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1、多维随机变量及其分布(一)引例引例1 体形的描述体形的描述(X,Y)身高X 体重Y X与Y的关系？多维随机变量的应用场景多维随机变量的应用场景 男性25岁(BMI指数)男性19岁(BMI指数)引例引例2 2 家庭支出描述家庭支出描述 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 定义定义 设为随机试验的样本空间，一定法则 XYR(),()2则称(X,Y)为二维r.v.或二维随机向量.讨论：讨论：二维r.v.作为一个整体的概率特性;每个r.v.的概率特性与整体概率特性之间的关系.1.二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布 定义定义 若二维随机变量(X,Y)的所有可能的取值为有限多个或无
2、穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型随机变量.常用联合分布律描述其概率特性。设(X,Y)的所有可能的取值为 则称 为(X,Y)的联合分布律联合分布律或联合概率分布。PXaYbP Xa Ybpijijij()()(,)a bi jij(,),1,2,例例1 设甲、乙两人各进行两次射击，他们每次的命中率分别为0.8和0.6。甲先射击，且甲全部命中时乙的命中率下降10%，甲全部未命中时乙的命中率上升20%，甲命中1次时乙不受影响。令X，Y分别表示甲、乙的命中次数，求(X,Y)的联合分布律。解解 联合分布律的求法，利用乘法公式 P Xa YbP XaP Yb Xaijiji(,)()()P YbP
3、Xa Ybjij()()CCjjj0.8 0.20.72 0.28220022pP XYjP XP Yj Xj(0,)(0)(0)0pP XYjP XP Yj Xj(1,)(1)(1)1CCjjj0.8 0.20.6 0.4221112pP XYjP XP Yj Xj(2,)(2)(2)2CCjjj0.8 0.20.54 0.46222202上升20%下降10%本例中,X、Y均可取0,1,2.0.04 0.0784 0.04 0.5184 X Y pij 0 1 2 0 1 2 联合分布律联合分布律 0.04 0.4032 0.32 0.16 0.32 0.48 0.32 0.36 0.64
4、0.2116 0.64 0.4968 0.64 0.2916 2.2.联合分布函数与二维连续型随机变量联合分布函数与二维连续型随机变量 当(X,Y)在平面区域上取值时，考虑积事件 PXxYyP Xx Yy()(),XxYy()()F x y(,)联合分布函数 x y(x,y)x y 几何意义几何意义 D 的概率，即求 F x yf x y df x y dydxDxy(,)(,)(,)由几何意义知，F(x,y)的值是 随机变量(X,Y)取区域区域 D上的点上的点的概率的累加累加 取不同点的强度不同 强度函数f(x,y)平面上累加 二重积分 连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数联合密度函数 联
5、合密度函数 的性质：一般，通过联合密度函数来表达(X,Y)的概率特性。f x y(,)0f x y(,)f x y dydx(,)1非负性非负性 和一性和一性 在 的连续点处 x yf x yF x y(,)(,)2f x y(,)例例2 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为 他其f x ykxyyxx0,(,),0,01,其中k 为常数。求(1)常数 k；(2)P(X+Y 1);x yyxx(,)0,01解解 (1)f x y dxdy(,)1kxydxdy1kdxxkdxkxydyx28013001k 8y=x 1 0 x y 得 y=x 1 0 x y D 0.5(2)P XY(1)dyxydxyy800.5161f x y dxdyD(,)xydxdyD8关键关键 确定事件区域与密度为正区域的交区域交区域D 小结小结 二维随机变量二维随机变量 联合分布函数联合分布函数 联合分布律、联合密度函数联合分布律、联合密度函数