称为()f z的m阶零点。定理 1 非恒为零的解析函数的零点是孤立的，即设a为()f z的零点，()f z不恒为零，则存在0，使得对任意(,)zN aa时，都有()0f z。定理 2 非恒为零的解析函数的零点的个数至多可数。证明 因为每个零点都对应一个不含有其它零点的小圆盘，而每个小圆盘都有有理数对点，所以零点之集与有理数对点之集的某个子集对应。定理 3（恒一性定理）设()f z和()g z在区域D内解析，若存在D内的复数列nz，使得nza，)aD（，nz
3、a，且()()(0,1,2,)nnf zg zn，。则在D内，()()f zg z 关于复解析函数的零点的孤立性与唯一性定理，导出了最大模原理。但在实分析中，即使满足与上述定理满足相似的条件，也不一定能推出零点的孤立性与唯一性定理。例如 例 1 函数211esin0()000 xxf xxxx ，在（，）上处处可导，除，零点外，还具有零点1,(1,2,)kk ，以0 x 为聚点。此例说明实的可微函数的零点并非孤立，主要原因是复解析函数是具有无穷可微性。但从下例看到，实函数虽然具有无穷可微性，但仍不具有零点的孤立性。例 2 考虑函数21e0()00 xxf xx，。运用 LHospital 法则
4、知()f x在（，）具有无限次可导，当其零点仍非孤立。下面讨论在实分析中实函数具有零点的孤立性与唯一性定理所满足的条件，把复解析函数的零点的孤立性与唯一性定理推广到实分析中去。收稿日期：2012-07-28 作者简介：盖涵俣（1990-），男，汉族，山东利津人，主要从事应用数学方面的研究，。92 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 2013 年 2 实分析中的零点的孤立性 定义 2 如果对于任意0(,)xa b，都存在0 x的充分小邻域，使得在其上()f x可以展开成幂级数00()(),nnnf xaxx其中(,)xa b，称函数()f x在区间(,)a b上是实解析的，通常以,)A a b（表示
5、实解析函数的全体。例 3 ()e,()sin,()cosxf xf xx f xx等都是(,)上的实解析函数。例 4 函数21e0()00 xxf xx，,在(,)内无限次可导，并且()(0)0(12)nfn，但当0 x时，2(0)(0)()(0)1!2!fff xfxx，故()f x在(,)上不是实解析的。例 5 令1()1f xx，则对任意0000011,()()()11nnxxxf xf xxx，在0 x处可展开为收敛半径为01x的幂级数，因而其是区间11（，）和（，）上的实解析函数。很显然多项式()p x及常数也是(,)上的实解析函数。定理 4 设0()nnnf xa x的收敛半径 R
6、0，那么对于任意0(,),()xR Rf x 在点0 x处可导，并且其导函数也是解析函数。定理的证明显然，这里略去证明。定理5 设函数()f x的导函数列()()(12 3)nfxn，在0 x的邻域00(,)xx0)（中一致有界则()f x在00(,)xx内也是解析函数。证明 由于()f x在00(,)xx内有各阶导数，并且()()(12)nfx n，在00,)xx（内一致有界，因此()f x在00(,)xx内各个点处能展成幂级数，故()f x在00(,)xx内是解析的。例如函数1sin(2)()(,)!nnxf xn 是上的函数，但不解析。定义 3 设函数()f x在(,)a b内解析，00
7、()0(,)f xxa b，那么称0 x是实解析函数()f x的零点。定理 6 设0()f xxxR在内解析，0()0f x，且0()f x在00(,)xR xR内不恒为零，则必有0 x的一个充分小的邻域00(,)(0)xr xrrR，使得()f x在其中无异于0 x的零点。证明 由于()f x在0 xx处有零点，假设为m阶，那么由m阶零点定义知 0()f x0()fx(1)0()0mfx，而()0()0mfx，故()f x()00()()!mmfxxxm(1)010()()(1)!mmfxxxm+0()()mxxx 而()x在00(,)xr xr内显然解析，连续，且0)0 x（。那么存在0r
8、，当00(,)xxr xr时()0 x，故零点是孤立的。定理 7 设()f x在(,)a b内解析，存在(,)a b中的序列nx，使得nx在(,)a b内有极限点00()nxxx，而且()0nf x那么()0,(,)f xxa b。证明 因为()0(12)nf xn，()f x在(,)a b上是连续函数，由lim()0nnf x，得0()0f x。设0 x是()f x的m阶 零 点，即(1)000()()()0mf xfxfx，而()0()0mfx。那 么()f x()00()()!mmfxxxm(1)010()()(1)!mmfxxxm+0()()mxxx，0)0 x（）。第 3 期 实分析
9、中函数惟一性定理和零点的孤立性 93 由于()mf x0()()0mmmxxx，故)0mx（(1,2,)m,同理得出0)0 x（，矛盾，故()0f x。推论 1 设()f x在(,)上无穷次可导，且满足（1）()(),(,)mfxM x ，(0,1,2,3,)n；（2）1()0,(1,2,)fmm。那么()0f x 证明 因为各阶导数一致有界,所以在(,)上处处有()0(0)()!nnnff xxn,即()f x在(,)上处处解析。由于1()0(1,2,)fmm，知1(0)()0limmffm，(0)flimm1()(0)01ffmm。据 Rolle 定理：存在(1)i：1(1)112(1)2
10、131m(1)m11m，使得(1)()0if。从而(1)0m（m 时），又(1)(1)()(0)(0)0limmmmfff。类似可证：当()()kfx在()()12kk()km，()(0)km点处，有()()()0kkmf。而()(0)0kf，便可推出(1)()kfx亦然。于是当0,1,2,m 时，恒有()(0)0mf，从而()0()()0()!nnnfxf xxxn 。3 实解析函数的唯一性定理 定理 8 设（1）1)f x（与2()fx在开区间(,)a b内解析。（2）(,)a b内有一个收敛0(,)xa b的点列 0()nnxxx。（3）1)nf x（=2()nfx(1,2)n.则1)f
11、 x（与2()fx在(,)a b内恒等。推论 2 若1)f x（与2()fx在开区间(,)a b内解析，且存在一点0(,)xa b使)10)nfx（=()20()nfx（0,1,2,n），则1)f x（与2()fx在(,)a b内恒等。推 论 3 若1)f x（与2()fx在 开 区 间(,)a b内 解 析，且 存 在 一 个 子 区 间,a b（，）（），()ab ，但在（，）上1)f x（2()fx，则在(,)a b内1)f x（2()fx。以上证明显然，这里略。一般说来，复解析函数的许多特点实解析函数都不具备，但如果实函数)f x（在(,)a b内实解析，那么它的性质与复解析函数的很多
12、性质是相似的。实解析函数的惟一性定理、零点的孤立性揭示了（实）解析函数的一个非常深刻的性质，函数在(,)a b内的局部性质确定了函数在(,)a b内整体性质，即局部与整体之间有着十分紧密的内在联系。参考文献 1 华东师范大学数学系.数学分析（上、下册）M.3 版.北京：高等教育出版社，2001.2 李成章，黄玉民.数学分析（上、下册）M.北京：科学出版社，2007.3 同济大学数学系.高等数学（上、下册）M.6 版.北京：高等教育出版社，2007.4 李平润.具周期性的含卷积核与余割核混合的积分方程J.系统科学与数学，2010，30(8)：1 148-1 155.5 裴礼文.数学分析中的典型问
13、题与方法M.2 版.北京：高等教育出版社，2006：86-91.6 郑建华.复分析M.北京：清华大学出版社，2000.7 庞学诚，梁金荣，柴俊.复变函数M.北京：科学出版社，2003.The uniqueness theorem of function and the isolated zero-point in real analysis GE Han-yu，JIANG Xiao-peng 94 齐 齐 哈 尔 大 学 学 报 2013 年（School of Mathematical Sciences，Qufu Normal University，Shandong Qufu 273165，
14、China）Abstract：In analytic function theory,functions possess the uniqueness theorem and the isolated zero-points,these two conclusions are not established in real analysis in general.In this paper,we first definite the analytic function of the real analysis.Next extending the two conclusions of comp
15、lex analytic function theory to the real analysis.Therefore,improving the uniqueness theorem of function and zeros isolation.Key words：complex analytic function；real analytic function；uniqueness；isolation（上接第90页）到的，具有较强的科学性和实用性。3 结束语 对于一个国家和一个地区来讲，人口预测是非常重要和有意义的，采用建立数学模型的方法对人口进行预测也是可以做到的。通过对大庆市人口进行预
16、测，到 2013 年将增长到 296.298 万人，按照此增长规律，到 2020 年大庆市人口将达到 326.1318 万人，那么大庆市有必要对人口发展状况进行控制。参考文献 1 邓聚龙.灰色预测与决策M.武汉：华中理工大学出版社，1992：125-127.2 周瑞平.GM（1,1）灰色预测法预测城市人口模型J.内蒙古师范大学学报：自然科学汉文版，2005,34(1)：81-8.3 李玮.基于灰色增量的陕西省人口组合预测模型J.陕西理工学院学报：自然科学版，20008，24(1)：68-71.The population prediction model based on GM(1,1)of
17、Daqing GUAN Feng-li，TANG Dan-dan，DI Wei-jiao，SHA Yuan-xia（Mathematic Deparment of Daqing Normal University，Heilongjiang Daqing 163712，China）Abstract：By 2000 to 2009 population data in daqing,according to application Logistic growth model,and gray system GM(1,1)theory,we construct population forecast model.For predicted results and actual values,we are comparing and analyzing,indicating that the model application effect is actual.Key words：gray system GM(1,1)model;logistic model;population prediction